第二讲多元函数

第二章 多元函数微分学
第一节 多元函数
一. 多元函数 二. 元函数的极限与连续
引例：一个小乡村里的惟一商店有 两种牌子的果汁，当地牌子的进价每瓶3元，外地牌子 的进价每瓶4元. 店主估计，若当地牌子的每瓶卖x元， 外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出当地牌子的果汁
7 5x 4 y 瓶，外地牌子的果汁 8 6 x 7 y 瓶. 问：店
2
旋转抛物面
z a x y
2 2
2
z x y
2
2
上半球面
正圆锥面
复杂的二元函数的例子
z sin x sin y
z sin x 2 y 2
z xye
x2 y2
并非每一个曲面都表示 一个二元函数
x2 y 2 z 2
z x2 y2
2 2
z x y
值之间的任何值至少一 次.
D上连续, 且 性质３ （零点定理） 若函数f ( x, y)在有界闭区域
它取得一个大于零的函 数值和一个小于零的函 数值, 则至少 有一点( , ) D, 使得f ( , ) 0.
性质４ （有界性定理）
它必在D上有界.
若函数f ( x, y)在有界闭区域 D上连续, 则
小结：
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域， 是指包含在定义域内的区域或闭区域． 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 p0处的极限, 而
该点又在此函数的定义 区域内 , 则极限值就是函数在该 点的
函数值,即
p p0
lim f ( P) f ( p0 )
思考题: 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。
例如, 二元函数
z 1 x y
2
2
z
O x
定义域为 圆域 ( x, y) x 2 y 2 1 图形为中心在原点的上半球面.
1 y
z
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为 单位闭球
x y z R
2 2 2
2
z R2 x2 y2
z R2 x2 y 2
三、多元函数的极限
回忆：一元函数的极限
x x0
lim f ( x ) A :
0, 0 对x : 0 | x x0 | | f ( x ) A | . o 或对x U ( x0 , ) | f ( x) A | .
例４ 设 解
3 sin x y 2 f ( x, y ) , 求 lim f ( x, y ) xy e xy x 1
y 2
由于f ( x, y)是初等函数 , 且点(1,2)在其定义域内
故f ( x, y)在点(1,2)处连续,
因此
lim
x 1 y 2
3 sin 2 2 3 2 f ( x, y ) f (1,2) 2 2 e 2 e 2
域D上连续, 和一元函数类似 , 二元连续函数有下列性 质.
性质１ （最大值和最小值定理） 若函数f ( x, y)有界闭区域 D上
连续, 则它在D上一定至少取得最小值 和最大值各一次 .
D上连续 性质２ （介值定理） 若函数f ( x, y)在有界闭区域
且它在D上取得两个不同的函数 值, 则它在D上取得介于这两个
径r和高h是相互独立的，它们之 间不存在依赖关系，这 时
体积v是半径r和高h的二元函数。
例2
一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布
在选定空间直角坐标系 后，房间内每一点 ( x, y, z)处都有
u是x, y, z的一个三元 唯一的温度 u与之对应，这时温度
函数，故可表为 u u( x, y, z)
最大值. 自然提出下面的问题： （1）二元函数的定义域怎样表达？图像是什么？ （2）二元函数的极限怎样求？连续性怎样判定？ （3）二元函数的导数怎样求？是否仍然可用导数 来判定其最大值？
抽象归纳
空间直角坐标系的定义： z
x
o
y
八个卦限： z III IV VII VIII x o V I VI y
内点或边界点 , 且p0 D, 如果
x x0 y y0
lim f ( x , y ) f ( x0 , y 0 )
则称函数f ( x, y)在点p0 ( x0 , y0 )连续; 否则称函数 f ( x, y)在点
( x0 y0 )间断.如果函数f ( x, y)在区域D上每一点都连续 , 则称它在区
主每天以什么价格卖两种牌子的果汁时，才可获得最大
收益？
分析
每天的收益为 R ( x 3)(7 5x 4 y) ( y 4)(8 6 x 7 y). 上式中，x和y是自变量，R是因变量，因此R是x
和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy 的 函 数， 这 样 一类函数称为二元函数，记作
R f ( x, y). 于是，问题成为研究函数 R f ( x, y) 的
p( x, y),根据函数的关系式就可 得到相应的 z值，空间中的
M（x, y, f ( x, y))的坐标满足关系式 z f ( x, y),当点p( x, y)跑遍
定义域D时，相应的点 M（x, y, f ( x, y))就在空间描绘出一个曲
面，这个曲面就是二元 函数z f ( x, y)的图形。
当 n = 3 时, 有三元函数
v和它的底半径 r, 高h之间具有关系 例１ 正圆锥体体积
1 2 v r h 3 这里，v随着r, h的变化而变化，当 r, h在一定范围
(r 0, h 0)内取定一队值时， v的值就随之确定，即当 取定
二元有序数组 (r, h)时，v便有确定的值与之对应 ，这时底半
k x2 k lim f ( x, y ) lim 2 = 2 2 1+ k2 x 0 x 0 x k x
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
二元函数的连续性
设函数f ( x, y)在开区域(或闭区域) D内有定义 , p0 ( x0 , y0 )是D的
若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
xy 例1. 讨论函数 f ( x, y ) 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
若考虑房间不同时刻 t的温度分布，则温度 u就是x, y, z, t 的一个四元函数 u u( x, y, z, t )
类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。
二元函数的几何意义
一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的
一个曲面。 设二元函数 z f ( x, y) ( x, y) D 在定义域D内每取一点
O
O
x
y
图形为
空间中的超曲面.
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
（2） 二元函数 z=f (x,y) 的图形
——空间点集 {(x,y,f (x,y))| (x,y)D}.
——通常是一张曲面（函数曲面）.
二元函数的例子
zx y
2
2.1 多元函数的概念
二元函数的定义 定义1
设有三个变量 x, y和z, 如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 ( x, y)时，变量z按照一定
的规律, 总有唯一确实的数值和 它们对应，则变量 z叫做变量x, y
的二元函数，记作 z f ( x, y)
其中x, y为自变量， z为因变量， ( x, y)变化的范围 D称为函
II
空间中点的坐标：M(x, y, z).
z R
M
o P y
Q
x
空间曲面与方程
若曲面S上任意一点的坐标( x, y ,z)都满足方程
F(x, y, z)= 0,而不在曲面S上的点的坐标都不满足方 程F(x, y, z)= 0, 则称 F(x, y, z)= 0 为 曲面 S的方程， 而曲面S称为方程F(x, y, z)= 0的图形.
数的定义域。设点 ( x0 , y0 ) D, 则，z f ( x, y)称为对应于 ( x0 , y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
定义2. 设非空点集
在 D 上的 n 元函数 , 记作
映射
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) , P D 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数