利息理论课件013 金融课件
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e 5 2
k 1
第三节 时间加权收益率
一、币值加权收益率计算的优缺点
优点:币值加权收益率对于衡量单个投资者的货币收益 是有效的.
缺点:不适用于衡量基金经理人的经营业绩.
二、时间加权收益率的定义
时间加权收益率就是扣除了本金增减变化对收益率影响 后所计算出的一种收益率.它可以准确地度量基金经理人 的经ห้องสมุดไป่ตู้业务,从而准确地反映基金本身的增值特性.
课前练习:
某投资基金年初账面投资额为0,基金按
t
t
2t 2
1
(t
0)
积累,第2年初,有100000元资金投入基金,经过k 年这笔投
资增加一倍,计算k.( A )
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
2k
解 : 依题有 : e2 tdt 20
2k
e 2 2
t
22t 1dt
ln (2k )2 1
(3)债券C:面值为1000元,息票率为6%,期限为一年,存在违 约风险,售价为950元;
问题:投资者愿意承担多大的违约风险才使债券B、C与 债券A等价.
1、如果违约,对投资者没有任何返还
(1)对投资者B,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有:
1000p(1+7%)=1000(1+6%)
1000(1+i)(1-2%)>1000(1+6%)
譬如,一个十分厌恶风险的投资者可能要求上式左边(即债 券D的期望收益)至少等于右边按10%的无风险利率所产生 的收益,也就是
1000(1+i)(1-2%)=1000(1+10%)
由此可知其所要求的息票率为
i 1000(110%) 1 12.25% 1000(1 2%)
整个基金的币值加权收益率是下述方程的解:
6000(1+i)+250(1+i)0.5=6200
i= -0.816%
上述币值加权收益率之间的差异主要是由于新增投资不 同所造成..如果扣除了新增投资的影响,三位投资者和整个 基金,它们的收益率相同,都是0
(2)时间加权收益率,就是在整个投资时期投资金额保持不 变时的收益率,它准确地度量了基金经理人的经营业绩.它 不受投资金额增减变化的影响,而仅仅取决于每个时段的 收益率.
假设息票率i为,则投资者购买该种债券所产生的期望收益
债券E的期望收益
时间
期望收益
第一年末 第二年末 第三年末 第四年末 第五年末
1000ip 1000ip2 1000ip3 1000ip4 1000ip5+1000p5
根据题意可建立如下方程 :
1000 5 1000i pt 1000 p5 i1 (1 0.08)t (1 0.08)5 上式左边是投资者在期初购买债券E的价格, 右边是债券产生的期望收益按上级规定8%的 无风险利率折现所产生的现值.
四、假设市场的无风险利率为6%,债券E的面值为1000元, 按面值发售,期限为5年,每年违约的相等,均为q,那么第一 年履约的概率为p=(1-q),连续两年履约的概率为p2,依此类 推,连续5年的履约的概率为 p5 .如果投资者要求购买该 债券所产生的期望收益等于购买息率为8%的无风险债券 所产生的收益.试计算该债券的息票率应为多少.
3、利率期限结构的三种解释 预期理论 流动性偏好 通货膨胀溢价
第四节 违约风险对收益率的影响
一、引例:
假设市场的无风险利率为6%,考虑下述三种一同的债券:
(1)债券A:面值为1000元,息票率为6%,期限为一年,不存 在违约风险,售价为1000元;
(2)债券B:面值为1000元,息票率为7%,期限为一年,存在 违约风险,售价为1000元;
.
(3)时间加权收益率的计算
i (1 j1)(1 j2)...(1 jk )...(1 jn) 1
其中: jk是每个时间段的收益率.
jk
Bk Bk1 Ck1
1
其中
:
Bk
1是上一个时间段末的投资余额;Ck
是
1
在该时间段初的新增投资;
Bk
1
Ck
是该时间
1
初的投资余额;Bk是该时段末的投资余额.
(4)例题:应用表6-6中的数额,计算时间加权收益率. 第一个时段(1月1日----4月1日)的收益率为
4 0.0292 1 1
4
4
0.039656967
(2)如果债券违约后可返还投资者本金的50%,则有 1000(1+6%)=1000)(1-2%)+1000×50×2% 解得i=7.14%
如果投资者要求债券D的期望收益至少等于按10%的无 风险利率所产生的收益,也就是 1000(1+i)(1-2%)+ 1000×50×2%=1000(1+i) 解得i=11.22%
违约概率与投资者所要求的息票率
违约概率q 履约概率 p
息标率i
1
2
3 45
99
98 97 96 95
9.091 10.204 11.34 12.5 13.684
课堂练习 :
某项基金的积累函数a(t)为二次多项式,已知
上半年的名义年利率为4%(每半年计息一次),
下半年的名义年利率为6%(每半年计息一次),求:
1000 2200 i 0.0954
投资组合法与投资年法
1、所谓投资组合法，就是计算出一个基于基金所得的平 均收益率，然后根据每个账户所占比例与投资时间长度分 配基金收益。
2、该方法缺点：在投资收益率波动时，如，在投资收益 上升时，容易引起旧有资金撤出，同时阻止新资金的投入。
3、例题：某基金有两个投资人，甲年初在基金中有资金1 万元，年中又投入1万元，乙有2万元。上半年收益率为 10%，下半年收益率为20%。利用投资组合法计算甲乙应 分得的收益。
在t=
1 4
时的利息强度
t
.
( A)0.01
(B)0.02
(C)0.03
(D)0.04
(E)0.05
解 : 设a(t) at 2 bt c
a(0) 1
c 1
1 a 1 b 11
又4 2
2%
1
a b c ( 1 a 1 b 1)
42 1 a 1 b 1
3%
42
1 a 1 b 2%
(1)先计算币值加权收益率 投资者A的币值加权收益率是下述方程的解: 2000(1+i)=2000 i=0 投资者B的币值加权收益率是下述方程的解: 2000(1+i)+1000(1+i)0.5=2800 i= -7.967% 投资者C的币值加权收益率是下述方程的解: 2000(1+i)-750(1+i)0.5=1400 i=9.184%
1000p(1+7%)+1000(1-p) ×50%=1000(1+6%) 解得:p=98.25% 所以q=1-98.25%=1.75% (2)对投资者C,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有: 1000P(1+6%)+1000(1-p) × 50%=950(1+6%) 解得:p=90.54% 所以q=1-90.54%=9.46%
解得:p=99.07%
所以q=1-99.07%=0.93%
(2)对投资者C,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有:
1000P(1+6%)=950(1+6%) 解得:p=95% 所以q=1-95%=5%
2、如果违约,对投资者返还50%的本金
(1)对投资者B,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有:
课堂练习: 某人在第1、2年初各投资1000元到某基金,第1年末积累
额为1200元,第2年末积累额为2200元.根据时间加权法计 算年收益率.( C ) (A) 8.5%
(B) 9%
(C) 9.5%
(D) 10%
(E) 10.5%
解 : 设年收益率为i, 依题意得 : (1 i)2 1200 2200
(2)投资B者在期初出资2000元(获得100股),期中又增加投 资1000元(获得40股),到期末时有140股,每股的价格20元, 所以期末的账户余额是2800元.
(3)投资C者在期初出资2000元(获得100股),期中的抽走 750元(减少30股),到期末剩余70股,每股的价格20元,所以 期末的账户余额是1400元.
j1=112/100-1=12% 第二个时段(4月1日----9月1日)的收益率为 j2=110/(112-20)-1=19.56% 第三个时段(9月1日----12月31日)的收益率为 j3=120/(110+30)-1=-14.28%
所以时间加权收益率为:
i=(112/100)(110/112-20)(120/110+30)-1=14.78%
乙投资人应分得的收益为：
100002+220000000022+10000111600 6628.5（7 元）
4、投资年方法在分配收益时要考虑投资的时间和分配 收 益的时间。若收益率上升，则新投入资金的收益率会超过 按投资组合法计算的收益率。在实务中，一般在按投资年 法计算超过若干年后，回到按投资组合的方法计算上。
资本预算
1、投资者在面临多种投资选择时，如何决定投资数额以 及这些投资额在多种可能的投资方向间如何分配的过程称 为资本预算。
2、资本预算的方法
收益率
净现值法
收益率曲线 1、将某种投资的收益率随投资期限长短变化的曲线称 为收益率曲线。
2、一般投资期限越长，收益率就越高。这种现象称为 利率的期限结构。
三、示例:
假设某基金由A、B、C三个投资者所有,基金经理人将所 有资金都投资一种股票,该股票在期初的价格是每股20元, 其中上升到25元,到期末又下降到20元.又假设三个投资者 的出资情况如下所示:
(1)投资A者在期初出资2000元(获得100股),当期再元投资, 所以期末的账户余额仍然是2000元.
4
2
3 a 1 b 3% 1.02
4
2
a 0.0216
b 0.0292
a(t ) 0.0216t 2 0.0292t 1
t
a(t ) a(t )
0.0432t 0.0292 0.0216t 2 0.0292t 1
当t 1 时 4
0.0432 1 0.0292
t
0.0216 ( 1 )2
解：基金年末价值为：[(10000+20000)1.1+10000]1.2=51600 基金收益为：
51600-（10000+20000+10000）=11600
这里以最小投资时间为单位时间，则甲投资人应分得收益为：
100002+100001 100002+200002+10000
1
11600
4971.4（3 元）
三、例题:假设市场的无风险利率为6%,债券D的面值为 1000元,期限为一年,违约概率为2%.如果发行人希望按面 值发行债券,试计算在下述两种情况一,该债券的息票率至 少应为多少?
(1)债券在违约后对投资者无任何返还;
(2)债券违约后对投资者的本金返还50%.
(1)如果债券在违约后对投资者无任何形式的返还,假设债 券的息票率为i,则有
1000(1+6%)=1000(1+i)(1-2%)
上式左边是将1000元投资于无风险债券在一年以后的累 积值,右边是将其用于购买债券D在以后的期限累积值.从 上式可知债券D的息票率至少应该为
i 1000(1 6%) 1 8.163% 1000(1 2%)
因为投资者在多为风险厌恶者,投资者只有期望收益大于 无风险债券的收益时,投资者才愿意购买债券D,此时则有:
k 1
第三节 时间加权收益率
一、币值加权收益率计算的优缺点
优点:币值加权收益率对于衡量单个投资者的货币收益 是有效的.
缺点:不适用于衡量基金经理人的经营业绩.
二、时间加权收益率的定义
时间加权收益率就是扣除了本金增减变化对收益率影响 后所计算出的一种收益率.它可以准确地度量基金经理人 的经ห้องสมุดไป่ตู้业务,从而准确地反映基金本身的增值特性.
课前练习:
某投资基金年初账面投资额为0,基金按
t
t
2t 2
1
(t
0)
积累,第2年初,有100000元资金投入基金,经过k 年这笔投
资增加一倍,计算k.( A )
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
2k
解 : 依题有 : e2 tdt 20
2k
e 2 2
t
22t 1dt
ln (2k )2 1
(3)债券C:面值为1000元,息票率为6%,期限为一年,存在违 约风险,售价为950元;
问题:投资者愿意承担多大的违约风险才使债券B、C与 债券A等价.
1、如果违约,对投资者没有任何返还
(1)对投资者B,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有:
1000p(1+7%)=1000(1+6%)
1000(1+i)(1-2%)>1000(1+6%)
譬如,一个十分厌恶风险的投资者可能要求上式左边(即债 券D的期望收益)至少等于右边按10%的无风险利率所产生 的收益,也就是
1000(1+i)(1-2%)=1000(1+10%)
由此可知其所要求的息票率为
i 1000(110%) 1 12.25% 1000(1 2%)
整个基金的币值加权收益率是下述方程的解:
6000(1+i)+250(1+i)0.5=6200
i= -0.816%
上述币值加权收益率之间的差异主要是由于新增投资不 同所造成..如果扣除了新增投资的影响,三位投资者和整个 基金,它们的收益率相同,都是0
(2)时间加权收益率,就是在整个投资时期投资金额保持不 变时的收益率,它准确地度量了基金经理人的经营业绩.它 不受投资金额增减变化的影响,而仅仅取决于每个时段的 收益率.
假设息票率i为,则投资者购买该种债券所产生的期望收益
债券E的期望收益
时间
期望收益
第一年末 第二年末 第三年末 第四年末 第五年末
1000ip 1000ip2 1000ip3 1000ip4 1000ip5+1000p5
根据题意可建立如下方程 :
1000 5 1000i pt 1000 p5 i1 (1 0.08)t (1 0.08)5 上式左边是投资者在期初购买债券E的价格, 右边是债券产生的期望收益按上级规定8%的 无风险利率折现所产生的现值.
四、假设市场的无风险利率为6%,债券E的面值为1000元, 按面值发售,期限为5年,每年违约的相等,均为q,那么第一 年履约的概率为p=(1-q),连续两年履约的概率为p2,依此类 推,连续5年的履约的概率为 p5 .如果投资者要求购买该 债券所产生的期望收益等于购买息率为8%的无风险债券 所产生的收益.试计算该债券的息票率应为多少.
3、利率期限结构的三种解释 预期理论 流动性偏好 通货膨胀溢价
第四节 违约风险对收益率的影响
一、引例:
假设市场的无风险利率为6%,考虑下述三种一同的债券:
(1)债券A:面值为1000元,息票率为6%,期限为一年,不存 在违约风险,售价为1000元;
(2)债券B:面值为1000元,息票率为7%,期限为一年,存在 违约风险,售价为1000元;
.
(3)时间加权收益率的计算
i (1 j1)(1 j2)...(1 jk )...(1 jn) 1
其中: jk是每个时间段的收益率.
jk
Bk Bk1 Ck1
1
其中
:
Bk
1是上一个时间段末的投资余额;Ck
是
1
在该时间段初的新增投资;
Bk
1
Ck
是该时间
1
初的投资余额;Bk是该时段末的投资余额.
(4)例题:应用表6-6中的数额,计算时间加权收益率. 第一个时段(1月1日----4月1日)的收益率为
4 0.0292 1 1
4
4
0.039656967
(2)如果债券违约后可返还投资者本金的50%,则有 1000(1+6%)=1000)(1-2%)+1000×50×2% 解得i=7.14%
如果投资者要求债券D的期望收益至少等于按10%的无 风险利率所产生的收益,也就是 1000(1+i)(1-2%)+ 1000×50×2%=1000(1+i) 解得i=11.22%
违约概率与投资者所要求的息票率
违约概率q 履约概率 p
息标率i
1
2
3 45
99
98 97 96 95
9.091 10.204 11.34 12.5 13.684
课堂练习 :
某项基金的积累函数a(t)为二次多项式,已知
上半年的名义年利率为4%(每半年计息一次),
下半年的名义年利率为6%(每半年计息一次),求:
1000 2200 i 0.0954
投资组合法与投资年法
1、所谓投资组合法，就是计算出一个基于基金所得的平 均收益率，然后根据每个账户所占比例与投资时间长度分 配基金收益。
2、该方法缺点：在投资收益率波动时，如，在投资收益 上升时，容易引起旧有资金撤出，同时阻止新资金的投入。
3、例题：某基金有两个投资人，甲年初在基金中有资金1 万元，年中又投入1万元，乙有2万元。上半年收益率为 10%，下半年收益率为20%。利用投资组合法计算甲乙应 分得的收益。
在t=
1 4
时的利息强度
t
.
( A)0.01
(B)0.02
(C)0.03
(D)0.04
(E)0.05
解 : 设a(t) at 2 bt c
a(0) 1
c 1
1 a 1 b 11
又4 2
2%
1
a b c ( 1 a 1 b 1)
42 1 a 1 b 1
3%
42
1 a 1 b 2%
(1)先计算币值加权收益率 投资者A的币值加权收益率是下述方程的解: 2000(1+i)=2000 i=0 投资者B的币值加权收益率是下述方程的解: 2000(1+i)+1000(1+i)0.5=2800 i= -7.967% 投资者C的币值加权收益率是下述方程的解: 2000(1+i)-750(1+i)0.5=1400 i=9.184%
1000p(1+7%)+1000(1-p) ×50%=1000(1+6%) 解得:p=98.25% 所以q=1-98.25%=1.75% (2)对投资者C,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有: 1000P(1+6%)+1000(1-p) × 50%=950(1+6%) 解得:p=90.54% 所以q=1-90.54%=9.46%
解得:p=99.07%
所以q=1-99.07%=0.93%
(2)对投资者C,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有:
1000P(1+6%)=950(1+6%) 解得:p=95% 所以q=1-95%=5%
2、如果违约,对投资者返还50%的本金
(1)对投资者B,假设违约的概率为q,则履约的概率为 p(p=1-q),则有:
课堂练习: 某人在第1、2年初各投资1000元到某基金,第1年末积累
额为1200元,第2年末积累额为2200元.根据时间加权法计 算年收益率.( C ) (A) 8.5%
(B) 9%
(C) 9.5%
(D) 10%
(E) 10.5%
解 : 设年收益率为i, 依题意得 : (1 i)2 1200 2200
(2)投资B者在期初出资2000元(获得100股),期中又增加投 资1000元(获得40股),到期末时有140股,每股的价格20元, 所以期末的账户余额是2800元.
(3)投资C者在期初出资2000元(获得100股),期中的抽走 750元(减少30股),到期末剩余70股,每股的价格20元,所以 期末的账户余额是1400元.
j1=112/100-1=12% 第二个时段(4月1日----9月1日)的收益率为 j2=110/(112-20)-1=19.56% 第三个时段(9月1日----12月31日)的收益率为 j3=120/(110+30)-1=-14.28%
所以时间加权收益率为:
i=(112/100)(110/112-20)(120/110+30)-1=14.78%
乙投资人应分得的收益为：
100002+220000000022+10000111600 6628.5（7 元）
4、投资年方法在分配收益时要考虑投资的时间和分配 收 益的时间。若收益率上升，则新投入资金的收益率会超过 按投资组合法计算的收益率。在实务中，一般在按投资年 法计算超过若干年后，回到按投资组合的方法计算上。
资本预算
1、投资者在面临多种投资选择时，如何决定投资数额以 及这些投资额在多种可能的投资方向间如何分配的过程称 为资本预算。
2、资本预算的方法
收益率
净现值法
收益率曲线 1、将某种投资的收益率随投资期限长短变化的曲线称 为收益率曲线。
2、一般投资期限越长，收益率就越高。这种现象称为 利率的期限结构。
三、示例:
假设某基金由A、B、C三个投资者所有,基金经理人将所 有资金都投资一种股票,该股票在期初的价格是每股20元, 其中上升到25元,到期末又下降到20元.又假设三个投资者 的出资情况如下所示:
(1)投资A者在期初出资2000元(获得100股),当期再元投资, 所以期末的账户余额仍然是2000元.
4
2
3 a 1 b 3% 1.02
4
2
a 0.0216
b 0.0292
a(t ) 0.0216t 2 0.0292t 1
t
a(t ) a(t )
0.0432t 0.0292 0.0216t 2 0.0292t 1
当t 1 时 4
0.0432 1 0.0292
t
0.0216 ( 1 )2
解：基金年末价值为：[(10000+20000)1.1+10000]1.2=51600 基金收益为：
51600-（10000+20000+10000）=11600
这里以最小投资时间为单位时间，则甲投资人应分得收益为：
100002+100001 100002+200002+10000
1
11600
4971.4（3 元）
三、例题:假设市场的无风险利率为6%,债券D的面值为 1000元,期限为一年,违约概率为2%.如果发行人希望按面 值发行债券,试计算在下述两种情况一,该债券的息票率至 少应为多少?
(1)债券在违约后对投资者无任何返还;
(2)债券违约后对投资者的本金返还50%.
(1)如果债券在违约后对投资者无任何形式的返还,假设债 券的息票率为i,则有
1000(1+6%)=1000(1+i)(1-2%)
上式左边是将1000元投资于无风险债券在一年以后的累 积值,右边是将其用于购买债券D在以后的期限累积值.从 上式可知债券D的息票率至少应该为
i 1000(1 6%) 1 8.163% 1000(1 2%)
因为投资者在多为风险厌恶者,投资者只有期望收益大于 无风险债券的收益时,投资者才愿意购买债券D,此时则有: