常系数非齐次线性微分方程的算子解法

常系数非齐次线性微分方程的算子解法
摘要：本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法，结果说明当非齐次项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时，用这种方法可以直接求出一个特解，运算简单。

关键词：线性微分方程；算子方法；特解
1.引言
微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用,例如单摆运动、传染病的预防等方面都要用到常微分方程.教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次线性微分方程,然而用上述的两种方法需经大量的运算,甚至涉及到求解线性方程组.基于上述的情况,本文讨论求解线性微分方程的算子解法
2.基本概念
对于常系数非齐次线性微分方程
)(1
11
t f x a a n dt x d dt x d n n n
n =+++-- (1)
其中i a ),,3,2,1(n i =均为常数. 令dt
d D =
表示对x 求微商的运算,称它为微分算子;k
k dt d k D =
表示对x 求k 次
微商的运算.于是方程(1)化为
()
()t f x a D a D a D a D n n n n n =++++---12211
(2)
记()()
n n n n n a D a D a D a D D P +++++=---12211 ,称为算子多项式.所以(2)的一个解可简单的表示为()()t f D P x 1=,称()
D P 1
为逆算子. 特别地
()()dt t f t f D ⎰=1,()()()k
k
k dt t f t f D
⎰⎰=1.
3. 算子多项式 3.1性质
设()D P 是上述定义的算子多项式,()()t f t f 21,都是可导函数,则有如下的
结论:
1)()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t f D P D P t f D P D P t f D P D P 1221211
1111 2)
()()()[]()()()
()t f D P t f D P t f t f D P 2121111
+=+ 以上两式的证明均可以由简单的积分来完成,从略. 3.2 运算公式
设()D P 是上述定义的算子多项式,()t v 是可导函数,λ,a 都是常数,则有如下的结论:
1)()()t t e P e D P λλλ=
2)()()
22cos cos a atP at D P -= 3)()()
22sin sin a atP at D P -=
4)()()()()t v e D P t v e D P t t λλλ+= 证
明
1)
()()()
()t t n n n t n n t e P e a a e a D a e D P λλλλλλλ=++=+++=-- 1111n D 2) 因为at i at e iat sin cos +=,at i at e iat sin cos -=-，
所以()
()
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=-2cos 2
2iat iat e e D P at D P ()()
iat iat e D P e D P -+=
2221
21 ()()()()
iat iat e ia P e ia P --+=2
22121
()()22
1
a P e e iat iat -+=-
()2cos a atP -= 3) 由2)式证明可类似推之.
4) 根据莱布尼茨公式,有
()()t v D e D C t v e D k m t k m
k k
m t
m -=⋅=∑λλ0
()t v D C e m k k m k k m t
⎪⎭
⎫
⎝⎛=∑=-0λλ
()()t v D e m
t λλ+=
3.3 逆算子运算公式
设()D P 是上述定义的算子多项式,()t v 是可导函数,λ,a 都是常数,则有如下的结论: 1)()()
t
t e P e D P λλλ11=
()()0≠λP
(3) 2)
()()
at a P at D P cos 1cos 12
2-= ()()
02
≠-a P (4) 3)
()()
at a
P at D P sin 1sin 12
2-= (
)()
02
≠-a P (5) 4)()()()
()t v D P e t v e D P t t λλλ+=1
1 (6)
5)设()()00,10≠=+++=n k k k a P t b t b b t f ,则
()
()()()t f D Q t f D P k k k =1
(7) 其中()k
k k D c D c D c c D Q ++++= 2210是将()D P 按D 的升幂排列后去除1在第
1+k 步得到的结果.
ⅰ)当()0P =λ时,
()()
λλλ11
11P D e e D P s t t =（s 为重数） (8) ⅱ)当()
02=-a P 时,不妨设()()()
2222D Q a D D P s
+=,而()02≠-a Q .则
()()
()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=!2Re 1
cos 122s ia t e a Q at D P s s iat (9)
()
=at D
P sin 1
2
()
()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-!2Im 1
2s ia t e a Q s s iat (10)
ⅲ)当()00P =时,()k k k t b t b b t f +++= 10,此时()()s D D Q D P =而()00≠Q 则
()()()
()t f D Q D t f D P k s k 1
11= (11) 证明 以上1)、2)、3)式的推导可参见文献[1].
4)()()()()()()t v D P D P e t v D P e D P t t λλλλλ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1
1
=()t v e t λ
5)用1除以()D P 得到的商是k 次多项式()D Q k 时,余式中的各项最起码是
1+k 次的,即
1=()()()D R D Q D P k +
其中()n k n k k k D c D c D R ++++++= 11,上式两边同时作用()t f k 得 ()()()()()()t f D R D Q D P t f k k k += ()()()()()D f D R t f D Q D P k k k += ()()()t f D Q D P k k = 由于上式中的()D R 至少是1+k 次的,故()()0=t f D R k . ⅰ)不妨设()()()D P D D P s
1⋅-=λ,而()01≠λP
.由(6)可得 ()()
11
1⋅+=λλλD P e e D P t t ()11
11⋅+⋅=λλD P D e s t
()
λλ11
1P D e s
t
⋅= ⅱ)由于()()()
2222D Q a D D P s
+=,所以
()
()
()
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=at D Q a D at D P s
cos 11
cos 12
2
22 (
)(
)
at a D a Q s
cos 1
12
22+-=
而
()
()
()
1
1
1
22
22
⋅++=+s
iat
iat s
a
ia D e e a
D
=()
s
s iat
ai D e 21
1 =()!21
s t ai e s
s
iat
故有
()()
()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=!2Re 1
cos 122s ia t e a Q at D P s s iat 同理有
()()
()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=!2Im 1
sin 122s ia t e a Q at D P s s iat ⅲ)显然成立.
5. 小结
由以上的题例可以明显的看出,若()t f 是指数、三角、幂函数及其混合函数时,不管采用常数变易法还是待定系数法,都需先求出方程的特征根.若用常数变易法还会涉及到求解方程组;若用待定系数法,当阶数比较高时计算比较复杂,而用算子解法却比较方便快捷.
参考文献
[1]周义仓.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2010:188-203
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