一种平面n构件串联机构工作空间分析方法_李瑞琴
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4 3 2 5 8 9 (b) T 工作区间三维图 图 4 机器人工作空间 7 1 6 1
2011 年增刊
当 3 1 时，
max l2 l3 , l4 VL4 l1 l4
lv 4,v
1600-VL4 2400-VL4
1-基座；2-肩关节；3-大臂；4-肘关节；5-中臂；6-α 关节；7-小臂； 8-β 关节；9-末端臂；10-末端执行器 图 3 机械臂机构示意图 O
n
l l1 l2 l3 l n 1 l n 1 1 i ln ln ln ln ln i 2 ln
(1)
收稿日期：2011-8-10 基金项目：山西省自然科学基金资助项目（2010011036-1）
88
李瑞琴等：一种平面 n 构件串联机构工作空间分析方法 当 i (i 4, , n) 为零时，VLn 最短；当 i (i 4,, n) 为 时，VLn 最长，具体计算公式如下：
② VL4 l1 l4
lv4’,v5’ VL4-2400 lv2,v3 VL4-1600 lv
(a) 工作空间
参考文献：
i 2
2 VL5 l4 (VL4 ) 2 2l4 (VL4 ) cos 5max(VLn ) ， ln min(VLn ) ，
n 1 。ln 的取值不同时会导致有两种不同的结果，即 ln 为
(2)
此时， 四杆机构的类型取决于虚 最短杆或者 ln 为第二短杆， 拟构件 VL 的长度。
Abstract: Orientation rotatability characterized by orientation angle workspace is an essential factor associated with robot manipulators. This paper presented a new approach for analyzing and synthesizing the orientation angle workspace of planar serial n-link manipulator. By introducing a virtual equivalent mechanism, the open-chain kinematic problem is converted into a close-chain mechanism, and the Grashof-type condition is used to examine the rotatability of the end-effector link. This method was applied to the design of a garden pruning robot which is a planar serial 4-link manipulator. The application research and analysis approach have practical significance for the design of a highly dexterous serial 4-link manipulator with proposed link relations. Key words: Grashof criterion, planar serial 4-link manipulator, orientation angle workspace, virtual equivalent mechanism
lv 2,v 3
1600+VL4
lv1
S
P 2400+VL4
由于作业空间对于该机器人的设计很重要， 根据实际测 量一般的作业对象在平面 XOYO 投影的直径为 0.5-4.0m，一 般的绿篱和园林修剪高度为 1.0-4.0m。 根据以上要求，由 n 杆操作机灵活工作空间分析理论可知，第六种情况的工作 空间最灵活， 故本文采用这种情况下的杆长参数， 并将杆长 初步定为如下：l1＝2000(mm), l2＝1500(mm), l3＝1000(mm), l4＝400(mm)。 虚拟构件 VL4 的长度计算如下：
2 2 VLn ln 1 (VLn 1 ) 2ln 1 (VLn 1 ) cos n
系，以及 l1、 n 、VLn 最大值，该机构可以分为 6 种情况， 如表 1 所示。
3
n 杆操作机构工作空间分析
下面以第一种情况为例， 简要的介绍 n 杆操作机构工作
l2 l3 ≤VLn ≤ li
此时末端构件ln.仍为为最短杆，并且l1是最长杆： 转动能力γ0计算如下：
SB 3 l1 VLn ln , SC 3 l1 VLn ln , SC 2 l1 VLn ln , S A1 l1 VLn ln
当点 P 从最远点沿径向向 O 点移动时，运动空间 [ l1 VLn ln , l1 VLn ln ]被分为几个子区间： lv1:, lv4',v5':,
lv 4,v 5
O A1
lv1
P B3 S
此时末端构件 ln.为最短杆，具有 360转动能力：
图 2 Case 1-1（ VLn>ln）的工作空间范围
max l2 l3 , ln ≤VLn ≤ li
i2
n 1
(4)
各边界点计算如下：
(3) lv4, v5 l1 VLn ln , l1 VLn ln
lv
(a) 工作空间
VL4 l2 2 l32 2l2 l3 cos 4
当 β4 去不同的数值时，VL4 的长度范围如下：
(6)
(b) 三维图 图 5 机器人工作空间
l2 2 l32 2l2 l3 ≤VL4 ≤ l2 2 l32 2l2 l3
(7)
VL4>l1>l4. ① VL4 l1 l4
绿化地区的树木， 为了满足现代高速公路绿化标准和现代园 林设计标准， 需设计出能把树木修剪成球柱形、 球形、 矩形、 锥形等形状的机器人执行机构， 因此该机械臂的末端执行机 构必须有很大灵活工作空间。 整个结构为平面串联开链关节 型，有四个旋转关节（如图 1 所示） ，五个自由度，其中基
89
机 械 设 计 与 研 究 座转动关节实现机器人本体除基座以外的机构的转动； 肩关 节带动进行俯仰转动，以满足机器人工作空间上高度的要 求；大臂、中臂、小臂、末端执行器均可在允许的范围内运 动。
2011 年增刊
机械设计与研究 Machine Design and Research
一种平面 n 构件串联机构工作空间分析方法
李瑞琴，赵耀虹，肖登红，梁晶晶 （中北大学 机械工程与自动化学院，太原 030051，E-mail: lrq-dyt@）
摘要：工作空间分析对于平面串联机构的设计很重要。提出了一种用于分析 n 构件工作空间的方法，通过引入
2 VL4 l2 l32 2l2l3 cos 4
根据末端构件 ln 和虚拟构件 VLn 最小值之间的长度关 表1 Case 1 l1 ln ρn （1）当 VLn > ln 各杆长的关系为： 被分为 5 个区间： l1>max(VLn) ln>min(VLn) ρn>1 Case 2 l1>max(VLn) ln>min(VLn) ρn<1 n 杆机构的分类情况 Case 4 l1>max(VLn) ln<min(VLn) ρn>1 Case 5 l1<max(VLn) ln>min(VLn) ρn<1 Case 6 l1<max(VLn) ln<min(VLn) ρn<1 Case 3 l1>max(VLn) ln<min(VLn) ρn<1
1 引
言
y
l2
4
VL4
l3
5
VL5
l4
工作空间是从几何方面讨论机器人的工作性能。分析
工作空间是确定机器人手臂的结构形状和参数必须的过程。 机器人的工作空间定义为： 机器人操作臂正常运行时， 末端 执行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围， 这一空间又 称为可达空间。 在总工作空间内， 末端执行器可以任意姿态 达到的点构成的工作空间称为灵活工作空间。 本课题前期工 作已经推推导了平面 n 杆机构（杆长：l1>l2>l3>…>ln-1>ln） 的工作空间灵活度的计算公式。
据计算可得：1600<VL4<2000. 工作空间如下：
lv6 δ lv5,v lv2,v3 2400-VL4 l lv1
代入数
(a) 工作空间
O
S -1600+VL 1600+VL4 P 2400+VL4
(a) 工作区间
(b) 工作空间三维图 图 6 机器人工作空间
90
李瑞琴等：一种平面 n 构件串联机构工作空间分析方法
l1 VLn ln .
lv 2,v 3
C2 lv C3
工作空间如下所示，
n 1 n 1 max li 2ln , max l2 l3 , ln ≤VLn ≤ li i2 i2
（3） (2) lv2, v3 l1 VLn ln , l1 VLn ln
O lv6 lv5,v6 VL4-1600 lv lv2,v3 lv1 S
l1>VL4>l4
此时存在两种情况： 当 3 1 时， VL4 的取值范围如下：
δ 2400-VL4
1600+VL4 P 2400+VL4
max max l1 l4 , l4 , max l4 , l2 l3 , l1 l4 41 VL4 min l1 , li i 2
0 360 2 cos 1
2 lv24,v 5 ln (l1 VLn ) 2 2lv 4',v 5' ln
综上可知虚拟构件:VLn 的长度范围为：
n 1 n 1 max max l2 l3 , ln , li 2ln ≤VLn ≤ li i2 i2
图1 n 杆机构等效机构 O l1 VLn
VLn-1
n l
ln E
n-1
lv
x
2
n 杆机构的等效虚拟机构
n 杆机构的等效虚拟机构如图所示。为了能使用广义
虚拟构件机构 VL 的长度决定着该机构的转动能力，n 杆比例系数 n 的计算如下：
的 Grashof 准则来分析末端构件的转动能力，引入了虚拟构 件 VLn，从而将其转化为四杆机构转动空间的研究问题。
Analysis Method on Workspace of Planar n-link Series Mechanism
LI Rui-qin，ZHAO Yao-hong，XIAO Deng-hong，LIANG Jing-jing
(School of Mechanical Engineering and Automation, North University of China, Taiyuan 030051, China)
lv2,v3: (1) lv1∈[ l1 VLn ln , l1 VLn ln ]
此时虚拟构件 lv1 是最长杆，并且转动角 γ0 可以计算如 下：
(5)
4
园林修剪机器人研究实例
园林修剪机器人作业的对象是高速公路行道树和景观
0 2 cos 1
VLn 的长度范围如下：
2 lv2 ln (l1 VLn ) 2 2lv ln
虚拟构件，将其转化为平面三杆机构的工作空间分析问题。四杆园林修剪机器人研究实例表明该理论可以应用于 机器人实际的设计过程中，并且结合实际作业目标，来确定机器人机械臂参数。应用实例表明该理论对于设计高 度灵活的 4 杆机构具有重要的作用。
关键词：Grashof 准则，平面四杆机构，工作空间，虚拟等效机构
2011 年增刊
当 3 1 时，
max l2 l3 , l4 VL4 l1 l4
lv 4,v
1600-VL4 2400-VL4
1-基座；2-肩关节；3-大臂；4-肘关节；5-中臂；6-α 关节；7-小臂； 8-β 关节；9-末端臂；10-末端执行器 图 3 机械臂机构示意图 O
n
l l1 l2 l3 l n 1 l n 1 1 i ln ln ln ln ln i 2 ln
(1)
收稿日期：2011-8-10 基金项目：山西省自然科学基金资助项目（2010011036-1）
88
李瑞琴等：一种平面 n 构件串联机构工作空间分析方法 当 i (i 4, , n) 为零时，VLn 最短；当 i (i 4,, n) 为 时，VLn 最长，具体计算公式如下：
② VL4 l1 l4
lv4’,v5’ VL4-2400 lv2,v3 VL4-1600 lv
(a) 工作空间
参考文献：
i 2
2 VL5 l4 (VL4 ) 2 2l4 (VL4 ) cos 5max(VLn ) ， ln min(VLn ) ，
n 1 。ln 的取值不同时会导致有两种不同的结果，即 ln 为
(2)
此时， 四杆机构的类型取决于虚 最短杆或者 ln 为第二短杆， 拟构件 VL 的长度。
Abstract: Orientation rotatability characterized by orientation angle workspace is an essential factor associated with robot manipulators. This paper presented a new approach for analyzing and synthesizing the orientation angle workspace of planar serial n-link manipulator. By introducing a virtual equivalent mechanism, the open-chain kinematic problem is converted into a close-chain mechanism, and the Grashof-type condition is used to examine the rotatability of the end-effector link. This method was applied to the design of a garden pruning robot which is a planar serial 4-link manipulator. The application research and analysis approach have practical significance for the design of a highly dexterous serial 4-link manipulator with proposed link relations. Key words: Grashof criterion, planar serial 4-link manipulator, orientation angle workspace, virtual equivalent mechanism
lv 2,v 3
1600+VL4
lv1
S
P 2400+VL4
由于作业空间对于该机器人的设计很重要， 根据实际测 量一般的作业对象在平面 XOYO 投影的直径为 0.5-4.0m，一 般的绿篱和园林修剪高度为 1.0-4.0m。 根据以上要求，由 n 杆操作机灵活工作空间分析理论可知，第六种情况的工作 空间最灵活， 故本文采用这种情况下的杆长参数， 并将杆长 初步定为如下：l1＝2000(mm), l2＝1500(mm), l3＝1000(mm), l4＝400(mm)。 虚拟构件 VL4 的长度计算如下：
2 2 VLn ln 1 (VLn 1 ) 2ln 1 (VLn 1 ) cos n
系，以及 l1、 n 、VLn 最大值，该机构可以分为 6 种情况， 如表 1 所示。
3
n 杆操作机构工作空间分析
下面以第一种情况为例， 简要的介绍 n 杆操作机构工作
l2 l3 ≤VLn ≤ li
此时末端构件ln.仍为为最短杆，并且l1是最长杆： 转动能力γ0计算如下：
SB 3 l1 VLn ln , SC 3 l1 VLn ln , SC 2 l1 VLn ln , S A1 l1 VLn ln
当点 P 从最远点沿径向向 O 点移动时，运动空间 [ l1 VLn ln , l1 VLn ln ]被分为几个子区间： lv1:, lv4',v5':,
lv 4,v 5
O A1
lv1
P B3 S
此时末端构件 ln.为最短杆，具有 360转动能力：
图 2 Case 1-1（ VLn>ln）的工作空间范围
max l2 l3 , ln ≤VLn ≤ li
i2
n 1
(4)
各边界点计算如下：
(3) lv4, v5 l1 VLn ln , l1 VLn ln
lv
(a) 工作空间
VL4 l2 2 l32 2l2 l3 cos 4
当 β4 去不同的数值时，VL4 的长度范围如下：
(6)
(b) 三维图 图 5 机器人工作空间
l2 2 l32 2l2 l3 ≤VL4 ≤ l2 2 l32 2l2 l3
(7)
VL4>l1>l4. ① VL4 l1 l4
绿化地区的树木， 为了满足现代高速公路绿化标准和现代园 林设计标准， 需设计出能把树木修剪成球柱形、 球形、 矩形、 锥形等形状的机器人执行机构， 因此该机械臂的末端执行机 构必须有很大灵活工作空间。 整个结构为平面串联开链关节 型，有四个旋转关节（如图 1 所示） ，五个自由度，其中基
89
机 械 设 计 与 研 究 座转动关节实现机器人本体除基座以外的机构的转动； 肩关 节带动进行俯仰转动，以满足机器人工作空间上高度的要 求；大臂、中臂、小臂、末端执行器均可在允许的范围内运 动。
2011 年增刊
机械设计与研究 Machine Design and Research
一种平面 n 构件串联机构工作空间分析方法
李瑞琴，赵耀虹，肖登红，梁晶晶 （中北大学 机械工程与自动化学院，太原 030051，E-mail: lrq-dyt@）
摘要：工作空间分析对于平面串联机构的设计很重要。提出了一种用于分析 n 构件工作空间的方法，通过引入
2 VL4 l2 l32 2l2l3 cos 4
根据末端构件 ln 和虚拟构件 VLn 最小值之间的长度关 表1 Case 1 l1 ln ρn （1）当 VLn > ln 各杆长的关系为： 被分为 5 个区间： l1>max(VLn) ln>min(VLn) ρn>1 Case 2 l1>max(VLn) ln>min(VLn) ρn<1 n 杆机构的分类情况 Case 4 l1>max(VLn) ln<min(VLn) ρn>1 Case 5 l1<max(VLn) ln>min(VLn) ρn<1 Case 6 l1<max(VLn) ln<min(VLn) ρn<1 Case 3 l1>max(VLn) ln<min(VLn) ρn<1
1 引
言
y
l2
4
VL4
l3
5
VL5
l4
工作空间是从几何方面讨论机器人的工作性能。分析
工作空间是确定机器人手臂的结构形状和参数必须的过程。 机器人的工作空间定义为： 机器人操作臂正常运行时， 末端 执行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围， 这一空间又 称为可达空间。 在总工作空间内， 末端执行器可以任意姿态 达到的点构成的工作空间称为灵活工作空间。 本课题前期工 作已经推推导了平面 n 杆机构（杆长：l1>l2>l3>…>ln-1>ln） 的工作空间灵活度的计算公式。
据计算可得：1600<VL4<2000. 工作空间如下：
lv6 δ lv5,v lv2,v3 2400-VL4 l lv1
代入数
(a) 工作空间
O
S -1600+VL 1600+VL4 P 2400+VL4
(a) 工作区间
(b) 工作空间三维图 图 6 机器人工作空间
90
李瑞琴等：一种平面 n 构件串联机构工作空间分析方法
l1 VLn ln .
lv 2,v 3
C2 lv C3
工作空间如下所示，
n 1 n 1 max li 2ln , max l2 l3 , ln ≤VLn ≤ li i2 i2
（3） (2) lv2, v3 l1 VLn ln , l1 VLn ln
O lv6 lv5,v6 VL4-1600 lv lv2,v3 lv1 S
l1>VL4>l4
此时存在两种情况： 当 3 1 时， VL4 的取值范围如下：
δ 2400-VL4
1600+VL4 P 2400+VL4
max max l1 l4 , l4 , max l4 , l2 l3 , l1 l4 41 VL4 min l1 , li i 2
0 360 2 cos 1
2 lv24,v 5 ln (l1 VLn ) 2 2lv 4',v 5' ln
综上可知虚拟构件:VLn 的长度范围为：
n 1 n 1 max max l2 l3 , ln , li 2ln ≤VLn ≤ li i2 i2
图1 n 杆机构等效机构 O l1 VLn
VLn-1
n l
ln E
n-1
lv
x
2
n 杆机构的等效虚拟机构
n 杆机构的等效虚拟机构如图所示。为了能使用广义
虚拟构件机构 VL 的长度决定着该机构的转动能力，n 杆比例系数 n 的计算如下：
的 Grashof 准则来分析末端构件的转动能力，引入了虚拟构 件 VLn，从而将其转化为四杆机构转动空间的研究问题。
Analysis Method on Workspace of Planar n-link Series Mechanism
LI Rui-qin，ZHAO Yao-hong，XIAO Deng-hong，LIANG Jing-jing
(School of Mechanical Engineering and Automation, North University of China, Taiyuan 030051, China)
lv2,v3: (1) lv1∈[ l1 VLn ln , l1 VLn ln ]
此时虚拟构件 lv1 是最长杆，并且转动角 γ0 可以计算如 下：
(5)
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园林修剪机器人研究实例
园林修剪机器人作业的对象是高速公路行道树和景观
0 2 cos 1
VLn 的长度范围如下：
2 lv2 ln (l1 VLn ) 2 2lv ln
虚拟构件，将其转化为平面三杆机构的工作空间分析问题。四杆园林修剪机器人研究实例表明该理论可以应用于 机器人实际的设计过程中，并且结合实际作业目标，来确定机器人机械臂参数。应用实例表明该理论对于设计高 度灵活的 4 杆机构具有重要的作用。
关键词：Grashof 准则，平面四杆机构，工作空间，虚拟等效机构