高中数学解题之“独孤九剑”(创新班)

高中数学解题之“独孤九剑”

第一剑：总诀式

【总诀】：“用一，从无，可生万物；迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”

学习的目地之一是运用，效果的检验之一是高考。能否学以致用，并在考试中过关斩将，进而取得高考的优异成绩，金榜题名，实现理想，从一个层面来说，也是一个学生意志品质、知识能力、综合素质的很好体现。数学以及数学思想方法，在我们的学习乃至生活中都有极其广泛的应用，数学学科也是高考中的一个非常重要的学科之一，能否取得数学的好成绩，必然决定着高考的成败！因此，如何在数学学习中事半功倍，提高效率，考出好成绩是重要的一个问题。由此想到了金庸先生的小说《笑傲江湖》中提到

的“独孤九剑”。“独孤九剑”为“剑魔”独孤求败所创，以无招胜

有招，杀尽仇寇奸人，败尽英雄豪杰，打遍天下无敌手。生平欲求

一对手让自己回守一招而不可得，最后埋剑空谷，茕茕了此一生。

后被奇侠令狐冲掌握。

著名的数学家、数学教育家张景中院士在谈到中小学数学时说

过：“练武的上乘境界是“无招胜有招”。但武功要从一招一式入手，

解题也是如此……。把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机

械执行的方法，即算法。”

“他山之石，可以攻玉”，考场如战场，考试中的敌人就是试卷

上的一道道试题，如能料敌先机，快、准、狠，一招制胜，必将也

是求败而不能！不取小巧，不求大巧，重拿中巧，先有招而后无招，

而达“无招胜有招”之境界！

☆★☆“欲练此功，必先自省”

兵法云：“知己知彼，百战不殆”。“不是风动，不是云动，而是心动”。先知己而后知人是为“先机”！

一、思想自省：思想决定行为，行为养成习惯，习惯形成性格，性格决定命运！

1、首先自省你有没有树立必胜的信心？你有没有确定高考数学145分以上的目标？

2、你有没有端正严谨、务实、努力、深入的态度？

3、你有没有多思考、勤动手、爱钻研，不仅要“知其然更要知其所以然”的习惯？

4、你是否了解自己的优点和缺点？

二、知识自省：荀子曾说：“不积跬步，无以至千里；不积细流，无以成江河。”丰富、全面的知识储备是进步和提高的基石！

1、数学定义的理解：能否默写出高中数学的全部概念定义？是否对重要概念定义的内涵和外延有一个全面的理解？如：集合的三要素；函数定义；函数的零点；三角函数定义；平行向量与共线向量；零向量和单位向量；向量的数量积；等差等比数列；正方体、长方体、正四棱柱、平行六面体；互斥事件与对立事件；圆锥曲线的定义等。

2、数学性质的归纳：基本初等函数的图像及性质；三角函数的图像及性质；等差等比数列的性质；平面及空间向量的性质；空间直线、平面平行和垂直的性质；椭圆双曲线抛物线的几何性质等。

3、数学公式的掌握：对高中数学公式你都“耳熟能详”吗？你熟悉每个公式的使用条件、成立范围、易错点吗？你能达到“直接用、变形用、构造用”的三种境界吗？如：导数公式；三角公式；向量公式；概

率公式；均值不等式等。

4、数学定理的推导：你熟悉每个定理公理的产生过程吗？你能独立推导、证明重要定理吗？如：韦达定理；正弦、余弦定理；向量共线定理；直线、平面平行垂直定理等。

实战演练：1、设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，给出下列函数：①(())y f g x =；②))((=x f g y ；③))((=x f f y ；④))((=x g g y

其中是偶函数为 （概念

理解）

2、（重庆）若,则函数的两个零点分别位于区间（ ） （定理应用）

A.和内

B.和内

C.和内

D.和内

3、（创新班联考）已知函数(x)sin(x )f ωϕ=+，其中010ω<<且)6

(≤)(≤)3(πf x f πf 恒成立，则)(x f 的单调递增区间为 （性质应用）

4、（17浙江）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是

（数形结合、定理应用）

5、（新课标）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ

+=，则（ ）

A .32π

αβ-= B .22π

αβ-= C .32π

αβ+= D .22π

αβ+=

（公式应用）

6、（创新班联考）设抛物线22(p 0)y px =>的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为(0)

θθπ<<的直线与抛物线交与A ，B 不同两点，连接AO 、BO 与准线分别交与C 、D 两点，则四边形ABCD 的面积为（ ） （结论的记忆）

a b c <<()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--(),a b (),b c (),a -∞(),a b (),b c (),c +∞(),a -∞(),c

+∞

A .定值22p

B .最大值22p

C . 最小值22p

D .无最值

三、方法自省：数学方法是解决问题的具体操作手段和必要工具，高考主要考查重点内容的“通性、通法”，不取小巧，不求大巧，重拿中巧，先有招而后无招，以达到“无招胜有招”之境界！

1、数学常用方法的运用：配方法；换元法；待定系数法；判别式法；赋值法；叠加法；累乘法；裂项法；错位相减法；设而不求法；几何法；向量法；反证法等。

2、数学思想的领悟：函数与方程思想；数形结合思想；分类讨论数学思想；划归与转化思想等。 举例演练：

1、（浙江）已知α∈R ，sin α+2cos α=

102，则tan2α=（ ） A ．43 B ．34 C ．−34 D ．−43

4、

（全国竞赛）函数()f x 的值域是 ； 3、（创新班联考）三棱锥A BCD -中，,ABC BCD ∆∆均为等腰三角形，

090ABC BCD ∠=∠=，若二面角A BC D --为600，则二面角D AC B --的余弦值为 ；

5、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如上图所示，点C 在以

O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是

________；

6、（北大保送）设正数c ,b ,a 满足c b a +<，求证：

c

1c b 1b a 1a +++<+。

四、能力自省：“练武不练功到老一场空”。数学的理解、推理以及运算能力是最重要，也是最基础的能力要求，是必备的基本功之一，只有具有了这些基本功，才能使方法得以运用，解法得以实现。那种“眼高手低”、“夸夸其谈”的后果必然是换来“一看都会，一做都错”的痛！

1、阅读理解能力：“看清、看懂、看透”，顺利进行数学语言与实际语言以及数学语言之间的转换。

2、推理运算能力：合理推导、准确运算，真正做到不仅“会”而且“对”。力争达到“会、对、全、美”之境界！

OA OB 120o AB ,OC xOA yOB =+ ,x y R

∈x y +