第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系

应该注意，力的平移定理只适 用于刚体，而不适用于变形体，并 且只能在同一刚体上平行移动。
力系的简化
如果一个刚体上承受的力比较多，多 于3个，并且不是一个汇交力系，这种 情况下如何解决这个刚体的平衡问题？ 如何研究这些力之间的关系？再复杂 些，比如还有力偶等等，又如何处理？
第四章 平面任意力系
一、平面任意力系的概念
量R´只是原力系的
向量和，所以它与 简化中心的选择无 关。而力系对于简 化中心的主矩Lo 显 然与简化中心的选 择有关。
2、固定端约束
固定端约束又称为插入端约束，是工程实际中常见的 一种约束类型，如插入墙体的外伸凉台、 固定在车床卡 盘上的车刀、 立于路边的电线杆等，如图4-6（a）、 (b)、 (c) 所示。它们有一个共同的特点是: 构件一端被固定， 既不允许固定端的任意移动，又不允许绕固定端随意转动， 这种约束就是固定端约束。 平面问题中通常用简图4-6 （d）、（e）表示，其约束反力在外力作用面内可用简化 了的两个正交分力Fx、Fy和力偶矩M来表示， 如图4-6（f） 所示。
推论一
只要保持力偶矩不变，力 偶可在作用面内任意移动 或转动，其对刚体的作用 效果不变
推论二
保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小， 其作用效果不变
力偶的作用效果取决于三个因素：构 成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转 向。
故在平面问题中用一带箭头的弧线来 表示如图所求，其中箭头表示力偶的转 向，m表示力偶矩的大小。
▪ 设物体上作用一平面力系F1，F2，，Fn,如 图所示。在力系所在平面内任选一点O，称为
简化中心。
简化中心
F2
Fn
o
d2
d1
dn
F1
F2 mn Fn
m2
m1
F1
y 主矢
R’
L
0
o
x
主矩
简化结果：
主矢： R´=F1+F2+···+Fn=F
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
=mo(F1)+mo(F2)+···mo(Fn)
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。
m1＝F1•d1，m2＝F2•d2， m3＝－F3•d3，
P1•d=F 1•d1 ，P2•d＝F2•d2 ， －P3•d ＝－F3•d3
FR＝P1＋P2－p3
FR′＝P1′＋P2′－P3′
M＝FR d＝（P1＋P2－P3）d
Q P
A
Q
B
P
XA YA A
RB B
定义：如果作用在物体上诸力的作用 线都分布在同一平面内，不汇交于同 一点，也不互相平行，这种力系称为 平面任意力系（简称平面力系）
工程中的平面任 意力系问题
二、平面任意力系向一点的简化
1、主矢和主矩
由力的可传性：力可以沿其作用线在刚体上移动， 不改变其效应。
力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到 刚体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所 决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点 之矩。
F A刚 体
FB
附加力 偶
力的平移定理只适用于刚体
力的平移定理表明，可以将一 个力分解为一个力和一个力偶；反 过来，也可以将同一平面内的一个 力和一个力偶合成为一个力。
（图a）司机转动驾
驶汽车时两手作用在方
向盘上的力；
（图b）工人用丝锥
攻螺纹时两手加在扳手
上的力；
（图c）以及用两个
手指拧动水龙头所加的
力等等。
1．力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶 用符号 ( F ,F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂
两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面
X0,
XATcos 0
Y0,
YAPQTsin0
mA(F)0,
Tsinl P
l Qa0 2
（求解过程略）
（4）分析讨论 ，反力随重物的位置而变化，应按反力的最大值进行设计
取矩点
二力矩式：
取矩点
X 0(或Y 0)
m
A
(F
)
0
mB(F) 0
平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力 偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则 合力偶矩必等于零。由此可得到
平面力偶系平衡的必要与充分条件：
平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。
即Σm＝0
平面力偶系用这个平衡方程，可以求解未知量。
例 梁AB受一力偶作用，其矩m=-100kNm.
=m (F)
原力系的主矩等于原力 系中各力对O点之矩的代
数和。
结论：一个刚体受到复杂力系作用时，可以将它们向某一 点简化，从而得到一个合力和一个合力矩。 该点称为简化中心。
R´ =F Rx´ =X1+X2+···+Xn = X Ry´ =Y1+Y2+···+Yn = Y Mo=m (F)
注意：力系的主向
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
二、力偶的性质
▪ 力和力偶是静力学中两个基本要素。力 偶与力具有不同的性质：
▪ （1）力偶不能简化为一个力，即力偶不 能用一个力等效替代。因此力偶不能与 一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
▪ （2）无合力，故不能与一个力等效；
▪ （3）力偶对其作在平面内任一点的矩恒 等于力偶矩，与矩心位置无关。
结论：
= P1•d+P2•d－P3•d
=F 1•d1+F2•d2－F3•d3
所以
M＝m1＋m2＋m3
若作用在同一平面内有个力偶，则上 式可以推广为
M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm
由此可得到如下结论：
平面力偶系可以合成为一合力偶， 此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力 偶的力偶矩的代数和。
二、平面力偶系的平衡条件
▪ 力 F 对O 点之矩的大小，
▪ 也可以用三角形 OAB 的
▪ 面积的两倍表示，即
▪ Mo(F)＝±2ΔABC
▪ 在国际单位制中， ▪ 力矩的单位是牛顿•米（N•m）
BF
A d
O
L
▪ 或者千牛顿•米（kN•m）。
由上述分析可得力矩的性质：
▪ （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随 矩心的位置变化而变化。
大家好
第三章 力矩与力偶
第一节 力对点之矩
一、 力矩的概念
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。
B
F
A d
O
L
力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号， 以符号mo(F) 表示，记为 :Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
F
(a) (d )
(b )
(e)
图 4-6
来自百度文库
(c) M Fx
Fy (f)
3、简化结果的分析
（1）若 R´=0, Mo0
则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化中心 的主矩。
（2）若R´ 0, Mo=0
则R´即为原力系的合力R，通过简化中心。
（3）若 R´ 0, Mo0
则力系仍然可以简化为一个合力。
尺寸如图所示 ，试求支座A、B的反力。
解：（1）取梁AB为研究对象
m
（2）画受力图 。由支座的约束 A 性质可知，RB的方位为铅直，而
5m m
R A的方位不定。但根据力偶只能与 A
力偶相平衡的性质，可知力RA必与
RA
力RB组成一个力偶，即RA= -RB，RA和RB的指向假设如图。
B
B RB
（3）列平衡方程求未知量 由力偶系的平衡方程有
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
问题： 会力改的变作其用对线刚本体身的是作否用可效以应平吗移？？如果平移F，
假设点 P 作用力 F ，今在同一刚体上 P 某点 O，沿与力 F 平行方向施加一对大小
r
相等（等于F）、方向相反的力 F与F
O
F
显然，这一对力并不改变力 F 对刚体的作用效果
F
为什麽？
此刻我们可以将这 3 个力构 成的力系视为 一对力偶 和1 个作用于点 O 的力 F
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
力F可以视F为 由P力 点向 O点的平 , 移
但是平移时必对须力附偶加一 且其力偶 : M 矩 O为 rF
(F, F)
P r O
F
F
F
对于一个空间力系，我们都可以将这些力平移到某点O，从而组成 一个汇交于O 点的力系——空间汇交力系，同时，各个力平移时分别产 生一个力偶组成力偶系。
• 空间汇交力系可以产生一个合力——称为主矢量（主矢） • 力偶系组成一个合力偶矩——称为主矩
一般式：
X 0
Y
0
m o (F ) 0
取矩点
二力矩式：
X 0(或Y 0) mA(F) 0 mB(F) 0
取矩点
A、B两点连线不能与x轴（或y轴）垂直
取矩点
取矩点
一般式：
X 0
Y
0
m A(F ) 0
解：（1）选横梁AB为研究对象
取矩点
（2）放坐标轴，画受力图
（3）列平衡方程，求未知量
（2）根据合力矩定理计算。
将力F在C点分解为两个正交 的分力，由合力矩定理可得
mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy) =－Fx•b+ Fy•a =－F(bcosα＋asinα)
=F(asinα-bcosα)
当力臂不易确定时，用后一种 方法较为简便。
例 2 求图中荷载对A、B两点之矩
(a)
(b)
m0,
5RA m0 m 100
RA 5 5 20kN RB RA 20kN
计算结果RA、RB皆为正值，表示它们假设的指向与实际的指向相同。
例：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、 B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动 机轴传给联轴器的力偶矩m＝2.5 kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少？
解 取联轴器为研究对象，作用于联轴 器上的力有电动机传给联轴器的力偶， 每个螺栓的反力，受力图如图所示。 设4个螺栓的受力均匀.
即F1＝F2＝F3＝F4＝F
则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶 平衡
由 Σm＝0， m－F×AC－F×d＝0
解得
Fm 2.5 8.3k3N 2d 20.15
第四节 力的平移定理
d=L0 /R´
平面力系简化结果讨论：可能有以下几种情况：
如前分析，平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩
(1 ) F R 0 ,M O 0 称该力系平衡
(2 )F R 0 ,M O 0 该力系等效一个合力偶
(3 ) F R 0 ,M O 0 该力系等效一个合力
(4 )F R 0 ,M O 0 仍然可以继续简化为一个合力，方法如下：
▪ （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次 说明力是滑移矢量。
▪ （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于 所有各分力对同一点之矩的代数和。
Mo(FR)＝ΣMo(F)
上式称为合力矩定理。合 力矩定理建立了合力对点之矩 与分力对同一点之矩的关系。 这个定理也适用于有合力的其 它力系。
FR
FR
FR
O
MO
O
d FR
Od
O’
O’
FR
只要满足：
FR FR ,
dMO FR
第二节 平面任意力系平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡条件 力系的主向量R和力系的主矩Mo都等 于零。即
R R x 2 R y 2( X )2 ( Y )2 0
M o m o(F)0
力系中所有各力在两个任 选坐标轴的每个轴上的投影的 代数和分别等于零，以及各力 对于平面内任意一点之矩的代 数和也等于零。