工程问题数学建模实训报告

工程问题数学建模

实训报告

目录

一摘要 (2)

二基本假设 (2)

三设计变量的确定 (2)

四整体求解思路 (4)

五目标函数的确定 (4)

六约束条件的确定 (5)

七 MATLAB (7)

八总结 (10)

九参考文献 (11)

题目: 机床主轴自重最轻优化设计机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。在设计时有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出端C点的挠度。图1所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设计。已知条件：主轴材料为45#，内径d=30mm，外力F=15000N，许用挠度y0=0.05mm，材料的弹性模量E=210GPa，许用应力[σ]=180MPa，材料的密度为3

7800/

kg m

ρ=。 300≤l≤650， 60≤D≤110， 90≤a≤150。l、D、a 的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。

其中，C点的挠度：

()

EI

a

l

Fa

y

3

2+

=；()4

4

64

d

D

I-

=

π

。

题图如下

一摘要

本文利用了材料力学对机床主轴进行了受力与形变分析，利用机械优化设计对机床主轴参数优化建立了数学模型，最后通过MATLAB 实现了对参数最优解的求解。

机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。在设计这根主轴时，有3个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴伸出端的挠度;还有则是此轴强度应满足要求。对于普通机床，并不追求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度与许用应力是约束条件。

关键词：材料力学挠度许用应力自重优化

二基本假设

（1）主轴在实际工作时处于理想状态不受振动等题目外因素干扰。（2）将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。

三设计变量说明

当主轴的材料选定时，其设计方案由3个设计变量决定。空心轴的长l，外径D，伸出的轴长a分别为X1，X2，X3。故设计变量取为x=[x1x2x3]T=[l D a]T

变量及系数表

x空心轴长l

1

x空心轴外径D

2

x伸出轴长a

3

d 空心轴内径

F 外力

ρ材料密度

E 弹性模量

I 惯性矩

M 弯矩

W 截面抗弯矩

[σ]许用应力

d αα=

D

四 整体求解思路

根据题意找到变量建立目标函数与约束方程，带入MATLAB 中进行求解

五 目标函数的确定

机床主轴优化设计的目标函数则为

))((4

1)(22

231d x x x x f -+=πρ 即主轴自重

式中，ρ-材料的密度。

带入数值=ρ7800kg/3m , d=30mm 推出)0009.0)((10567.61262231-+=x x x f

变量 目标函数

约束方程

MATLAB

最优解

六约束条件的确定

上图为机床主轴的受力分析

图（1）为轴应力图表示机床主轴各个位置所受的切应力图（2）为轴弯矩图表示机床主轴各个为之所受的弯矩

由图可知机床主轴在B点有应力突变此处承受的弯矩最大Fa

M

max （1）应力图（2）弯矩图

由题意知机床主轴应满足两个条件，一是端点c 处的扰度最大值应小于0.05mm ，二是此轴的应力应小于][σ。 （1）主轴刚度

主轴刚度是一个重要性能指标，其外伸端的挠度y 不得超过规定值y0，据此建立性能约束 g(x)=y-y0≤0

在外力F 给定的情况下，y 是设计变量x 的函数，其值按下式计算

EI

a Fa y 3)1(2+=

式中)(64

44d D I -=

π

则 0)

(3)

(64)(04

42312

3≤--+=y d x E x x Fx x g π E=210GPa ，F=15000N ，mm y 05.00=

推出 0083.10300000081

.0)

(423

13

3≤--+x x x x ⑵ 主轴强度 对于强度条件：][max

max σσ≤=z

W M 其中Fa M =max )1(32

43

απ-=D W z D

d

=

α a MP 180][=σ 进行简化得00972.1178)000027

.0(

3

23

≤--x x 边界约束条件为设计变量的取值范围，即

min l ≤l ≤ m ax l

min D ≤D ≤max D m in a ≤a ≤m ax a

七 MATLAB

编写目标函数m文件并以文件名fun保存在MATLAB目录下的文件夹中。

编写非线性约束函数m文件并以文件名mycon保存在MATLAB目录下的文件夹中。