2013郑州市高三第一次质量检测数学理科扫描版

2013年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学 参考答案

一、选择题

BDCCD BAABC DA

二、填空题 13.25； 14.π+6； 15.⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

53,32； 16.4-. 三、解答题

17．解：⑴由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，――――2分 在A B C ∆中，sin sin()sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， sin (2cos 1)0C B ∴-=，又0,sin 0C C π<<> ， 1cos 2B ∴=，注意到0,3B B ππ<<∴=．―――――6分 ⑵1sin 3,42A B C S ac B ac ∆==∴= ，――――8分 由余弦定理得222222cos 4b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥=，

当且仅当2a c ==时，“＝”成立，

2b ∴≥为所求． ――――12分

18．解：⑴设第(1,2,,8)i i = 组的频率为i f ，

则由频率分布直方图知

71(0.0040.010.010.020.020.0160.008)100.12.f =-++++++⨯=

所以成绩在260分以上的同学的概率7

80.142f p f ≈+=，

故这2 000名同学中，取得面试资格的约为280人． ――――－4分 ⑵不妨设三位同学为甲、乙、丙，且甲的成绩在270分以上， 记事件,,M N R 分别表示甲、乙、丙获得B 类资格的事件， 则1

1

3

()1884P M =--=，17()()188P N P R ==-

=，――――6分 所以1

(0)()256P X P M N R ===，

17

(1)()256

P X P M N R M N R M N R ==++=， 91

(2)()256P X P M N R M N R M N R ==++=

， 147

(3)()256P X P M N R ===，

所以随机变量X 的分布列为：

――――10分 117911475()01232562562562562

E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．――――12分 19．解：⑴

F 为棱A B '的中点．证明如下：

取C A '的中点G ，连结GF EF DG ,,，则由中位线定理得 BC DE BC DE 21

,//=，且.21

,//BC GF BC GF =

所以GF DE GF DE =,//，从而四边形D E F G 是平行四边形，.//DG EF 又⊄EF 平面CD A '，⊂DG 平面CD A '，

故F 为棱A B '的中点时，//EF A CD '平面．――――4分 ⑵在平面A C D '内作CD H A ⊥'于点H ，

D E A D D E C D D E A C D A H D E A D C D D '⊥⎫⎪''⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪'=⎭

平面， 又DE CD D = ，⊥'∴H A 底面BCDE ，即H A '就是四棱锥A B C D E '-的高． 由A H AD '≤知，点H 和D 重合时， 四棱锥A B C D E '-的体积取最大值．――――8分 分别以A D DE DC ',,所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图， 则()0,0,A a '，()0,2,a a B ，()0,,0a E ，

(),2,A B a a a '=- ，()0,,A E a a '=- ，

设平面A BE '的法向量为(),,m x y z = ，

由0,0,m A B m A E ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 得20,0,ax ay az ay az +-=⎧⎨-=⎩

即20,,x y z y z +-=⎧⎨=⎩ 所以，可取()1,1,1m =- ．同理可以求得平面A C D '的一个法向量()0,1,0.n =

1011103cos ,,331m n m n m n

⋅-⨯+⨯+⨯===⨯⋅ 故平面A C D '与平面A BE '夹角的余弦值为

.33

――――12分 20．解：⑴由题意1212390,cos 5

A F F F A F ∠=∠= ，

注意到12||2F F = ，所以121235||,||,2||||422A F A F a A F A F ===+= ， X 0 1

2 3 P 1256 17256 91256 14725

6

所以2222,1,3a c b a c ===-=，

即所求椭圆方程为2

2

143x y +=．――――4分

⑵存在这样的点M 符合题意．――――－5分

设线段PQ 的中点为N ，112200(,),(,),(,)P x y Q x y N x y ，直线PQ 的斜率为(0)k k ≠， 注意到2(1,0)F ，则直线PQ 的方程为(1)y k x =-， 由221,43

(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩

消y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 由求根公式得：22221,228(8)4(43)(12),2(43)k k k x k ±-+-=

+ 所以2122843k

x x k +=+，故2120242

43x x k x k +==+， 又点N 在直线PQ 上，所以22243(,)4343k

k N k k -++.―――――8分

由Q P M P PQ M Q ⋅=⋅ 可得()20PQ M Q M P PQ M N ⋅+=⋅= ，

即PQ MN ⊥，所以22230143443M N k

k k k k m k ++=

=--

+，――――10分 整理得22211(0,)34344k

m k k

==∈++， 所以在线段2OF 上存在点)0,(m M 符合题意，其中1(0,)4

m ∈．――――12分 21．解：⑴由题意，函数的定义域为),1()1,1(+∞- ，2)1(11

)(x a

x x f --+='，―――1分

当0≤a 时，注意到0)1(,011

2≤->+x a

x ，所以0)(>'x f ，

即函数()f x 的增区间为),1(),1,1(+∞-，无减区间； ―――2分

当0>a 时，222)1)(1(1)2()1(11

)(x x a x a x x a x x f -+-++-=--+='，