线性代数第四章知识要点
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定理 4 r 维向量组的每个向量添上 n - r 个
分量,成为 n 维向量组,若 r 维向量组线性无关, 则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组 线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.
定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维
数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.
3. 向量组的秩
(3) 向量的线性运算
若 = (a1 , a2 , ···, an), = (b1 , b2 , ···, bn), 则
+ ＝△ (a1 + b1 , a2 + b2 , ···, an + bn) ;
＝△ (a1 , a2 , ···, an ) , 其中 R .
(4) 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量
1, 2 , ···, r V , 且满足 (i) 1, 2 , ···, r 线性无关; (ii) V 中任一向量都可由1, 2 , ···, r 线性
表示. 那么, 向量组 1, 2 , ···, r 就称为向量空
间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V 为 r 维向量空间.
推论 1 设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 ≤ r2 .
推论 2 等价的向量组有相同的秩.
4. 向量空间
(1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空 且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称 集合 V 为向量空间.
A 线性表示.
如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , ···, km ,
使
k11 + k22 + ···+ kmm = 0 ,
则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关.
如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组
B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组
B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能
所谓封闭, 是指对 V , V 及 k R, 有 + V , k V .
(2) 由向量组 1, 2 , ···, m 所生成的向量空
间为
L={x | x=k11 + k22 + ···+ kmm | k1 , ···, km R}.
(3) 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 V2 , 就称 V1 是 V2 的子空间.
2. 线性相关与线性无关
(1) 线性组合，线性表示，线性相关
设有 n 维向量组 A: 1, 2 , ···, m , B: 1 , 2 , ···, s , 对于向量 , 如果有一组数 1 , 2 , ···,m ,使
= 11 + 22 + ···+ mm , 则称向量 是向量组 A 的线性组合, 或称 可由
(1) 定义 设有向量组 T , 如果
(i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , ···, r 线性无关;
(ii) T 中任意 r+1 个向量(如果 T 中有 r+1 个
向量的话)都线性相关, 那么称 1, 2 , ···, r 是向
量组 T 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无 关组; 数 r 称为向量组 T 的秩. 并规定: 只含零向 量的向量组的秩为 0.
二 基本要求与重点、难点
基本要求 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量 的线性运算.
2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线 性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量 组的线性相关性, 求出其最大无关组.
3. 掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价 等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩.
(2) 性质 性质 1 向量组线性无关的充要条件是它所 含向量个数等于它的秩. 性质 2 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的 最高阶非零子式, 则 D 所在的 r 个行向量即是矩 阵A的行向量组的一个最大无关组;D 所在的 r 个 列向量即是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关 组. 性质 3 R(A) = A 的行秩 = A 的列秩.
4. 掌握线性方程组解的结构,会求方程组的 解.
重点 线性相关、线性无关、最大无关组、
秩等概念; 判断线性相关性及求秩的方法.
难点 线性相关、线性无关的概念及其判定
法.
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结本若节击想请本容单若束内请返结本若节击想请本容单若束内请返结节 节已击想 想本本容单 单若回束节想内请返结单节已击想本本容单若回束节想内请返结本单若节已击想本请本容单若回束内 内结请返结 结本堂若节已击 击想按本内请结本容单若回束击内结请返结堂节已击想按本内结本容单若回束节击想内结请返结堂单节已击想按本本容 容束单若回束 束节课想内结请返 返结钮堂容单束节已击想按本返本容束单若回束课内结请返结钮堂容束节已击想按本内返结本容束单若回束课击内结请返结钮堂节已 已击想按本 本内,结本容束单若回 回束课.已击本内结!请返结钮堂回节已击想按本,容束单回束课.已本内结!返结钮堂容回束节已击想按本,返容束单回束课.内结 结!返结钮堂 堂容束节已击想按 按本,结返堂容束单回束课.按内结!返结钮堂已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂回已击按本,容束 束回束课 课.已本内结!返结钮 钮堂束回课已击按本,钮容束回束课.结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按结!返钮堂已按本,,结堂容束回束课..按,结!!返钮堂.已按本,!束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.结!钮堂束课已按本,钮束回课.结!钮堂按,束课.,结!钮堂.按,!束课.,结!钮堂.按,!束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 .
向量组之间的等价关系具有反身性、对称
性、传递性 .
(2) 线性相关的性质
定理 1 向量组 1, 2 , ···, m (m≥2) 线性
相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量 可由其余 m - 1 个向量线性表示.
定理 2 设 1, 2 , ···, m 线性无关, 而
1, 2 , ···, m , 线性相关, 则 能由 1, 2 , ···, m 线性表示, 且表示式是唯一的.
(3) 线Fra Baidu bibliotek相关性的判定定理
定理 3 若 1, 2 , ···, r 线性相关, 则1,
2 , ···, r , r+1, ···, m 也线性相关.
4) 线性运算满足下列八条规律:
+ = + ; ( + ) + ·= + ( + ·) ; + 0 = ; + (-) = 0 ; 1· = ; () = () ; ( + ) = + ; ( + ) = + , 其中 , , ·为 n 维向量 , , R.
性质 4 设向量组 A: 1, 2 , ···, r 是向量
组 T 的一个最大无关组, 则向量组 A 与向量组 T 等价.
定理 6 设有两个向量组:
A: 1, 2 , ···, r , B: 1 , 2 , ···, s ,
如果 A 组能由 B 组线性表示, 且 A 组线性无关, 则A 组所含向量个数 r 不大于 B 组所含向量个数 s, 即 r ≤ s .
分量,成为 n 维向量组,若 r 维向量组线性无关, 则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组 线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.
定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维
数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.
3. 向量组的秩
(3) 向量的线性运算
若 = (a1 , a2 , ···, an), = (b1 , b2 , ···, bn), 则
+ ＝△ (a1 + b1 , a2 + b2 , ···, an + bn) ;
＝△ (a1 , a2 , ···, an ) , 其中 R .
(4) 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量
1, 2 , ···, r V , 且满足 (i) 1, 2 , ···, r 线性无关; (ii) V 中任一向量都可由1, 2 , ···, r 线性
表示. 那么, 向量组 1, 2 , ···, r 就称为向量空
间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V 为 r 维向量空间.
推论 1 设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 ≤ r2 .
推论 2 等价的向量组有相同的秩.
4. 向量空间
(1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空 且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称 集合 V 为向量空间.
A 线性表示.
如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , ···, km ,
使
k11 + k22 + ···+ kmm = 0 ,
则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关.
如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组
B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组
B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能
所谓封闭, 是指对 V , V 及 k R, 有 + V , k V .
(2) 由向量组 1, 2 , ···, m 所生成的向量空
间为
L={x | x=k11 + k22 + ···+ kmm | k1 , ···, km R}.
(3) 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 V2 , 就称 V1 是 V2 的子空间.
2. 线性相关与线性无关
(1) 线性组合，线性表示，线性相关
设有 n 维向量组 A: 1, 2 , ···, m , B: 1 , 2 , ···, s , 对于向量 , 如果有一组数 1 , 2 , ···,m ,使
= 11 + 22 + ···+ mm , 则称向量 是向量组 A 的线性组合, 或称 可由
(1) 定义 设有向量组 T , 如果
(i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , ···, r 线性无关;
(ii) T 中任意 r+1 个向量(如果 T 中有 r+1 个
向量的话)都线性相关, 那么称 1, 2 , ···, r 是向
量组 T 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无 关组; 数 r 称为向量组 T 的秩. 并规定: 只含零向 量的向量组的秩为 0.
二 基本要求与重点、难点
基本要求 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量 的线性运算.
2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线 性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量 组的线性相关性, 求出其最大无关组.
3. 掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价 等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩.
(2) 性质 性质 1 向量组线性无关的充要条件是它所 含向量个数等于它的秩. 性质 2 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的 最高阶非零子式, 则 D 所在的 r 个行向量即是矩 阵A的行向量组的一个最大无关组;D 所在的 r 个 列向量即是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关 组. 性质 3 R(A) = A 的行秩 = A 的列秩.
4. 掌握线性方程组解的结构,会求方程组的 解.
重点 线性相关、线性无关、最大无关组、
秩等概念; 判断线性相关性及求秩的方法.
难点 线性相关、线性无关的概念及其判定
法.
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结本若节击想请本容单若束内请返结本若节击想请本容单若束内请返结节 节已击想 想本本容单 单若回束节想内请返结单节已击想本本容单若回束节想内请返结本单若节已击想本请本容单若回束内 内结请返结 结本堂若节已击 击想按本内请结本容单若回束击内结请返结堂节已击想按本内结本容单若回束节击想内结请返结堂单节已击想按本本容 容束单若回束 束节课想内结请返 返结钮堂容单束节已击想按本返本容束单若回束课内结请返结钮堂容束节已击想按本内返结本容束单若回束课击内结请返结钮堂节已 已击想按本 本内,结本容束单若回 回束课.已击本内结!请返结钮堂回节已击想按本,容束单回束课.已本内结!返结钮堂容回束节已击想按本,返容束单回束课.内结 结!返结钮堂 堂容束节已击想按 按本,结返堂容束单回束课.按内结!返结钮堂已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂回已击按本,容束 束回束课 课.已本内结!返结钮 钮堂束回课已击按本,钮容束回束课.结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按结!返钮堂已按本,,结堂容束回束课..按,结!!返钮堂.已按本,!束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.结!钮堂束课已按本,钮束回课.结!钮堂按,束课.,结!钮堂.按,!束课.,结!钮堂.按,!束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 .
向量组之间的等价关系具有反身性、对称
性、传递性 .
(2) 线性相关的性质
定理 1 向量组 1, 2 , ···, m (m≥2) 线性
相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量 可由其余 m - 1 个向量线性表示.
定理 2 设 1, 2 , ···, m 线性无关, 而
1, 2 , ···, m , 线性相关, 则 能由 1, 2 , ···, m 线性表示, 且表示式是唯一的.
(3) 线Fra Baidu bibliotek相关性的判定定理
定理 3 若 1, 2 , ···, r 线性相关, 则1,
2 , ···, r , r+1, ···, m 也线性相关.
4) 线性运算满足下列八条规律:
+ = + ; ( + ) + ·= + ( + ·) ; + 0 = ; + (-) = 0 ; 1· = ; () = () ; ( + ) = + ; ( + ) = + , 其中 , , ·为 n 维向量 , , R.
性质 4 设向量组 A: 1, 2 , ···, r 是向量
组 T 的一个最大无关组, 则向量组 A 与向量组 T 等价.
定理 6 设有两个向量组:
A: 1, 2 , ···, r , B: 1 , 2 , ···, s ,
如果 A 组能由 B 组线性表示, 且 A 组线性无关, 则A 组所含向量个数 r 不大于 B 组所含向量个数 s, 即 r ≤ s .