强收敛、弱收敛和一致收敛
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
泛函分析小论文
论文题目:赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛
专业:数学科学学院 年级:12 级 姓名:乌日罕 学号: 20122103126 任课教师:韩刚
赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛 摘要:对赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛进行初步的认识。首先引 进了强收敛、弱收敛和一致收敛的定义、概念,其次讨论了一些相关的例题,最 后,给出并证明了定理(强收敛充要条件) 。 关键词:强收敛;弱收敛;一致收敛;赋范线性空间 一、 有关定义、相关的例题及其解析 定 义 1 设 ������ 是 赋 范 线 性 空 间 , ������������ ∈ ������,������ = 1,2, … , 如 果 ∃������ ∈ ������ , s. t. ������������ − ������ → 0(������ → ∞) ,则称 点列 ������������ 强收敛 于 ������ ,如果对 ∀������ ∈ ������ ′ ,都有 ������ (������������ ) → ������(������)(������ → ∞),则称点列 ������������ 弱收敛于������,记为������������ → ������ ������ → ∞ . ※在此注意的是,������������ → ������ ������ → ∞ ������������ → ������ ,反之不然。
⊂ (2)∀������稠 ������,������ ∈ ������, ������������ ������ 都收敛。
证明:“ ⟹ ” ∵ ������������ 强收敛, ������������ ������ 都收敛, ∴ ∀������ ∈ ������, ������������ ������ − ������������ → 0(������ → ∞),显然(2)成立; 又∵ ������������ ������ 收敛,∴ ������������ ������ 有界且X是������������������, ∴由共鸣定理知, ������������ 有界; “ ⟸ ”设 ������������ ≤ M,������ = 1,2, …, 又∵ ������ ⊂ ������,∀������ ∈ ������,∀������ > 0,∃������ ∈ ������,������. ������. ������ − ������ < ������ . 又∵ ������������ ������ 收敛,∴ ∃������,当������ > ������时, ∀������ ∈ ������ +, ������������ +������ ������ − ������������ ������ < ������ . ∴ ������������ +������ ������ − ������������ ≤ ������������ +������ ������ − ������������ +������ ������ + ������������ +������ ������ − ������������ ������ + ������������ ������ − ≤ ������������ +������ ������ − ������ + ������ + ������������ ������ − ������ < 2������������ + ������ . ������������ ������
弱 弱
显然强收敛必定弱收敛,但弱收敛不一定强收敛。 例 1(弱收敛≠>强收敛) 设������ = ������ 2 ,������������ = 0,0, … ,0,1,0, … ,������ = 1,2, …,则 ������������ = 1,故 ������������ 不强收敛于 0. 下证 ������������ 弱收敛于 0,对∀������ ∈ ������ 2
∗
= ������ 2 ,即
∞ 2 ������ =1
wenku.baidu.com
������ = ������1 ,������2 , … ∈ ������
������������
2
< +∞.
������ ������������ = ������������ → 0 ������ → ∞ ( ∴ ������ ������������ − 0 → 0 ������ → ∞ ∴ ������ ������������ → 0 ������ → ∞
∃������������ ∈ ������ ������ → ������ ,������. ������. (1) ������������ − ������ → 0(������ → ∞),则称 ������������ 一致收敛于������;
(2) 对∀������ ∈ ������, ������������ ������ − ������������ → 0(������ → ∞),则称 ������������ 强收敛于������; (3) 对∀������ ∈ ������和∀������ ∈ ������′,������(������������ ������) → ������ (������������)(������ → ∞),则称 ������������ 弱收敛于������. ※在此注意的是, 1.一致收敛 强收敛 弱收敛,反之不然; ������ ������������ ������ − ������(������������) = ������(������������ ������ − ������������) ≤ ������ ������������ ������ − ������������ ≤ ������ 2.强收敛⇏一致收敛 3.弱收敛⇏强收敛
������������ − ������
������
二、 定 理 设 ������,������ 是 ������������������ , ������������ ∈ ������ ������ → ������ , 则 ������������ 强 收 敛 的 充 要 条 件 是 (1) ������������ 有界;
将上述定理用于泛函的情形,则可知������上任何一列 ������ ������ ,如果弱*收敛,必定 有界,反之有界 ������ ������ 若在������ 的一个稠密子集上收敛,则必弱*收敛。 参考文献: [1]程其襄,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础(第三版)[ ].高等教育出版社, 2010,6.
强
������ ������ → ������
������
������
������ ������
������ ∗
������,反之不然;
3.唯一性:������ ������ → ������,������ ������
������ ∗
������,则 ������ = ������ .
定义 3 设 ������,������ 是两个赋范线性空间, ������������ ∈ ������ ������ → ������ ,������ = 1,2, … ,若
弱
)
定义 2 设 ������ 是赋范线性空间, ������ ′ 是 ������ 的共轭空间,泛函列 ������ ������ ∈ ������′(������ = 1,2, … ),如果∃������ ∈ ������ ′ ,s. t. (1) ������ ������ − ������ → 0(������ → ∞),则称 ������ ������ 强收敛于������ ; (2) 对∀������ ∈ ������,都有 ������ ������������ − ������(������) → 0(������ → ∞),则称 ������ ������ 弱*收敛于������ ; (3) 若对∀������ ∈ (������′)′,都有������ (������ ������ ) → ������ (������ )(������ → ∞),则称 ������ ������ 弱收敛于������ . ※在此注意的是, 1. 弱 * 收 敛 与 弱 收 敛 一 般 是 不 同 的 , 但 若 ������ 是 自 反 的 (������ ∗∗ = ������,(������ 2 )∗ = ������ 2 ,(������ ������ )∗ = ������ ������ )则泛函列 ������ ������ 的弱*收敛与弱收敛等价。 2.������ ������ → ������
论文题目:赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛
专业:数学科学学院 年级:12 级 姓名:乌日罕 学号: 20122103126 任课教师:韩刚
赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛 摘要:对赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛进行初步的认识。首先引 进了强收敛、弱收敛和一致收敛的定义、概念,其次讨论了一些相关的例题,最 后,给出并证明了定理(强收敛充要条件) 。 关键词:强收敛;弱收敛;一致收敛;赋范线性空间 一、 有关定义、相关的例题及其解析 定 义 1 设 ������ 是 赋 范 线 性 空 间 , ������������ ∈ ������,������ = 1,2, … , 如 果 ∃������ ∈ ������ , s. t. ������������ − ������ → 0(������ → ∞) ,则称 点列 ������������ 强收敛 于 ������ ,如果对 ∀������ ∈ ������ ′ ,都有 ������ (������������ ) → ������(������)(������ → ∞),则称点列 ������������ 弱收敛于������,记为������������ → ������ ������ → ∞ . ※在此注意的是,������������ → ������ ������ → ∞ ������������ → ������ ,反之不然。
⊂ (2)∀������稠 ������,������ ∈ ������, ������������ ������ 都收敛。
证明:“ ⟹ ” ∵ ������������ 强收敛, ������������ ������ 都收敛, ∴ ∀������ ∈ ������, ������������ ������ − ������������ → 0(������ → ∞),显然(2)成立; 又∵ ������������ ������ 收敛,∴ ������������ ������ 有界且X是������������������, ∴由共鸣定理知, ������������ 有界; “ ⟸ ”设 ������������ ≤ M,������ = 1,2, …, 又∵ ������ ⊂ ������,∀������ ∈ ������,∀������ > 0,∃������ ∈ ������,������. ������. ������ − ������ < ������ . 又∵ ������������ ������ 收敛,∴ ∃������,当������ > ������时, ∀������ ∈ ������ +, ������������ +������ ������ − ������������ ������ < ������ . ∴ ������������ +������ ������ − ������������ ≤ ������������ +������ ������ − ������������ +������ ������ + ������������ +������ ������ − ������������ ������ + ������������ ������ − ≤ ������������ +������ ������ − ������ + ������ + ������������ ������ − ������ < 2������������ + ������ . ������������ ������
弱 弱
显然强收敛必定弱收敛,但弱收敛不一定强收敛。 例 1(弱收敛≠>强收敛) 设������ = ������ 2 ,������������ = 0,0, … ,0,1,0, … ,������ = 1,2, …,则 ������������ = 1,故 ������������ 不强收敛于 0. 下证 ������������ 弱收敛于 0,对∀������ ∈ ������ 2
∗
= ������ 2 ,即
∞ 2 ������ =1
wenku.baidu.com
������ = ������1 ,������2 , … ∈ ������
������������
2
< +∞.
������ ������������ = ������������ → 0 ������ → ∞ ( ∴ ������ ������������ − 0 → 0 ������ → ∞ ∴ ������ ������������ → 0 ������ → ∞
∃������������ ∈ ������ ������ → ������ ,������. ������. (1) ������������ − ������ → 0(������ → ∞),则称 ������������ 一致收敛于������;
(2) 对∀������ ∈ ������, ������������ ������ − ������������ → 0(������ → ∞),则称 ������������ 强收敛于������; (3) 对∀������ ∈ ������和∀������ ∈ ������′,������(������������ ������) → ������ (������������)(������ → ∞),则称 ������������ 弱收敛于������. ※在此注意的是, 1.一致收敛 强收敛 弱收敛,反之不然; ������ ������������ ������ − ������(������������) = ������(������������ ������ − ������������) ≤ ������ ������������ ������ − ������������ ≤ ������ 2.强收敛⇏一致收敛 3.弱收敛⇏强收敛
������������ − ������
������
二、 定 理 设 ������,������ 是 ������������������ , ������������ ∈ ������ ������ → ������ , 则 ������������ 强 收 敛 的 充 要 条 件 是 (1) ������������ 有界;
将上述定理用于泛函的情形,则可知������上任何一列 ������ ������ ,如果弱*收敛,必定 有界,反之有界 ������ ������ 若在������ 的一个稠密子集上收敛,则必弱*收敛。 参考文献: [1]程其襄,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础(第三版)[ ].高等教育出版社, 2010,6.
强
������ ������ → ������
������
������
������ ������
������ ∗
������,反之不然;
3.唯一性:������ ������ → ������,������ ������
������ ∗
������,则 ������ = ������ .
定义 3 设 ������,������ 是两个赋范线性空间, ������������ ∈ ������ ������ → ������ ,������ = 1,2, … ,若
弱
)
定义 2 设 ������ 是赋范线性空间, ������ ′ 是 ������ 的共轭空间,泛函列 ������ ������ ∈ ������′(������ = 1,2, … ),如果∃������ ∈ ������ ′ ,s. t. (1) ������ ������ − ������ → 0(������ → ∞),则称 ������ ������ 强收敛于������ ; (2) 对∀������ ∈ ������,都有 ������ ������������ − ������(������) → 0(������ → ∞),则称 ������ ������ 弱*收敛于������ ; (3) 若对∀������ ∈ (������′)′,都有������ (������ ������ ) → ������ (������ )(������ → ∞),则称 ������ ������ 弱收敛于������ . ※在此注意的是, 1. 弱 * 收 敛 与 弱 收 敛 一 般 是 不 同 的 , 但 若 ������ 是 自 反 的 (������ ∗∗ = ������,(������ 2 )∗ = ������ 2 ,(������ ������ )∗ = ������ ������ )则泛函列 ������ ������ 的弱*收敛与弱收敛等价。 2.������ ������ → ������