人教版-数学归纳法ppt完美课件

要 证 明 这 个 ,必问须题寻 找 一 种 有 骤,就 限 个 能 够 处 理 完 无 限 象多 的个 方. 对 法
我们先从 多米诺骨牌游 戏说起 .这是一 种码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨 牌, 若 前 一 块 骨 牌 倒 下, 则 一 定 导 致 后 一 块 骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨 牌,由于第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块骨牌倒下, 就可 导致第3块骨牌 倒下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
1 k 1 2 k 1 1 1 kk 1 k 1 2 k 1 1 . 1 k 1 k 2 k 1 1 1k1k1 右边. 所n 以 k 1 时 当 等 成 .由 式 1立 ,2可知
1 3 5 1 n 2 n 1 1 n n n N .
2若 从 "nk时 等式 成 立 "能 推"n出 k1时 等 式也 成",立 则 可 以 建 立 一诺 种骨 像牌 多那 米样
的"由 前 到 "的后自 动 递 .推 关 系
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综合 12,就自然地想 这到 个一 等种 式 : 证 的 首先 1 n 1 证 时明 等 成 ;式 立 然后证 2中 明的递.推关系 完 成 以 上 两 ,就步 可n后 由 1时 等式 成 立 为,起 点 递 推n出 2时 等式 成 立 ;再 由 n2时 等式 成 立 , 递 推n出 3时 等式 成 立 如 此 继 续 自 动 递 下 去 ,就 可 以:对 说于 任 意 正 n,等整式 数 成 立 .
在 高 考 中 ,这 类 问 题 也 是 经 常 出 现 ， 同 时 这 也 是 一 种 重 要 的 数 学 推 理 方 法 — — 数 学 归 纳 法 .
二、情景引入
思考 通过计算下面式子 ,你能猜出
1 3 5 1n 2n 1的结果
吗 ?证明你的结论 ? 13 . 135 . 1357 . 13579 .
上面四个式子 别的 是 2,3结 ,4,5n11nn.
怎样证明 ? 它呢
分析 这个问题的特点 :要是证不等式 在n为
任 何 正 整 数 时 都.虽 成然 立我 们 可 以 验 n 证1,2,
3,4,5,甚至n1000,100000,时这个等式成, 立 但是正整数是无限,我 多们 个无法对它们一一验 证.所以,通过验证的方法无成法证完明 .
倒.下
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类 比 多 米 诺 骨,我 牌们 游设 戏想 将 全 部 由正 小整 到 大 依 次 排 列 为 一无 队 1,2限 ,3,长 ,k,k1,. 可以验 , 证
1当n1时,等式 的左右两边 1,即 都这 等时 于等 式成.立
可 以 想 , 象
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三、原理分析
可 以 看,使 出所 有 骨 牌 都 倒 下 件的 有条 两:个
1第一块骨牌倒; 下 2任意相邻的两 ,前块一骨块牌倒下一一 定块 导 倒下 .其中 ,条件 2事实上就是一系 个 :当 递第 k推 块关
倒下,相 时邻的 k第 1块也倒 . 下
只要保 1,2证 成,立 那么所有的以 骨全 牌部 一
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一 般,当 地要 证 明 一对 个于 命不 题小 于 某 正 整n数 0的 所 有 正n都 整成 数立,可时以 用 以 下 两 个 步 : 骤
1证明 n当 n0时命题 ; 成立 2假设 nk当 kN,且 kn0时命题 , 成
证n明 k1时命题. 也成立 在完成这两个步,骤 就后 可以断定命题对于 不小于n0 的所有正整数都.这 成种 立证明方
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 x n 1 nx x 1, n N .
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总结上述过程, 我们用了两个步骤: 第一步, 证明n 1时命题成立,从而奠定了命题成 立的一个起点;第二步,先作归纳假设,然后 证明"由前向后"的递推关系.由这两步保证: 对于从起点向后的所正有整数n N,命题 都成立.
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下面按照上述证 思明 路等 具 :式 体
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证明 1当 n1时 ,式 左右两 边 1,即 都这 等 时等 成 式 .立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k . 在这,再 个 n 考 假 k 1 时 虑 设 的 式 下 左 . 右 左 边 1 3 5 1 k2 k 1
法称为 数学归纳法 mathemaatliicnductio. n
思 考结 合 上 面 的 ,你证认明为 数 学 归 纳 法 基本思想是 ? 什么
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在数学归纳法的两骤个中,步 第一步是奠,第 基 二步是假设与递 .这推 两步都非常重 ,缺要一不 可.第一步确定n了 n0 时命题成,立 nn0 成为 后面递推的出发 ,没点有它递推就成无水源; 之 第 二 步 确 认一 种 递 推 关 系 ,借 助,它 命 题成立 的 范 围 就 能 从 正 n0开整始 ,数 向 后 一 个 数 一 个 数 无 限 传n递0以到后 的 每 一 个,正 从整 而数 完 成 证.因 明此,递推是实现从有限限 到的 无飞跃 的关,键 没有 它我们 就只 在能 对停 有留 限情 况 的 把 握 上 .以上 就是数 学归 基纳 本法 原. 的 理