函数的单调性与导数课件 新人教A版选修2-2

补充结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数; 2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;
1 例 已知函数（ f x） 2ax 2 ，x (0,1],若（ f x） x 在x (0 ,1]上是增函数，求a的取值范围.
知识小结 ： 一般地，函数y＝f（x）在某个区间内：
如果 。 如果 。
f’(x)>0
，则 f(x)在该区间是增函数 ，则 f(x)在该区间是减函数
f’(x)<0
正负 导函数f’(x)的-----与原函数f(x)的增减性有关
求单调区间的步骤 :
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x y
y= x2 y
y=
x3
y
y
x O
1 x
x
O
x x O
O
结论
在某个区间(a,b)内,如果 f ( x ) 0 ,那么函数
y f ( x )在这个区间内单调递增; 如果 f ( x ) 0,
那么函数 y
单调递增区间为(-,+)
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) x 3 x ; ( 2 ) f ( x ) x 2 x 3 ;
( 3 ) f ( x ) sin x x , x ( 0 , );
( 4 ) f ( x ) 2 x 3 x 24 x 1 .
解：由已知得
2 f ' (x ) 2 a 3 x
因为函数在（0，1]上单调递增
2 f '(x) 0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x 1 而g(x) 3 在（0， 1]上单调递增， x g(x)max g(1)=-1
a -1
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对 应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) x 3 x ; ( 2 ) f ( x ) x 2 x 3 ;
( 3 ) f ( x ) sin x x , x ( 0 , );
( 4 ) f ( x ) 2 x 3 3 x 2 24 x 1 . 2 (4) 因为 f ( x ) 6 x 6 x 24 , 所以
练习：
练习、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。
(4) f ( x) x2 2 x 3
总结:用“导数法” 求单调区间的步骤： （1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围
(4)下结论， 写出函数的单调区间。
y y
o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
a
b
x
G 称为单调区间
定义法
判断函数单调性有哪些方法？
图象法 已知函数
以前,我们主要采用定义法去判断函数的 单调性. 在函数y=f(x) 比较复杂的情况下,比较 f(x1)与f(x2)的大小并不容易. 如果利用导数来 判断函数的单调性就比较简单.
f ( x ) 在这个区间内单调递减.
当 x > 4 , 或 x < 1时 , f ( x ) 0 ; 当 x = 4 , 或 x = 1时 , f ( x ) 0 . 试画出函数 f ( x ) 的图象的大致形状.
例1 已知导函数 f ( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ( x ) 0 ;
( 4 ) f ( x ) 2 x 3 x 24 x 1 .
3 2
解: (3) 因为 f ( x ) sin x x , x ( 0 , )
, 所以
f ( x ) co s x 1 0 .
因此, 函数 f ( x ) sin x x 在 x ( 0 , ) 上单调递减.
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x ) e x;
x
(2) f ( x ) 3 x x .
3
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。
3 2
(2) 因为 f ( x ) x 2 x 3 , 所以
2
当 当
f ( x ) 2 x 2 2 ( x 1 ). f ( x ) 0, 即 x 1时, 函数 f ( x ) x 2 2 x 3 单调递增; f ( x ) 0 , 即x 1 时, 函数 f ( x ) x 2 2 x 3 单调递减.
解:
当1 < x < 4 时, f ( x ) 0 , 可知 f ( x ) 在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ( x ) 0 , 可知 f ( x ) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,
f ( x ) 0 .
综上, 函数 f ( x )图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4
x
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) x 3 x ; ( 2 ) f ( x ) x 2 x 3 ;
( 3 ) f ( x ) sin x x , x ( 0 , );
单调递增区间为(1,+);单调递减区间为(-,1);
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) x 3 x ; ( 2 ) f ( x ) x 2 x 3 ;
( 3 ) f ( x ) sin x x , x ( 0 , );
( 4 ) f ( x ) 2 x 3 x 24 x 1 .
3 2 3 (1) 因为 f ( x ) x 3 x , 所以 解: 2 2
f ( x ) 3 x 3 3 ( x 1) 0 . 因此, 函数 f ( x ) x 3 3 x 在 x R 上单调递增.
在 ( , a ) 或 ( b , ) 内的
图象“平缓”.
1 例 求证：方程 x sin x 0 只有一个根。 2
1 证 令f ( x ) x - sin x,x ( , ) 2 1 f '( x ) 1 cos x 0 2 f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x )=0 1 方程x sin x 0有唯一的根x 0. 2
求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）
练习 P26 1
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(2) f ( x ) e x x ;
(3) f ( x ) 3 x x 3 .
复习引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
G=(a,b)
数
f ( x ) 0 , 即 x 1 17 或x 1 17 2 2 f ( x ) 单调递增;
当
f ( x ) 0 ,
时, 函
当 f ( x )单调递减.
单调递增区间为(
即
1 17 1 17 x 2 2
时,函数
-1+ 17 -1- 17 -1- 17 -1+ 17 ,+);(-, );单调递减区间为( , ) 2 2 2 2
h
h
h
h
O
(A)
t
O
t (B)
O
t
(C)
O
t (D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得
快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上
或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y f ( x ) 在 或 ( a , b ) 内的图象“陡峭”,
函数f百度文库( x ) x ax bx c , 其中a , b, c为常数，
3 2
当a 2 3b 0时，f ( x )在R上( A ) ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
作业 P31 2(3)(4) 3
证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论
例 求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数
证明: 因为f(x)=2x3-6x2+7 f/(x)=6x2-12x=6x(x-2), 当x∈(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)<0, 函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数