随机过程的谱分析[1]

q
s-plane
( s - a 1 )L ( s - a 2 p ) ( s - b1 )L ( s - b2q )
By definit ion : S X (s ) = S X (- s )
* Real X (t ) : S X (s ) = S X (s * )
* * ( s - a 1 )L ( s - a p ) 轾( s - a 1 )L ( s - a p ) + 轾 S X (s ) = 犏 a (s - b 1 )L (s - b q ) 犏 a (s - b * )L (s - b * ) = S X (s )S X (s ) 1 q 臌 臌 14444 42 44444 3 14444 42 44444 3 +
平稳随机过程的谱分析 频域分析
第三章
学习要点
• 平稳过程的自相关函数与功率谱密度之 间、联合平稳过程的互相关函数与互谱 密度之间皆互为傅立叶变换，知其一则 可求其二，并能求出平均功率、互功率 • 对功率谱密度、互谱密度的定义及性质 要熟记，以便灵活运用，解决有关问题 • 白噪声的定义和有关性质 • 离散时间随机过程的功率谱密度及其主 要性质
1 功率 lim T 2T
ò
T
-T
x 2 (t )dt
3.1.2 随机过程的功率谱密度
随机信号功率谱密度的第一种形式 Power Spectra Density: PSD 一、随机过程的功率（随机变量）：
1 P = l鬃 im T 2T
2 X 蝌 (t )dt = -T T 1 2p ¥ - ?
轾 | X X (T , w ) |2 l鬃 i m犏 dw T 犏 臌 2T
=
1 2p j
蝌
s + jゥ
st X (s ) 轾 x ( t ) e dt ds 犏 臌?
xT (t ) « X x (T , s )
S X (s ) = lim
T 1 2T
LT
E [X X (T , s )X X (T , - s ) ]
s = jw
w = - js
1 2p j
S X (w )
21 / 30
S X (s )ds
系统分析\求平均功率(均方值)
Q = A E [X 2 (t )] =
ò
j¥
- j?
例：复频域功率谱密度
example
w2 + 4 WSS.X (t ), P SD : S X ( w ) = 4 solution: w + 10w 2 + 9 - (s 2 - 4) E [X 2 (t )] = ? S X (s ) = S X ( w) | w= - js = 4 s - 10s 2 + 9 - (s + 2)(s - 2) jw = (s + 1)(s + 3)(s - 1)(s - 3)
x(t)
t |X(w)|
5 / 30
w
对能量信号进行傅立叶分析可知其能量在频域的分布情况
3.1 随机过程的谱分析
3.1.1 简单回顾
三、能（量）谱密度：描述了信号能量的频域分布 ¥ 1 j wt 非周期信号的IFT x (t ) = X ( w ) e d w 2p ò- ?
蝌 x (t )dt =
2 / 30
Why Fourier analysis?
— Harmonic analysis
Sum
w 0
— System analysis, identification …..
3 / 30
3.1 随机过程的谱分析
3.1.1 简单回顾
一、关于确定信号的傅立叶分析
非周期实信号 x(t)：
（1）在 (- ? , ? ) 范围内满足狄利赫利条件：有限个 极值、断点，断点为有限值； （2）绝对可积：
E [X 2 (t )] =
3 16
+
5 48
=
7 24
22 / 30
3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质
3.2.1 Properties of WSS PSD
E [|X X (T , w )|2 ] 轾 S X ( w ) = lim 臌 2T ? 0 T * S X (w ) = S X (w)
二、随机过程的平均功率及功率谱密度：
轾 1 Q = E犏 l鬃 i m T 犏 2T 臌 1 lim T 2T
T
轾 1 犏 X (t )dt = E 蝌 犏 -T 2p 臌
T 2 ¥ - ?
¥ - ?
轾 | X X (T , w ) |2 l鬃 i m犏 dw T ê ú 臌 2T
1 2 E [X (t ) ]dt = 蝌 -T 2p
2 2 E [X 2 (t )]dt = A y X (t ) = y X (t )
（1）随机过程的功率是时变均方值的时间平均值， 若随机过程为WSS，则其功率就等于均方值 （2）功率谱密度描述了随机过程平均功率在频域 的分布规律 （3）对于平稳随机过程有 E [X (t )] =
2 1 2p
ò
¥
- ?
ò s 1( w )d w
- ? ¥ - ?
x3(t)
x4(t) x5(t)
ò s 2 ( w )d w
S (w )
pn =
1 2p ¥
xn(t)
ò s n ( w )d w
13 / 30
- ?
E {S (w )} = ?? = S X ( w )
3.1 随机过程的谱分析
样本[x(t)]功率谱密度的推导
ò
+?
- ?
| x (t ) | dt < ?
（3）信号总能量有限：
ò
+?
4 / 30
- ?
x 2 (t )dt < ?
3.1 随机过程的谱分析
3.1.1 简单回顾
二、能量信号 确定信号的能量定义为：
E ( ner ge ) =
ò
¥
- ?
x 2 (t )dt
能量有限的信号称为能量信号，如持续时间有限的非周期信号
x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) x5(t)
T
p 1 = lim
T
1 2T
ò ò
T
-T T
2 x1 (t )dt 2 x2 (t )dt
X (t )
T
lim
1 2T
ò
T
-T
(× )2 dt
P
p 2 = lim
T
1 2T
-T
xn(t)
p n = lim
T
1 2T
ò
-T
2 xn (t )dt
S X 1 ( w)
S X 2 ( w)
23 / 30
w
8 6 4 2 骣 w2 w2 w4 w sin w ÷ - ( w - 1)2 w + w + w + w ç , , d ( w ), , , e , ÷ ç 桫w w 6 + 3w 2 + 3 w 4 - 1 j w 6 + w 2 + 1 w 4 + 2w 2 + 1 w 6 + 3w 2 + 3 2
r
Q = E [X (t )] =
2
1 2p j
ò
j¥
- j?
S X (s )ds
3 16 5 48
-3 -2 -1
1 2
3

å
m
K pm
- (s + 2)( s - 2) K- 1 = 轾 ( s - 1)( s + 3)( s - 3) s = - 1 = 犏 臌 - (s + 2)( s - 2) K- 3 = 轾 ( s - 1)( s + 3)( s - 3) s = - 3 = 犏 臌
xT (t ) « X x (T , w )
帕 色 伐 尔 定 理
截断信号之FT对
蝌 x (t )dt =
- ?
¥
2 T
T T
x 2 (t )dt
1 = 2p
ò
¥
- ?
| X x (T , w ) |2 d w
样本功率谱密度 1 T 2 p = lim x (t )dt ò T 2T - T ¥ 轾 1 | X x (T , w ) |2 = lim 犏 dw ò T 犏 2p - ? 臌 2T 14 / 30
-T
0
0
3.1.3 功率谱密度与复频率面
Laplace transformation
x (t ) ? X (s ) : s
LT
2
蝌 x (t )dt =
- ?
ゥ
s + jw 轾 1 x (t ) 犏 2p j ? 臌
?
s + j? j?
s
X (s )e st ds dt
s - j? 1 j st x(t) X(s)e s ds + j? j 1 2j = 2p j ò X (s )X (- s )ds s - j?
3.1.1 简单回顾
六、随机信号样本是功率信号！
x(t)
xT(t)
t
什么是功率？
P (ow e r ) 1 = lim T 2T
1 = lim x ( t ) dt ò- T T 2T
T 2
ò
¥
- ?
2 xT (t )dt
10 / 30
似乎能通过（广义）傅立叶分析研究随机信号功率在频域的分布？
Generalized Harmonic Analysis
w
3.2 平稳随机过程功率谱al spect ral:
p a w 2k k= 0 k q b w 2k k= 0 k
S X (w ) = å å S X (s ) = a 2
ii) ì (1) ï ï í ï (2) ï ï î
: ( P 4) ? p , a i ? bi
Y1(w) Y2(w)
X (t )
ò
+?
- ?
(× )e - j wt dt
Y (w )
Y3(w) Y4(w)
xn(t)
Yn(w)
7 / 30
3.1 随机过程的谱分析
3.1.1 简单回顾
五、随机信号样本不是能量信号！
x(t)
随时间无限延伸，能量无限
t
+?
Y k (w ) =
ò
- ?
x k (t )e - j wt dt 收敛吗？
x(t)
T
功率信号
lim
1 2T
ò
T
-T
x 2 (t )dt < ?
-T
能量信号
xT(t)
T
t
ò
¥
- ?
2 xT (t )dt < ?
t
11 / 30
Acta Mathematica, vol. 55, no. 1, pp. 117-258, 1930
3.1 随机过程的谱分析
3.1.1 简单回顾 七、随机信号不同样本的功率一般不同，所以其功 率是个随机变量，实际中取其均值，称为随机 信号的平均功率（尽管有时简称功率）
( P1) ( P2) ( P 3)
S X ( w ) = S X (- w ) only for real RP X (t )
* : X X (T , - w ) = X X (T , w ) ? | X X (T , w ) |2
| X X (T , - w ) |2
( P 4)
ò
¥
- ?
S X ( w )d w < ¥ : E [X 2 (t )] < ¥
12 / 30
E {P } = Q ??
3.1 随机过程的谱分析
3.1.1 简单回顾 八、随机信号不同样本的功率谱密度一般不同，所 以其功率谱密度是个随机函数，实际中取其均 值，称为随机信号的平均功率谱密度（尽管大 多时候简称功率谱密度）
x1(t) x2(t)
p1 = p2 =
1 2p 1 2p
¥
6 / 30
对能量信号进行傅立叶分析可得其能谱密度
Generalized Harmonic Analysis
（1）如果Y(w)存在，其为“随机”谱函数 （2）Y k ( w ) =
ò
+?
- ?
x k (t )e - j wt dt 收敛吗？
x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) x5(t)
2 轾 轾 E | X ( T , w ) | 臌 X lim 犏 dw 犏 T 2T 臌
15 / 30
随机过程的功率谱密度: S X ( w )
随机信号平均功率在频域的分布
3.1.2 随机过程的功率谱密度
remarks
Q =
1 2p
ò
¥
- ? 1 2T
S X ( w )d w
= lim
T
ò
T
-T
S X ( w )d w/ 30 16
3.1.2 随机过程的功率谱密度
17 / 30
3.1.2 随机过程的功率谱密度
18 / 30
3.1.2 随机过程的功率谱密度
2
19 / 30
3.1.2 随机过程的功率谱密度
x(t) 1 b2/2 T t 2a2
Sx(ω) b2/2 ω
20 / 30
- ?
ゥ
2
?
轾 1 x (t ) 犏 犏 2p 臌
ゥ
?
? ?
X ( w )e j wt d w dt
能谱密度
帕 色 伐 尔 定 理
1 = 2p 1 = 2p
轾 x (t )e j wt dt d w X ( w ) 犏 蝌 - ? 臌? ゥ 1 2 X ( w ) X ( w ) d w = | X ( w ) | dw 蝌 - ? ? 2p
8 / 30
3.1 随机过程的谱分析
3.1.1 简单回顾
确定信号的功率定义为：
P(ower ) 1 = lim T 2T
ò
T
-T
x 2 (t )dt = A < x 2 (t ) > = x 2 (t )
周期信号和持续时间无限、幅度有限的非周期信号为功率信号
x(t)
t
9 / 30
t
3.1 随机过程的谱分析