2008年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2008•北京）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）

A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x≤﹣1或x＞3} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x＜3}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】由题意全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，根据交集的定义计算A∩B．

【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，

∴集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，

故选C．

【点评】此题主要考查集合的交集运算，比较基础．

2．（5分）（2008•北京）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．

【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．

【解答】解：，

由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，

故选A

【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题．

3．（5分）（2008•北京）“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立

【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；

反之取f（x）=﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．

故选B

【点评】本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．

4．（5分）（2008•北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为（）

A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线

【考点】抛物线的定义．

【分析】把直线x=﹣1向左平移一个单位变为x=﹣2，此时点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义．

【解答】解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，

所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，

因此点P的轨迹为抛物线．

故选D．

【点评】本题考查抛物线的定义．

5．（5分）（2008•北京）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）

A．0 B．1 C．D．9

【考点】简单线性规划的应用．

【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．

【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目

标函数Z有最小值，

Z min=3x+2y=30=1

故选B

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

6．（5分）（2008•北京）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）

A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21

【考点】数列的概念及简单表示法．

【分析】根据题目所给的恒成立的式子a p+q=a p+a q，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．

【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，

∴a8=a4+a4=﹣24，

∴a10=a8+a2=﹣30，

故选C

【点评】这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

7．（5分）（2008•北京）过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【考点】圆的切线方程．

【专题】压轴题．

【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600．

明白N点后，用图象法解之也很方便

【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y﹣6=0，它与y=x 的交点N（3，3），

N到（5，1）距离是，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．

故选C．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的非常普遍．

8．（5分）（2008•北京）如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）

A．B．C．D．

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【专题】压轴题．

【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．