极限的运算.ppt

31!(1

1 n
)
(1

2 n
)

n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
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xn
11
1 2!
(1

1n)

1 3!
(1

1n)
(1

n2)


1 n!
(1

1n) (1
2 n
)

(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1

n11)
1. 极限运算法则
(1) 极限四则运算法则
注意使用条件
(2) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
( 可以设中间变量 )
分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 )
2)
x

x0
时,
对
0 0
型
,
约去零公因子
3) x 时 , 分子分母同除以分母的最高次幂
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n
xn
yn

AB
(3)
当yn

0且B

0时,
lim
n
xn yn

A B
说明: 运算法则可推广到有限个数列运算的情形，
对无限个数列运算未必成立.
例如，
lim n
n n2
π

n2
n 2π


n2
n nπ

1
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注1：若 f(x) 为初等函数，x0 为定义域内的点，则有
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注: 1. 无穷小量是变量，不要与很小的数混淆。 2. 由定义可见，无穷小量在自变量的某种变化趋势中，
其绝对值可以小于任意正数 .
3. 0 是唯一可称为无穷小量的常数。
lim
(1
1)x

lim
(1
1
t)t

e
x
x
t0
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利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
lim （1 1 )u(x) e u(x) u(x)
或
1
lim (1 (x)) (x) e.
( x)0
注意这个极限的特征： 底为两项之和： 第一项为1，第二项是无穷小量， 指数与第二项互为倒数 。
又 xn (1 1n)n 11 11

3

2
1
n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1n)n

e
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
内容小结 目录 上页 下页 返回 结束
下面证明lim (1 x
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
(2) lim (1 1 )x e
x
x
第一章
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两边夹定理; 单调有界定理;
定理： 数列极限夹挤定理
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn

lim
n
sin x
x
1 cos
x

lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例2. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例3. 求
解:
原式 =
一、 无穷小量 二、 无穷大量 三 、 无穷小量与无穷大量的关系
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一、 无穷小量
1 . 定义：若
时, 函数
则称函数
(或x )
为
时的无穷小量 ，简称无穷小.
(或x )
例如 :
函数 当
时为无穷小;
函数 当
时为无穷小;
lim
n
1 2n
0,
数列
当 n 时为无穷小.
1 x
)
x

e.
先考虑
x

的情形.
当x 1时, 有[x] x [x] 1,
(1 1 )[x] (1 1 )x (1 1 )[x]1,
[ x] 1
x
[x]
而 lim (1 1 )[x]1 lim (1 1 )[x] lim (1 1 ) e,
x [x]
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2

1 2
lxim0
sin
x 2
x 2

2

1 2
12
例4. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An

n R2
sin
π n
cos
π n
n
证明:
R
证:
lim
n
An

lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
n
说明: 计算中注意利用
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5
8 3
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例3.
lim x1
x
x 1

1 x2
x

型
x2 1 lim
x1 x(x 1) lim x 1
x1 x
(消去零因子)
2
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例4. lim n2 2n n n
分子有理化
lim n
lim n
2n
n2 2n n 2
1
2 n
1
1
型
同除分母中 n的最高次幂
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例5.
3 x 1 1 lim
x2 x 1 1
0型 0
作变量替换，令 6 x 1 t, 当 x 2时，有 t 1,
于是， 原式 lim t 2 1 t1 t 3 1
sin x x tan x (0 x π2)
cos x sin x 1 x
(0 x π2)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
sin x 的图象 x
利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
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例1. 求
解:
lim
x0
tan x
x

lim x0

a x(m1)n 1

am xn
x
b0 b1x1 bn xn

lim
a0 xmn

a x(m1)n 1

am xn
x
b0
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例如：
lim
x
3x3 4x2 7x3 5x
2 1
3 7
3x3 4x2 2x
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例5. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t

1t )t
lim 1
t
说明
：若利用

lim (1
( x)


(1x))
(
x)

e, 则
原式
lim x
(1
)1 x
x
1
lim
x
(1
1 x
)
x
1
原式

lim
x
4

3
1 x

9
1 x2
5

2
1 x

1 x2
型
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一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1

am bn
为非负常数 )
分子分母同除以 xn , (分母中x的最高次幂)
lim
a0 xmn
lim
x
7x4
5x3
10
0
lim
x
3x4 4x2 7x3 5x
2 1

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例9. 求
解:
令
u

x3 x2 9
lim u lim 1 1
x3 x3 x 3 6
∴ 原式 =
1 6
6 6
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内容小结
lim
xx0
f
(x)

f
(x0 )
注2： 对于用四则运算化为
0, 0
,
,
0 ,
1
(未定式)
的特殊情形，要先进行适当的代数运算，再使用法则。
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2. 求极限举例
例2. (1)
lim(2x2 3x 1)
x2
3
x3
(2)
lim
x2
2x2

5x
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定理：单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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证:
当
x

(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x


1 2
tan
x
亦故即有 显然有
函数极限的夹挤定理

定理. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 仿照数列极限的两边夹定理证明 )
( xa x a ) x3 a3 xa
1 x2 ax a2
lim
xa
1
( xa x a ) x2 ax a2
3a 2
0 3 3 3a 3a
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例7.
lim
x1
xm xn
1, 1
m, n

0为自然数
原式

zn

a
lim
n
xn

a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
当
时,
当
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn

a
.
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lim
x1
(x 1) (xm1 (x 1) (xn1

xm2 xn2

x 1) x 1)

lim
x1
x m1 x n 1

xm2 xn2
x 1 x 1
m n
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例8 . 求
解:
分子分母同除以 x2 , 则

31! (1
n11)(1
n21)

大
大

1 n!
(1

n11)(1
2 n1
)
(1
) n1
n1
(n11)!(1 n11)(1 n21)大 (1 nn1)
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
又
xn

(1
1 n
)n
11
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消去零因子

lim
t 1
t2
t 1 t 1
2 3
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例6. lim x a x a (其中a 0)
xa
x3 a3
原式 lim x a lim x a xa x3 a3 xa x3 a3
lim
xa
lim
x [x] x [x]
lim (1
x
[
1 )[ x] 1
x]

lim (1
x

1 )[ [ x] 1
x]1

lim (1
x
[
1 x]
)1 1
e,
从而有 lim (1 1 )x e
x
x
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当
时，令 t x,
第三节
极限的运算
来自百度文库
第一章
一、极限的运算法则 二、两个重要极限 三、无穷大量和无穷小量
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一、 极限的四则运算法则
若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
(1) (2)
(3) 若 B≠0 , 则有
说明: 可推广到有限个函数运算的情形.
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
e1
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例6. 确定 c，使得 解:
于是
解得
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x

cos
1 x
)2
x
]2
x

lim (1
x

sin
2 x
)
2
1
(1

sin
2x )sin
2 x
e
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第一章
三、无穷小量与无穷大量
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例1. 设 n 次多项式
lim
xx0
Pn
(
x)

Pn
(
x0
).
证:
lim
x x0
Pn
(x)

试证
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数列极限有类似的四则运算法则
若 lim
n
xn

A,
lim
n
yn

B
,
则有
(1)
lim (
n
xn

yn )
AB
(2)
lim
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
x
x
t
t
t t 1
lim (1 1 )t1 lim (1 1 ) e.
t t 1 t t 1
lim (1 1 )x e
x
x
证毕.
令 t 1 , 又可得到 x
2.
证: 先考虑x 取自然数n 趋于 的情形，lim (1 1 )n e.
利用二项式公式 , 有
n n
xn

(1
1 n
)
n

1

n 1!
1 n

n(n1) 2!
1 n2

n(n1)(n2) 3!
1 n3


n(n1) (nn1) n!
1 nn
11
21!(1 1n)