误差理论 作业及参考答案

第一章

1、熟悉误差、精度、有效数字的基本概念和相关计算方法。

答案：略

2、用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。

解：两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：

δ1＝50.004-50＝0.004（mm）；

δ2＝80.006-80＝0.006（mm）；

两种测量方法的相对误差分别为：

δ1／L1＝0.004/50=0.008%；

和

δ2／L2＝0.006/80=0.0075 %；

显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。

3、若某一量值Q用乘积ab表示，而a与b是各自具有相对误差f a和f b的被测量，试求量值Q的相对误差。

解：∵相对误差=绝对误差/真值=(测得值-真值)/真值

∴ a = a0(1+f a)；

b = b0(1+f b)；

式中a0、b0分别为a、b的真值。

则

Q =ab = a0(1+f a) b0(1+f b)≈a0 b0(1+f a+ f b)

因此，Q的相对误差约为（f a+ f b)

第二章

1、在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

解：①求算术平均值

②求残余误差：各次测量的残余误差依次为 0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。

③求测量列单次测量的标准差

用贝塞尔公式计算：

用别捷尔斯公式计算：

④求算术平均值的标准差

⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差

因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录表1 正态分布积分表，得置信系数t=2.6。故：

单次测量的极限误差：

算术平均值的极限误差：

⑥求得测量结果为：

2、甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量 5 次，测得值如下：

α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”，

α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”；

试求其测量结果。

解：①对于每一组的测量，是等精度测量，分别先求各组的算术平均值。

用贝塞尔公式计算各组的标准差：

两测量列的算术平均值的标准差：

②确定各组的权

③求加权算术平均值

④求加权算术平均值的标准差

或：

⑤测量结果：

3、对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：

50.82，50.83，50.87，50.89；

50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

解：用 t 检验法进行检验

前4次测量的算术平均值：

后6次测量的算术平均值：

由ν=4+6-2=8及取α=0.05，查t分布表，得t a=2.31。

因

可判断两组数据可能存在系统误差。

还可以用其它方法。

4、对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。

解：将有关计算数据：平均值、残差ν

等列于表中：

i

直接求得15 个数据的算术平均值及其标准差：

① 用莱以特准则判别粗大误差

因

故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。

再对剩余的14个测得值重新计算，得：

由表知第14个测得值的残余误差：

故也含粗大误差，应剔除。

再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。

② 用格罗布斯准则判别

已经计算出15个测量数据的统计特征量：

将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：

是否含有粗大误差：

首先判别x

(15)

查表得：

则：

故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。

是否含有粗大误差。已知： 再对剩下的14个测得值计算，判断x

(1)

查表得：

则：

故第14 个测得数据也包含粗大误差，应当剔除。 再重复检验，其它各测得值已不再包含粗大误差。 ③ 用狄克松准则判别

将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：

判断最小值x (1)与最大值x (15)是否包含粗大误差。因n=15，以统计量r 22和r ’22

计算

查表得r 0(15, 0.05) =0.525,

因

故：x (1)和x (15)（即所测的第4 和第14个测量值）包含粗大误差，应予剔除。 再重复检验剩余的13个测得值，已不再包含粗大误差。

5、测量圆盘的直径(72.0030.052)D mm =±，按公式计算圆盘面积2

/4S D π=，

由于选取π的有效数字位数不同，将对面积S 计算带来系统误差，为保证S 的计算精度与直径测量精度相同，试确定π的有效数字位数？ 解：测得D的平均值为72.003mm

由2

4

D S π=

，当D 有微小变化D ∆、π有π∆变化时，S 的变化量为：

22

2

243.141672.00372.0030.052(0.052)24

72.0030.052 5.88134

0.00450.004

S S D

D S D D D πππ

π

ππ

π∂∂∆=∆+∆=∆+∆∂∂⨯±=⨯±+∆±=∆∆=±≈± π∴取4位有效数字