2.1.1(二)映射与函数教案

第2课时映射与函数
【学习要求】
1.了解映射、一一映射的概念；
2.初步了解映射与函数间的关系；
3.会判定一些对应关系是不是映射、一一映射．
【学法指导】
通过对教材上实例的研究，引入映射的概念. 通过映射与函数的对比，加深对函数概念的理解，进一步体会特殊与一般的辩证关系.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.映射的概念
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．
2.映射的定义域、值域
集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．
3.一一映射的概念
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射 .
4.函数与映射的关系
由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合
A、B必须是数集.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．
探究点一映射的概念及应用
问题1 初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例，你能举出几个？
答：对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．
答：5名同学构成一个集合A，成绩构成另一个集合B.
这样对集合A中的每一名同学，在集合B中都有唯一的成绩与之对应．
问题3 数轴上的点集与实数集R，通过怎样的法则构成一种对应？
答：数轴上任一点P，对应唯一实数x，使|x|等于点P到原点O的距离．
当点P在数轴的正半轴上时，取x>0；
当点P在数轴的负半轴上时，取x<0；
当P为数轴的原点时，取x＝0.
问题4函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集合有什么特点？
答：两个集合是非空数集．
问题5 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应关系，即映射．你能给映射下个定义吗？
答：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．
这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．
小结：集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域 (函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．
问题6 映射与函数存在怎样的关系？
答： 映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合是数集．
例1 在下面的图(1)(2)(3)中，用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，试判断由A 到B 是不是映射？是不是函数关系？
解： 由于图(1)(2)(3)中的对应关系，都满足对于A 中任一元素，按照图中所示的对应法则，在B 中都有唯一的元素与之对应，所以图(1)(2)(3)中的对应都是由A 到B 的映射， 又因三个图中的集合A 、B 都是数集， 所以它们也都是函数关系．
小结： 判断对应是否是集合A 到集合B 的映射，首先应看A 中的每一个元素是否都在B 中有且有唯一的象，对于映射f ：A→B，A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多． 跟踪训练1 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？
(1)集合A ＝{P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y)|x∈R，y∈R}，对应法则f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(2)集合A ＝{x|x 是三角形}，集合B ＝{x|x 是圆}，对应法则f ：每一个三角形都对应它的内切圆；
(3)集合A ＝{x|x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x|x 是新华中学的学生}，对应法则f ：每一个班级都对应班里的学生．
解：(1)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应， 所以这个对应f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个映射． (2)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，
所以这个对应f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(3)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个， 所以这个对应f ：A→B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．
例2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y)|x ，y∈R}，f ：A→B 是从A 到B 的映射，f ：x→(x＋1，x 2
＋1)，求A 中元素2
的象和B 中元素⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，54的原象． 解： A 中元素2在B 中的象为(
2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝32
x 2
＋1＝5
4
，得x ＝12. ∴B 中元素⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，54的原象是12.
小结： 如果已知f ：A→B 是映射，若已知A 中的元素求它在B 中的象，直接按照对应法则代入求出即可；若已知
B 中的元素，求它在A 中的原象，可以利用对应法则列出方程组求解．
跟踪训练2 已知f ：A→B 是映射，且f ：(x ，y)→(x＋y ，xy)，则(－2,3)在f 作用下对应B 中的元素是________，则________________在f 作用下对应B 中的元素是(2，－3)．
解析： (1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3； ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，
xy ＝－6.即B 中的元素为(1，－6)．
(2)由题意得：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2，
xy ＝－3；
解得：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1
y ＝3
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝－1.
即所求结果为(－1,3)或(3，－1)．
探究点二 一 一 映射的概念
问题1 根据映射的定义，说出在探究点一的问题2、问题3中，是什么集合到什么集合的映射？ 答： 在问题2中，是“5名同学构成的集合”到“5名同学的数学测试成绩构成的集合”的映射； 在问题3中，是“数轴上的点集”到“实数集R ”的映射．
问题2 对于“数轴上的点集”到“实数集R”的映射，除满足对于点集中的任意一个点在R 中都有唯一的实数与之对应外，还同时满足对于R 中任意一个实数在点集中也有唯一的点与之对应，我们称这个映射为一一映射．那么，如何定义一一映射？
答： 如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任何一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．
例3 已知A ＝{1,2,3，m}，B ＝{4,7，n 4，n 2
＋3n}，且n∈N ＋，f ：x→y＝px ＋q 是从A 到B 的一个一一映射，
已知1的象是4,7的原象是2，求p ，q ，m ，n 的值． 解： ∵1的象是4,7的原象是2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
p ＝3，q ＝1.∴y＝3x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
n 4
＝3×3＋1n 2
＋3n ＝3m ＋1
，得n 4
＝10舍去．
或⎩
⎪⎨⎪⎧
n 2＋3n ＝3×3＋1，n 4
＝3m ＋1； 得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝5，
n ＝2.
所以p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.
小结： 判断一个对应是不是一一映射，看是否同时满足两个条件：集合A 中的元素在集合B 中有且有唯一的象，集合B 中的元素在集合A 中有且有唯一的原象．
跟踪训练3 下列映射是不是A 到B 上的一一映射？为什么？ 解：
(1)是A 到B 上的一一映射，因为(1)满足一一映射的定义；
(2)不是A 到B 上的一一映射，因为集合B 中元素1在集合A 中没有原象. 练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
解析：选项A 中元素1在B 中有2个象，故A 错；
选项B 中元素2没有象对应，故B 错； 选项C 的错与选项A 相同；
只有D 符合映射的定义．答案 D
2.已知映射f ：A→B，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素是A 中元素在映射f ：A→B 下的象，且对任意的a∈A，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
解析： 由条件知，集合B 中有元素1,2,3,4共4个．故选A.
3.设集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应法则f 能构成A 到B 的映射的是 ( )
A ．f ：x→(2x－1)2
B ．f ：x→(2x－3)2
C ．f ：x→x 2
－2x －1
D ．f ：x→(x－1)2
解析： 由x 分别取2,4,6,8,10时，(x －1)2
分别为1,9,25,49,81，故答案为D.
4.集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个． 解析： 由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，
总共有如图所示的4种可能．
课堂小结：
1.判断对应是否是集合A 到集合B 的映射，首先应看A 中的每一个元素是否都在B 中有且有唯一的象，对于映射f ：A→B，A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是一对一，多对一，但不能一对多．
2.函数、映射与对应的关系可用下面的图形形象的表示。