材料力学习题解答7

( Fa) L 3EI
a
3EI FL
3
B
2
( 1)
3EI FL
3
wC 2 B a
2
wC
( 1)
F k
(1 )
3EI
(
a L
)
（向下）
7．试用叠加法计算图示各梁C点的挠度。
qa
解： (2) 用逐段刚化法求解。
qa
2 EI
2
q
2
EI
C
a
a
wC1
5 2
0
解： （2）叠加法
d A
， (d F )( L x) ，
2
q ( x)

q0 L
x
2
q0
q0 x( L x) 2 EIL
d F q( x) d x
dx
A
2 3
2 EI
2
B L
A

L
q0 x( L x) 2 EIL
3
0
dx
3
q0 2 EIL
q0 L
3
qa
4
8 EI
qa
4
wC 2

(qa / 2)a 2(2 EI )
2
2
3(2 EI ) qa
3

7 qa
4
24 EI
]a
wC 3 [

(qa / 2)a 2 EI
2
qa
4
2(2 EI )
2 EI
4 4
1 qa 11qa wC ( ) 8 24 2 EI 12 EI
1
7
7．试用叠加法计算图示各梁C点的挠度。 解： (3) 用逐段刚化法求解。
24 EI q0 L
4
24 5 10
5
w( x)
x 24 EIL
q0 120 EIL
q0
d x Cx D
w(0)
0.133 10

rad
4 5
2 2
x Cx D
5
30 EI
30 5 10
( L) 0
w( L) 0

C q0 L
B1
qa
3
B
a
qa a 2
C
q
24 EI qa
3
wC1 0
qa
3
B
A
a
a
B2
B3
1

2
4qa
3
qa
2
3EI l a
EI qa
3EI qa 2 EA
wC 2 0
3
A
C
B
a
a
a 2 EA qa
2
B
qa

4qa
3

qa 2 EA

11qa 8EI
3

qa 2 EA
F
EI B
C
wC
( F / 2)a 3EI
[
( F / 2)( a / 2) 3EI
3

( F / 2)( a / 2) 2 EI
] 2
a
a
a
1 1 1 Fa ( ) 6 48 32 EI

11Fa
3
F FF 2 22
F F
EI EI
22
aa/ /22
aa
B B
（向下）
96 EI
wC 3 l
2 EA
24 EI 2 qa wC 2 EA
3EI
（向上）
（逆时针）
6． 试用叠加法计算图示中间铰梁B截面的 转角以及C点的挠度。 解： (1)
R F 2 qa 2
2 EI
4 4
2 EI
q
R
F qa
C EI
B
a
A
a
a
a
R
q
考虑左梁的变形。
wC R ( 2a )
2
0
3． 如图所示工字形截面悬臂梁长度 L 6 m ，材料 的许用正应力 [ ] 170 MPa ，许用切应力 [ ] 100 MPa ， 弹性模量 E 200 GPa ，梁的许可挠度[ w ] L / 400 。试按 梁的强度条件和刚度条件选择工字钢型号。 解：
M max
3 2 2 4
0
x( L x) [2( L x) 3 x] d x x( L x) [2( L x) 3x] d x
2
6 EIL
6 EIL L q0
0
(1 1 ) 6 EI 5 q0 L
4
1


q0 6 EIL

L
30 EI
0.427 10
2
mm
x( L x) (2 L x) d x
wmax qL
4
q 10 kN/m
8EI
A B
，
刚度条件： ，
wmax qL
4
L
[ w]
3
L 400
8EI
7
பைடு நூலகம்I
400qL 8E
400 10 6 10
3
9
8 200 10
4
3
故应选择：
3
54 10 mm 54000 cm
No .56a
查表：
No .56a
q0 L
4
3
0.427 10
q0 L
4
5
m mm
24 EI CL D 0 D 120 EI 30 EI
0.427 10
2
2．分别用积分法和叠加法计算如图所示悬臂梁自由端 的挠度和转角。已知 L 2 m EI 5 10 kN m q 2 kN/m
2a
（逆时针）
wC 0
4．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用叠加法计算梁 B截面的转角以及C点的挠度。 解： (4)
，
q
B
2qa qa
22
梁可简化为图示简单支梁。
B
qa
3
C
a a a a

qa
3

5qa
3
（顺时针）
24 EI 5qa
4
6 EI qa
4
24 EI 29qa
4
wC


（向下）
qL
6
2
10 36 10 2 170
3
10 6 10
142 34.110
1.06 10 mm 1060 cm
满足切应力强度条件。
I : S 34.1cm
查表：
No .40a
b 10.5 mm
3． 如图所示工字形截面悬臂梁长度 L 6 m ，材料 的许用正应力 [ ] 170 MPa ，许用切应力 [ ] 100 MPa ， 弹性模量 E 200 GPa ，梁的许可挠度[ w ] L / 400 。试按 梁的强度条件和刚度条件选择工字钢型号。 解：
3
F qa
C EI
B
a

4
q ( 2a )
4

2qa

qa
A
a
a
a
3(2 EI )
8(2 EI )
3EI
EI
F qa
C EI
a

5qa
（向下）
B
a
3EI
再考虑右梁的变形。
B
wC 2a 5qa
3
F qa
C EI
B
a
（逆时针）
a
6 EI
6． 试用叠加法计算图示中间铰梁B截面的 转角以及C点的挠度。 解： (2)
( Fa)a 2 EI
2

Fa
3

Fa
3
F
C
（向上）
B
3EI
6 EI
2F
（与所画示意图相反）
4．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用叠加法计算梁 B截面的转角以及C点的挠度。 解： (3)
， 梁可简化为图示简单支梁。
m m 2
B
C
m
m
m
B
(m / 2)a 6 EI

ma 12 EI
2a
a
a
a
a
R F qa
A
R
EI
q
EI
2a C
F qa
B
a
a
R
考虑左梁的变形。
wC R ( 2a ) 3EI
3

q ( 2a ) 8EI
4

2qa
4
（向上）
wC
EI
C
3EI
B
a
再考虑右梁的变形。
B
Fa
3 2
a

wC a
3
qa
3
F qa
EI B
a
2 EI qa
2qa

7qa
?
（顺时针）
5 2
0
解： （1）积分法
y
，
q0
M (x)
M ( x)
，
1 2
x(
q0 L
x)
1 3
x q0
q0 6L
x
3
x
A
B L
( x)
M ( x) EI
d xC q0 24 EIL
4 4
6 EIL x C
x d xC
3
x
q0 L
3
(0)

2 2
3 5
3EI 7qa
8 EI 15qa
3qa 4k
（向上）
48EI
24 EI
48 EI
5．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，拉杆的抗拉刚度 为EA，弹簧的刚度系数为k，试用叠加法计算梁B截面 的转角以及点C的挠度。 解： (2)
RC a
， qa
2
qa
2
RC
qa 2
A
q
a
2
l
C
qa
2
先考虑载荷作用下梁的变形。
F
aa/ /22 a/2
aa
C C C
F
F F 2 2
2 2
B [
( F / 2)a 2 EI ( 1 4
，
1 2
qL
4
2
Fs max qL
A
q 10 kN/m
B
wmax ，
qL
8EI
L
正应力强度条件：
max
W 1 2[ ]
切应力强度条件：
max

3
M max W

1 2W
qL [ ]
2
6
Fs max b( I : S )

3
qL b( I : S ) 1.24 MPa
EI a q
A
a/4 θ
w1
φ
w3
w2
q EI a A a/4
w1 a 4
qa
3

4
a

qa
4
24 EI 4
96 EI
4
θ
w1
q a qa w2 8 EI 4 2048 EI
φ
4 a 1 a a qa a w3 q 3EI 2 4 4 384 EI 4 2

L
( L x 2 Lx x ) d x
2
0
x
0.133 10
2
q0 L
(
1

2 3
1 4
)
5
2 EI 2
24 EI
rad


d wA wA
(d F ) 3EI q0
( L x)
2
(d F ) 2 EI
q0 6 EIL
q0 L
4
( L x) x

L
( 2 L x 3L x x ) d x
4．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用叠加法计算梁 B截面的转角以及C点的挠度。 解： (1) 梁可简化为图示悬臂梁。
F
，
F
F
B
C
F
A B
F ( 2a ) 2 EI
2
2

Fa
2
a
a
a
a
2 EI
B
F
C
B
3Fa
（逆时针）
F ( 2a ) 3EI
3 3
F
2 EI ( Fa
3
wC wA
w3
w2
w w1 w2 w3
15qa
4
2048EI
7．试用叠加法计算图示各梁C点的挠度。 解： (4)
EI
m
2 EI
m
m
EI
R0
R
2 2
C
a
a
a
a
R
wC
ma

ma
（向下）
2(2 EI )
4 EI
8． 试用叠加法计算图示各梁B 截面的转角以及C点的挠度。 解： (1)
a/2
3 3 2
384 EI
16 EI
384 EI
5．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，拉杆的抗拉刚度 为EA，弹簧的刚度系数为k，试用叠加法计算梁B截面 的转角以及点C的挠度。 解： (1)
RB a qa 2
2 ，
q
qa
2
RB
qa 2
A
qa
B
2
k
a
a/2
C
先考虑载荷作用下梁的变形。
B1
wC1 qa

Fa
2
a)
3EI
2 EI
wC
11Fa 6 EI
（向下）
4．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用叠加法计算梁 B截面的转角以及C点的挠度。 解： (2) 梁可简化为图示悬臂梁。
2F
，
F
2F
B
F
C
2F
a
a
a
C
a
B
( Fa)a EI

Fa
2

Fa
2
（逆时针）
F
B
2 EI
2 EI
2F
Fa
wC
RA RB
M C RA L 3 RA m1 m1 m2 L m1 m2 3 m1 0
m1 m2 1 2
L
m2 2m1

2．分别用积分法和叠加法计算如图所示悬臂梁自由端 的挠度和转角。已知 L 2 m EI 5 10 kN m q 2 kN/m
RB
，
qa 2
A
B
再考虑弹簧引起的梁的变形。
B3
B a 3a 2 RB ka q 2k 3qa 4k
B
a/2
k
a
C
qa
（逆时针） （向上）
2
wC 3
B
由叠加法有：
B
wC qa
3

4
qa
3

4
q 2k

3qa
3

4
q 2k
（逆时针）
3qa 4k
24 EI qa
材料力学习题解答7
梁的变形与刚度
1． 如图所示，长度为 L 的简支梁在两端作用有 同一方向的两个力偶 m 1和 m 2 ，则当梁的挠曲线 在距离左端 L / 3 处存在一拐点（正负曲率交界 m 点）时，则比值 m 是多大？
1 2
解：
m1
m2
MC
B

1


M EI
A
L /3
RA RB
正负曲率交界点就是 弯矩为零的点。
C
a
2 EI
3EI
6 EI
7．试用叠加法计算图示各梁C点的挠度。 解： (1)
RL F ( L a)
RF La L F (1 ) ( a L
L
a
F
EI

k
C
)
R
先考虑载荷引起的梁的变 形。用逐段刚化法求解。
wC1 Fa
3
再考虑弹簧引起的梁的变形。
R k L 1 k 1 k 1 k (1 ) F (1 ) 1 L (1 ) a L F F k (1 ) F
3
3qa 2
qa 2
q
B
（逆时针）
a qa
4
24 EI qa
3
A
k
a
C
a/2
2
（向上）
qa
B
A
24 EI 2
48EI
k
a
最下图用逐段刚化法求解。
B2
qa
3
C
a/2
3EI
wC 2
qa
3

a

qa (a / 2) 2 EI
2
2

7 qa
4
3EI 2
24 EI
（逆时针）
（向上）
5．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，拉杆的抗拉刚度 为EA，弹簧的刚度系数为k，试用叠加法计算梁B截面 的转角以及点C的挠度。 解：