第二章谓词逻辑

（2）存在x，使得x+1=0。
其中：（a）个体域D1为自然数集合。
（b）个体域D2为实数集合。
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解(a)令F(x):x2-5x+6=(x-2)(x-3);G(x):x+1=0。
在个体域D1中(1),(2)符号化分别为
(1)x F(x) (2)xG(x)
在个体域D1中命题(1)为真命题，命题(2)为假命题。
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四、解释 定义 谓词逻辑公式的一个解释I，由下面四部分组成：
（1）一个具体的个体域D。
（2）对个体常量指定D中的具体个体。 （3）对n元函数指定Dn到D的具体映射。 （4）对n元谓词F指定Dn到{0，1}的具体映射。 显然，对任意公式G，如果给定G的一个解释I，则 G在I的解释下有一个真值，记作TI（G）。
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(2)在个体域D1中有些人是天生就近视，因而(2)可 符号化为 xG（x） (b)在个体域D2中除人外，还有其他的事物，因而在 将(1),(2)符号化时，必须考虑先将人分离出来，令 M(x):x是人。在D2中，(1),(2)可分别描述如下：
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(1)对于宇宙间的一切事物，如果事物是人，则他 是要死的。
变元， F(x) 为相应量词的辖域。在 x 和 x 的辖域 中， x 的所有出现都称为约束出现，而变元 x 叫做 公式中的约束变元。 F(x) 中不是约束出现的其他 变元均称为自由出现，而此变元x叫做公式中的自 由变元。
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例
指出下列各式量词的辖域及变元的约束情况：
（1）x(F(x,y)→G(x,z))
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二、谓词
1 、定义 用来刻画个体词的性质或个体词之间
关系的词称为谓词。 [注] 1)一个谓词与一个个体词相联，称为一元谓词。 一般的，一个谓词与n个个体词相联，称为n元谓词。
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2)谓词分类
谓词常项：表示具体或特指的性质或关系的谓词， 记为F,G,H等。
谓词变项：表示抽象或泛指的性质或关系的谓词， 记为F,G,H等。
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三、量词
定义 表示个体常项或变项之间数量关系的词称 为量词。量词分为两类：全称量词x和存在量词 x，分别表示所有的个体x和存在一个个体x。 [注] a)x后面括号内的式子称为全称量词的辖域； x后面括号内的式子称为存在量词的辖域。
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例2 在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面 的命题符号化： (1)所有人都是要死的。 (2)有的人天生就近视。 其中(a)个体域D1为人类集合。 (b)个体域D2为全总个体域。 解 (a)令F(x)：x要死的；G(x)：x天生就近视。 (1) 在个体域 D1 中除人外，没有其他的事物，因而 (1) 可符号化为： xF（x）
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例 求下列谓词公式的前束范式。 (1)xy(zA(x,z)∧A(x,z))→tB(x,y,t)
解(1)xy(zA(x,z)∧A(x,z))→tB(x,y,t)
Байду номын сангаас
﹁xy(zA(x,z)∧A(x,z))∨tB(x,y,t)
xy(z﹁A(x,z)∨﹁ A(x,z))∨tB(x,y,t) xy(w﹁A(x,w)∨﹁A(x,z))∨tB(u,v,t)
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b、代入规则——自由变元的更改
按下列规则对公式中的自由变元进行更改：
(1)在公式中出现某一自由变元的每一处代入另一 变元； (2)所代入的变元不允许在原公式中以任何的约束 形式出现。
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[注] (1)公式利用改名规则正确改名后，其中的约
束变元个数和自由变元个数应不变。否则，改名错 误。 (2)改名后的公式不能出现既是约束出现又是自 由出现的个体变项。
（2）x(P(x)→yR(x,y))
（3）x(F(x)→G(y))→y(H(x)∧M(x,y,z))
解 (1)对于x的辖域是(F(x,y)→G(x,z))，x是约束 出现的，而且约束出现两次，y,z均为自由出现，而 且各自由出现一次。 (2)对于x的辖域是(P(x)→yR(x,y))，y的辖 域是R(x,y)，x,y均是约束出现的。 22
(3)函数符号：f,g,h…
(4)谓词符号：F,G,H…
(5)联结词： ﹁, ∧, ∨, →, (6)量词： , (7)括号：（，）
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2、公式概念
(a)项 定义 (1)个体常量是项；(2)个体变量是项；
(3)设f为n元函数符, x1,x2,…,xn是项，则
f(x1,x2,…,xn)是项；
∨Q(x,y))))
x(yP(x,y)∧xy(﹁Q(x,y)∨y(P(y,x)∧ ﹁Q(x,y))))
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x(yP(x,y)∧xy(﹁Q(x,y)∨z(P(z,x)∧
﹁Q(x,z))))
x(yP(x,y)∧xyz(﹁Q(x,y)∨(P(z,x)∧
﹁Q(x,z)))) x(yP(x,y)∧uvz(﹁Q(u,v)∨(P(z,u)∧ ﹁Q(u，z)))) xyuvz(P(x,y)∧(Q(u,v)∨(P(z,u)∧ ﹁Q(u,z))))
对存在量词，此特性谓词可作为合取式的合取项而加
入。
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例4 将下列命题符号化，并指出真值情况。 （1）没有人登上过月球。 （2）未必所有人的头发都是黑色的。 解 个体域为全总个体域，令M（x）：x是人。
(1)令F(x)：x登上过月球。命题(1)符号化为：
x（M（x）∧F（x））
设a是1969年登上月球完成阿波罗计划的一名美国人， 则M（a）∧F（a）为真，故命题(1)为假。
（A∨B）、（A→B）、（AB）是公式；
（3）若A是公式，则xA、xA是公式；
（4）只有有限次地应用（1）-（3）构成的符号串才 是公式。 [注] 谓词逻辑公式是由谓词、量词、联结词、和
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括号有限次的使用构成的有意义的符号串。
三、约束变元与自由变元
1 、定义
在公式 xF(x) 和 xF(x) 中，称 x 为指导
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[注] 在求公式前束范式过程中，应注意基本公式 的灵活使用以及改名规则的合理应用。一般而言， 在提出量词时若无基本公式支持，则即应用改名规 则。
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第二节 一、函数
一阶逻辑公式及解释
定义 设D为个体域，一个Dn→D的映射称为一个n 元函数，记为f(x1,x2,…,xn)。 [注]n元函数与n元谓词的区别： n元函数f： Dn→D n元谓词F：Dn→{0，1}
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二、公式
1、谓词逻辑公式所用的符 号(七种) (1)个体常量：a,b,c… (2)个体变量：x,y,z… 命题逻辑公式中所用的 符号(三种) (1)命题：P,Q,R… (2)联结词：﹁, ∧, ∨, →, (3)括号：（，）
xywt(﹁A(x,w)∨﹁A(x,z)∨B(u,v,t))
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(2)﹁x(yP(x,y)→xy(Q(x,y)∧y(P(y,x)→Q(x,y)))) 解﹁x(yP(x,y)→xy(Q(x,y)∧y(P(y,x) →Q(x,y)))) ﹁x(﹁yP(x,y)∨xy(Q(x,y)∧y(﹁P(y,x)
否则，即公式中存在自由出现的变元，则此公式不
是确定的。
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2、改名规则和代入规则
a、改名规则——约束变元的更改
对公式中的约束变元改名时，应遵循下列规则：
(1)改名时需要改的变元符号的范围是量词中的变元 以及该量词辖域中此变元的所有约束出现处，而在 公式的其他部分不变。 (2)改名时所取的符号一定没有在量词辖域内出现过。
(4)项由且仅由有限次使用(1)(2)(3)而得。
(b)原子公式
定义
设P(x1,x2,…,xn)是n元谓词公式，其中，
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x1,x2,…,xn是n个项，则称P(x1,x2,…,xn)为
谓词演算的原子公式。
(c)公式 定义 谓词逻辑公式(亦可简称公式)定义如下： （1）原子公式是公式； （2）若A，B是公式，则（﹁A）、（A∧B）、
Q1x1Q2x2…Qmxm(M(x1,…xm))
其中Qi=或 ，M(x1,…,xm)中不含有任何量词和→， 联结词。
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二、求谓词逻辑公式前束范式的方法： 1) 将公式G中的→，删除，并将﹁深入； 2) 利用基本等式或改名规则将xi,xj提到公式 的最前面，即得前束范式。 定理 对任意一个谓词公式都可以化为与它等价的 前束范式。
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（2）令H(x):x的头发是黑色的。命题(2)可符号
化为：
x(M(x)H(x)) 我们知道有的人头发是褐色的，所以 x(M(x)H(x))为假，故命题(2)为真。
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d)多个量词顺序不能随意调换。 e)当个体域D={a1,a2,…,an}为有限集合时，可将谓词 中的量词删除，化为命题公式，即设F(x)为一元谓词， 则 xF(x) F(a1)∧F(a2)∧…∧F(an) xF(x) F(a1)∨F(a2)∨…∨F(an)
3)n元谓词F(x1,x2,…,xn)不是一个命题，只是一个 命题变元。
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2、谓词逻辑命题的符号化
例1 将下列命题在谓词逻辑中符号化，并讨论它们 的真值： 如果2小于3，则8小于7。 解 设谓词H(x,y):x小于y，a:2，b:3，c:8，d:7 则上述命题符号化为谓词的蕴涵式： H(a,b)→H(c,d) 由于此蕴涵式的前件为真，后件为假，所以命题为 假。
在D上是等值的，记作AB。
定义’ 设A,B是公式，如有AB为永真公式则称其
为等价永真公式，记为AB ，称A与B等值。
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二、一阶逻辑等值式
三、应用
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第二节 一、前束范式的概念
一阶逻辑前束范式
定义 一个公式的所有量词均非否定地出现在在公 式的最前面，其辖域延伸到公式的末尾，且其中不 含有→， 联结词，则该公式称为前束范式。即具 有下列形式的公式：
(b)在个体域D2中(1),(2)符号化分别为 (1)xF（x） (2) xG（x） 在个体域D2中命题(1),(2)都是真命题。
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因此，在谓词逻辑中个体域必须是确定的。有时 为讨论方便，将谓词逻辑中的个体域一律用全总个体
域，每个个体变元的变化范围用一定的特性谓词刻画。
对全称量词，此特性谓词可作为蕴含的前件而加入；
第四章
一阶逻辑基本概念
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苏格拉底三段论： 凡人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。
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第一节
一、个体词
一阶逻辑基本概念
定义 研究对象中可以独立存在的具体或抽 象的客体，称为个体词。
[注] 表示具体或特定的客体的个体词称为个体常 项，一般用a,b,c等表示。 表示抽象或泛指的客体的个体词称为个体变 项，一般用x,y,z等表示。 个体变项的取值范围称为个体域。由所有的 个体构成的个体域成为全总各体域。
（ 3 ）对于 x 的辖域是(F(x)→G(y))，其中 x 是约束 出现的，而y是自由出现的。对y的辖域是 (H(x)∧M(x,y,z))，其中 y 是约束出现的，而 x,z 是 自由出现的。 [注] 若一个公式中的所有变元均为约束出现而无自 由出现，则此公式是确定的，并且可以确定其真假，
(2)在宇宙间存在着天生就近视的人。
将(1),(2)分别符号化为：
(1)x(M(x)F(x))
(2)x(M(x)∧G(x)) 在个体域D1、D2中命题(1),(2)都是真命题。
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b)量词所确定的公式与个体域有关。 c)对不同个体域表达式有不同的真值。 例3 在个体域分别限制为（ a ）和（ b ）条件时，将 下面的命题符号化： （1）对任意的x，都有x2-5x+6 =(x-2)(x-3)
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求谓词逻辑公式在解释I下的真值的方法：
1、当D有限时，删除公式中的量词，化为命题逻辑
公式求真值。 2、当D无限时，将谓词具体化，根据量词的含义说明 真值。
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2、公式的分类
定义 若不存在解释 I ，使得 I 满足 TI(G)=1 ，则称公 式 G为永假式（或矛盾式）。若 G的所有解释I都满足 TI(G)=1，则称公式G为永真式（或逻辑有效式）。
定义 若存在解释I，使得 G在解释I下真值为真，则 称公式G为可满足的。 定理 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式。
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第五章
一阶逻辑等值演算与推理
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第一节 一阶逻辑等值式
一、公式的等值 定义 设A、B是公式，设它们有共同的个体域 D，若
对任意的解释I都有TI（A）=TI（B），则称公式A、B