泛函和变分法

泛函的定义
例(最短路径)：设 C 为定义在 [a, b] 上、 y 最短路径) , ] 满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可 ( ) ( ) 微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段 ( ) 的集合。 曲线的长 如右图所示) 曲线的长(如右图所示)，L = L[y(x)] [ ( )] O a 问题： 问题：沿哪一条路径的路程最短 函数的形式 y(x) 不同 ( ) 例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一 捷线问题) O A 条光滑的、 的曲线运动， 条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运动， 取决于曲线的形状( 所需的时间 T 取决于曲线的形状(如右图 所示) 所示)，T = T [y(x)] ( )] y 问题： 问题：沿哪一条路径的下落时间最短 函数的形式 y(x) 不同 ( )
√
最简泛函的极值问题(9/9) 最简泛函的极值问题(9/9) 泛函的极值问题
瑞利-里兹法的关键： 瑞利-里兹法的关键：选择合适的基函数 幂函数： 幂函数：{1, x, x2, … } = { x i } , 三角函数： 三角函数：{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … } , , , , 其它： 其它：尽量同时满足边界条件
a
∞
f ( x) = ∑ cn yn ( x),
n =1
cn = ∫ f ( x) yn ( x) ρ ( x)dx
y 例(最小旋转面)：光滑曲线以点 A(x0, y0) 最小旋转面) 光滑曲线以点 ( Β(x 为端点(如右图) 和 Β( 1, y1) 为端点(如右图)，求一条曲线 使它绕 使它绕 Ox 轴旋转时所得曲面的面积最小 以 y(x) 表示任意曲线，得旋转面面积 ( ) 表示任意曲线， 从欧拉方程的极值问题求曲线方程 A B x
i =1 i =1
J[y] = I(α1, α2,… ,αn) 按多元函数取极值方法 [ ] ( ∂I = 0, i = 1,2,L, n ∂α i 的方程， 求解以上 n 个关于 αi 的方程，得到系数 αi，代入展开式 的近似， 即可得到 y 的近似，再计算可得到 J[y] [ ] 重复以上2 取前面 n+1 项，重复以上2和3步，直至 J[y] 收敛 +1 [ ]
√
最简泛函的极值问题(7/9) 最简泛函的极值问题(7/9) 泛函的极值问题
瑞利瑞利-里兹法的步骤
选一组相对完备的基函数 {w0, w1, …, wn, …}，线性展开 y , }
y = ∑ α i wi ( x),
i =1 ∞
α i 为待定系数
n n
的近似，代入泛函 泛函， 只取前面 n 项，作为 y 的近似，代入泛函，积分 J [ y ] = ∫ F ( x, y, y′)dx = ∫ F ( x, ∑ α i wi ( x), ∑ α i wi′( x))dx = I (α1 , α 2 ,L, α n )
例：不均匀的介质中，折射率为 n(x, y, z)，光的传播速度 不均匀的介质中， ( , , ) 为 c/n。求光从 A(x0, y0, z0) 到 B(x1, y1, z1) 的传播路径 / 。 ( ( 的某条光滑曲线： 设 Γ 过 A 和 B 的某条光滑曲线：y = y(x), z = z(x) ( ), ( ) 费马原理： 费马原理：光沿由 A 到 B 的所需时间最短的曲线行进 B ds B n ( x, y , z ) T [ y, z ] = ∫ =∫ 1 + y′2 + z ′2 dx A v A c 泛函的极值问题： 泛函的极值问题：要求 T 取极小值
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泛函和变分的基本概念(4/4) 泛函和变分的基本概念(4/4)
最简泛函的一阶和二阶变分 最简泛函的一阶和二阶变分 泛函
其中 δ J 称为泛函的一阶变分，δ 2J 称为二阶变分 称为泛函的一阶变分 的一阶变分， 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零 一阶变分为零： 泛函的极值条件就是一阶变分为零：δ J = 0
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其它类型泛函的极值问题(4/4) 其它类型泛函的极值问题(4/4) 泛函的极值问题
依赖于多元函数的泛函
泛函的一般形式 J [u1 ( x, y ), u 2 ( x, y )] = ∫∫ F ( x, y, u1 , u 2 , p1 , p2 , q1 , q2 )dxdy D ∂u ∂u ∂u ∂u p1 = 1 , q1 = 1 , p2 = 2 , q = 2 ∂x ∂y ∂x ∂y 欧拉方程 ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − ( ) − ( ) = 0, − ( )− ( )=0 ∂u1 ∂x ∂p1 ∂y ∂q1 ∂u 2 ∂x ∂p2 ∂y ∂q2 例：拉普拉斯方程的第三类边界问题 ∂ 2u ∂ 2u ∂u + 2 = 0, ( + σ u ) = γ 2 ∂x ∂y ∂n Γ 该定解问题转化为以下泛函的极值问题 1 ∂u 2 ∂u 2 1 J [u ( x, y )] = ∫∫ [( ) + ( ) ]dxdy + ∫ ( σ u 2 − γ u )ds Γ 2 2 Ω ∂x ∂y √
计算物理
泛函和变分法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
泛函和变分法
泛函和变分的基本概念 最简泛函的极值问题 最简泛函的极值问题 其它类型泛函的极值问题 其它类型泛函的极值问题 泛函和变分用于微分方程边值问题
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泛函和变分的基本概念(1/4) 泛函和变分的基本概念(1/4)
b x
x
B
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泛函和变分的基本概念(2/4) 泛函和变分的基本概念(2/4)
定义： 是函数(形式)的集合， 是实数集合； 定义：设 C 是函数(形式)的集合，B 是实数集合；如果对 C 中的任一元素 y(x)，在 B 中都有一个元素 J 与之对应， 与之对应， ( ) 则称 J 为 y(x) 的泛函，记为 J [y(x)] ( ) 的泛函， ( )] 泛函是函数的函数，以函数为自变量， 泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量 最短路径： 最短路径：L = L[y(x)] [ ( )] 捷线问题： 捷线问题：T = T [y(x)] ( )]
最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函 最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函 泛函 泛函称为最简 称为核函数 其中 F ( x, y, y' ) 的称为核函数 , ,
√
泛函和变分的基本概念(3/4) 泛函和变分的基本概念(3/4)
函数的变分和泛函的变分
定义： 定义：设 y(x) 是泛函 J [y(x)] 的定义域内任意函数，如果 ( ) ( )] 的定义域内任意函数， y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x)，则 Y(x) 与 y(x) 之 ( ) ( ) ( ) ( ) 差 δ y = Y(x) − y(x) 称为函数 y(x) 的变分 ( ) ( ) ( ) 函数变分和微分的比较 变分和微分都是自变量 x 的函数 微分是同一个函数 ( ) 微分是同一个函数 y(x)，由于自变量 x 的取值不同而导 函数形式的不同而导 的变化；变分是由于函数形式的不同 致函数值 y 的变化；变分是由于函数形式的不同而导 致函数值的变化 函数求导和求变分可以交换次序
1
等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程 ∂ 2u ∂ 2u ∂u + 2 = f ( x, y ), u ( x, y ) Γ = u0 ( x, y ), = q ( x, y ) 2 1 ∂x ∂y ∂n Γ2
√
最简泛函的极值问题(2/9) 最简泛函的极值问题(2/9) 泛函的极值问题
例：求以下最简泛函的极值问题 求以下最简泛函的极值问题 最简
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最简泛函的极值问题(8/9) 最简泛函的极值问题(8/9) 泛函的极值问题
求解以下泛函的极值函数 求解以下泛函的极值函数 1 J [ y ( x)] = ∫ ( y′2 − y 2 − 4 xy)dx, y (0) = y (1) = 0
0
取满足边界条件的基函数： (1− ) 取满足边界条件的基函数：w i = x i (1−x) 只取前面 n 项，作为 y 的近似
J ( y ) = ∫ ( y′2 + xy)dx, y x =0 = 0, y x =1 = 1
0 1
核函数和微分方程 满足边界条件的极值函数
例：求解最短路径问题 求解最短路径问题 最短路径
√
最简泛函的极值问题(3/9) 最简泛函的极值问题(3/9) 泛函的极值问题
例：求解捷线问题
√
最简泛函的极值问题(4/9) 最简泛函的极值问题(4/9) 泛函的极值问题
欧拉方程的其它算法
不满足边界条件， 如果 F 中不显含 y'，不满足边界条件，则极值函数不存在 如果 F 中不显含 y
如果 F 中不显含 x
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最简泛函的极值问题(5/9) 最简泛函的极值问题(5/9) 泛函的极值问题
例：再求解捷线问题
√
最简泛函的极值问题(6/9) 最简泛函的极值问题(6/9) 泛函的极值问题
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泛函和变分用于……(1/1) 泛函和变分用于……(1/1)
斯特姆斯特姆-刘维型方程
L y = λ ρ (x) y ) 本征值： 本征值：λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ … 本征函数： 本征函数：y1(x), y2(x), y3(x), … 构成完备正交系 ), ), ), b Ly n ( x) = λn ρ ( x) yn ( x), ∫ ym ( x) yn ( x) ρ ( x)dx = δ mn 任意函数 f(x) (要求一阶导数连续、二阶导数分段连续、 ( ) 要求一阶导数连续、二阶导数分段连续、 归一) 归一)的展开
√
其它类型泛函的极值问题(1/4) 其它类型泛函的极值问题(1/4) 泛函的极值问题
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式 x1 ′ ′ ′ J [ y1 , y2 , L , ym ] = ∫ F ( x, y1 , y2 , L , ym , y1 , y2 , L , ym )dx 欧拉方程 ∂F d ∂F − ( ) = 0, ∂yi dx ∂yi′
√
最简泛函的极值问题(1/9) 最简泛函的极值问题(1/9) 泛函的极值问题
最简泛函的欧拉方程 最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程 最简泛函的极值——欧拉方程 泛函的极值——
欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小 欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小 函数 泛函的 通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程 通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程 如下泛函(不是最简泛函) 最简泛函 例：如下泛函(不是最简泛函)的极值问题 1 ∂u 2 ∂u 2 J (u ) = ∫∫ [( ) + ( ) ]dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy − ∫ quds Γ2 2 D ∂x ∂y D u ( x, y ) Γ = u 0 ( x, y )
x0
i = 1,2, L , m
例：求解以下泛函的极值问题 π /2 J [ y, z ] = ∫ ( y′2 + z′2 + 2 yz )dx
y x =0 = 0, y x =π / 2 = −1, z x =0 = 0, z x =π / 2 = 1 解：
0
√
其它类型泛函的极值问题(2/4) 其它类型泛函的极值问题(2/4) 泛函的极值问题
√
其它类型泛函的极值问题(3/4) 其它类型泛函的极值问题(3/4) 泛函的极值问题
依赖于函数高来自百度文库导数的泛函
泛函的一般形式 x1 J [ y ] = ∫ F ( x, y, y′, y′′, L , y ( m ) )dx x0 欧拉方程 ∂F d ∂F d 2 ∂F d m ∂F − ( ) + 2 ( ) − L + (−1) m m [ ( m ) ] = 0 ∂y dx ∂y′ dx ∂y′′ dx ∂y 例：求解以下泛函的极值问题 1 π /4 2 J [ y ] = ∫ ( y′′ − 4 y′2 )dx 2 0 y x =0 = y x =π / 4 = 0, y′ x =0 = −1, y′ x =π / 4 = 1 解：