GPS整周模糊度解算方法

GPS 整周模糊度解算方法探讨
一、为什么要解算GPS 整周模糊度？
整周模糊度的确定是载波相位测量中的关键问题，这是因为：
（1）精确的、不足1周的相位观测值()φr F 和修复周跳后的正确的整周计数
()φInt 只有与正确的整周模糊度配合使用才有意义。

模糊度参数一旦出错，就将
导致大量的卫地距出现系统性的粗差，从而严重损害定位的精度和可靠性。

正确确定整周模糊度N 是获得高精度定位结果的必要条件。

（2）在一般精度的GPS 定位中，定位所需的时间实际上就是正确确定整周模糊度所需要的时间。

快速确定整周模糊度对提高GPS 定位的作业效率具有极其重要的作用；对开拓GPS 定位技术的应用领域，将其推广应用到低等级控制测量和一般的工程测量等领域也具有极其重要的作用。

二、GPS 整周模糊度解算方法
1、LAMBDA 法
1993年荷兰Delft 大学的Teunissen 教授提出了最小二乘模糊度降相关平差法，简称LAMBDA 法。

该方法可缩小搜索范围，加快搜索过程，是目前快速静态定位中最成功的一种模糊度搜索方法。

LAMBDA 法的基本原理： （1）整数变换
在LAMBDA 法中，并不直接对整数模糊度参数N 进行搜索，而是先对初始
解中的实数模糊度参数⎪⎭
⎫
⎝⎛=∧
∧∧∧
n N N N N ,......,,21及其协因数阵∧N Q 进行整数变换：
∧
∧
⋅=N Z z T
Z Q Z Q N
T z
⋅⋅=∧∧
式中Z 为整数变换矩阵。

整数变换具有以下特点：当N 为整数时，变换后的参数z 也为整数；反之，当z 为整数时，经逆变换后所得的()
z Z N T
⋅=-1
也为整
数。

整数变换并不是唯一的。

我们希望整数变换后所得到的新参数
⎪⎭
⎫
⎝⎛=∧
∧∧∧
n z z z z ,......,,21之间的相关性能显著减小，其协因数阵∧z Q 中的非对角线元素
5.0≤，模糊度参数的方差也能大幅度减小。

注意，整数变换指的是具有上述特
性的一种数学变换方法，但并非只能对整数进行变换。

在LAMBDA 法的正变换中，是在对实数模糊度进行变换。

（2）搜索算法
欲寻求经整数变换后的新参数∧
z 的整数最小二乘解，实际上就是要寻找能满足下式的整数组合()n z z z z ,......,,21=：
min 1=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∧-∧
∧z z Q z z z T
由于上式无法直接求解，故一般都采用搜索算法从备选组中将满足上式的整数组合z 挑选出来。

由于变换后的新参数的方差及参数间的互相关性均较前大大减小，故搜索工作将更为简便、迅速。

求得最优的整数组合z 后再进行逆变换：
()
z Z N T
⋅=-1
变换后的参数N 满足下列公式：
min 1=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∧
-∧∧N N Q N N N T
逆变换后求得的参数N 就是最初要寻找的最佳的整数模糊的向量。

2、快速模糊度解算法
1990年E.Frei 和G .Beutler 提出了快速模糊度解算法（FARA —Fast Ambiguity Resolution Approach ）。

（1）基本概念
进行快速定位时虽然观测时间较短，但只要能正确确定整周模糊度，仍能获得相当好的结果，因此快速定位的关键在于快速确定整周模糊度。

我们知道，用短时间的观测资料所建立的方程的状态很差，方程几乎是线性相关的，在这种情况下所求得的实数模糊度参数的中误差必然很大。

整数模糊度向量N 的备选组中只有一组整数模糊度组合是完全正确的，如果我们能将这组模糊度组合挑选出
来取用，那么快速定位就能取得很好的结果。

（2）搜索原理
将备选组中的整数模糊度组合一一代入法方程中进行计算，那么能使观测残差的平方和为最小的这组整数模糊度组合就是最终的正确解。

只有当所有的整周模糊度皆取正确值时，观测值得残差才会与载波相位测量的正确精度相对应，其他组的代入由于卫地距出现粗差，从而使观测值残差的平方和迅速增大。

在未知参数必须为整数的情况下求最小二乘解的方法称为整数最小二乘法。

最小二乘解的一种形式：
min 1=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∧
-∧∧N N Q N N N T
式中：∧
N 为初始解中求得的一组实数模糊度解；1
-∧N
Q 为这组实数模糊度的协
因数阵；N 为整数模糊度组合。

能满足式子的这组整数模糊度就是我们所寻求的最优的整数模糊度组合。

（3）FARA 法
FARA 法的实质就是在上式进行计算前，先对备选组进行数理统计检验，把大量的显然不合理备选组先剔除掉，以减少计算工作量。

统计检验的标准是：任意两个整数模糊度参数i N 和j N 之差ij N ∆是否位于这两个模糊度差值的置信区间内。

FARA 法充分利用了初始解协因数阵中的非对角线元素所提供的模糊度间的相互关信息，对参数作进一步的数理统计检验。

通过统计检验，可以把大量的不合理的整数组合迅速予以剔除。

然后求出相应的∑=m
i i V 12（m 为观测值总数）及
单位权中误差()∑=-=
m
i i n m V 1
2/σ（n 为未知数的个数）。

从原则上讲，能使σ取最小值的那组整数模糊度组合就是我们所寻求的最优的整数模糊度组合。

（4）确认最优解需进行的三项统计检验
①整数解与初始解所求得得基线向量的一致性检验。

②整数解和初始解的单位权中误差的一致性检验。

③整数解中最小单位权中误差σ与次最小单位权中误差次σ间的显著性检
验。

3、GPS 变形监测中整周模糊度解算的新方法
利用变形监测网中监测点坐标已知的特点，提出了一种新的解算整周模糊度的方法——DC （direct calculation ）算法。

该方法不需要组成和解算法方程，更不需要搜索和确认，而是直接计算整周模糊度。

在GPS 变形监测中，可采用单历元计算整周模糊度，单历元解是根据GPS 单历元观测值解算基线向量，从而获得变形信息。

（1）DC 算法的原理
如图所示，设j 号卫星为参考卫星，则可以得到单差观测方程为：
()(
)
R R t t j
j j V V c N 2
1212121-+∆=∆+∆---ρλφ （1） ()()R
R
t t k k k V V
c N 2
1
2
12121-+∆=∆+∆---ρλφ （2）
由式（1）、式（2）可得双差观测方程为：
()
j k j
k j k N N 212121212121------∆-∆=∆-∆+∆-∆ρρλφφ （3） 由式（3）可以解出整周模糊度为：
()()j
k j k j k N N 212121212121/------∆-∆-∆-∆=∆-∆φφλρρ
可见，当已知卫星的位置和监测点的位置时，就可以直接计算出整周模糊度，上式就是解算整周模糊度的DC 算法。

（2）监测点的变形量对整周模糊度解算的影响
由图所示，卫星到监测点间的距离为：
()()()2
2
2
p s p s p s
Z Z Y Y X X
-+-+-=
ρ
式中，()
s s s Z Y X ,,为卫星s 的坐标，()
p p p Z Y X ,,为监测点p 的坐标。

载波相位的实际观测值()t j i ϕ与卫星和地球的距离ρ的关系为：
()()N t j i +=ϕλρ
于是有：
()t N j i ϕλ
ρ
-=
由上式对ρ求微分得：
p p p dz z
dy y
dx x
d dN 0
ρρρρ∆+
∆+
∆=
=
应用协方差传播律得：
220
2
220
2
220
2
22z y
x
p
N z y x σρσρσρσσ∆+
∆+
∆=
=
取z y x σσσ==，得：
2
220
2
2222x
x p
N z y x σσρσσ=∆+∆+∆=
= 若要求N <0.5周，及2/1L p λσ<，因为1L λ=0.1903m ，所以有：
m z y x 09515.0±≤==σσσ
当监测点的位移m d x z y x 1648.032
2
2
2
≤=++=∆σσσσ，它对整周模糊度的影响小
于等于半周。