定量预测技术word版

3、定量预测技术

回归预测模型的一般形式Y=f(X) 3.1一元线性回归模型：

Y=a+bx

根据占有的若干组数据),,2,1)(,(n i Y X i i =,计算出系数a ˆ和b ˆ，就得出该事物发展变化的规律性X b a Y

ˆˆˆ+=，这就是要确定的预测模型。 下面以某公司1988年-2001年产品产量的数据，说明建立一元线性预测模型的方法。

某公司1988-2001年产品产量数据（单位：万t ）

3.1.1一元线性回归的简易求法：

预测方程：X b a Y

ˆˆˆ+= （1） 方法：

(1)将n 组数据),,2,1)(,(n i Y X i i =平均得分为两组（份组数决定于

需确定的参数个数），并分别代入式(1)；

(2)把各组方程相加，得到一个以a

ˆ和b ˆ为变量的线性方程； (3)解此线性方程组可求出a

ˆ和b ˆ的值，代入式(1)，即使所求预测方程。

前7个相加得114.24=7a ˆ+21b ˆ,后7个相加得181.06=7a ˆ+70b ˆ,联立解得3637.1ˆ,23.12ˆ==b a

预测方程为：X Y

3637.123.12ˆ+= 3.1.2最小二乘法：

对于回归方程X b a Y ˆˆˆ+=，将占有的数据),,2,1(n j X j

=代入后得： i

i X b a Y ˆˆˆ+= 令 i

i i e Y Y =-ˆ，则它表示占有数据j Y 与预测值j Y ˆ 的误差。 为防止误差正负抵消，采用误差平房和最小作为确定参数a ˆ和b ˆ的准则，这种确定参数的a

ˆ和b ˆ的方法叫做最小二乘法。 ∑∑∑===--=-==n

i i

i n

i i i n

i i X b a Y Y Y e Q 1

21

21

2

)ˆˆ()ˆ(min （2） 使Q 最小，由

0ˆ,0ˆ=∂∂=∂∂b

Q

a Q 得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=---∑∑==0)ˆˆ(20)ˆˆ(21

1

i n i i i n

i i i X X b a Y X b a Y （3）

解得

X b Y a

ˆˆ-= （4）

∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========--=

--=n

i i

n

i i

n

i i

n i i i n

i i n i i n

i i

n

i i n

i i i X X X

Y

X Y X X X n Y X Y X n b

1

1

211

2

1

1

2

1

1

1

)(ˆ （5）

式中∑∑====n

i i n i i Y n Y X n X 1

11,1

若01

=∑=n

i i X

则

∑∑====n

i i

n

i i i X

Y

X b

Y a 1

21

ˆˆ （6）

3.1.3线性回归预测模型检验过程及预测精度： 1相关系数

评价X 、Y 两个变量之间线性关系密切程度的数量指标叫相关系数，并以r 表示 YY

XX XY L L L r =，11≤≤-r （7）

式中

Y

X n Y X Y Y X X L Y n Y Y Y L X n X X X L i

i i i

i i XY i

i i

i YY i

i i

i XX -=--=-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑))(()()(2

222

22 （8）

XX L 叫X 的离差平方和,它是反映自变量波动的一个指标，XX L 越大，X

的波动越大，反之越小；XY L 叫做X 、Y 的离差乘积和。11≤≤-r 。

XX

YY

YY

XX

XX YY XY XX

XY

n

i i

n

i i i n

i i n i i n

i i

n

i i n

i i i L L r

L L L L L L L X n X

Y

X n Y X X X n Y X Y X n b

===

--=

--=∑∑∑∑∑∑∑=======2

1

21

2

1

1

2

1

1

1

)(ˆ （9） 或 YY

XX

L L b

r 2

2ˆ= （10） 由（9）(10)可见：

（1）r=0时，b=0,则回归直线是一条与X 轴平等的直线，说明X 的变化与Y 无关。

(2)当1||12==r r 即时，XX

YY

L L b

=2ˆ， 这时考察误差平方和Q ，将X b Y a

ˆˆ-= 代入得 []

[

]

XX

YY XY XX YY i

i

i i i i

i

i i i i L b L L b L b L X X Y Y b X X b Y Y X X b Y Y X b X b Y Y Q 222222

2ˆˆ2ˆ))((ˆ2)(ˆ)()(ˆ)()ˆˆ(-=-+=----+-=---=-+-=∑∑∑

1||12==r r 即时，Q=0，由此可知，当r=1时，即Q=0，所有点均在回

归直线上，称完全正相关；当r=-1时，称完全负相关。

当-1