四省（四川 云南 贵州 西藏）名校2021届高三第一次大联考数学（文）试题

四省（四川云南贵州西藏）名校2021届高三第

一次大联考数学（文）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 设集合，，则（）A．1 B．C．D．

2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为

（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3. 已知，，，则（）

A．B．C．D．

4. 曲线在点处的切线方程为（）

A．B．

C．D．

5. 祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率的值．正三角形的边长为4，若总豆子数，其中落在圆内的豆子数

，则估算圆周率的值是（为方便计算取1.70，结果精确到0.01）

（）

A．3.13 B．3.14 C．3.15 D．3.16

6. 已知圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹方程为（）

A．B．C．D．

7. 已知为锐角，且满足，则的值为（）

A．B．C．

D．

8. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则的值为（）

A．12 B．8 C．D．

9. 在矩形ABCD中，，，点M在边CD上运动，则的最小值为（）

A．B．0 C．1 D．

10. 一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为（）

A．B．12 C．D．

11. 已知圆，直线与圆C交于A，B两点，当弦长最短时的值为（）

A．1 B．C．D．

12. 已知函数，关于函数有下列四个命题：

①；②的图象关于点对称；③是周期为的奇函

数；④的图象关于直线对称．其中正确的是（）

A．①④B．②③C．①③D．②④

二、填空题

13. 若、满足约束条件，则的最大值为

_________．

14. 2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学．该高中为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3

个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_________人．

15. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为_________．

16. 在等腰三角形ABC中，，顶角为120°，以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为_________．

三、解答题

17. 已知数列为等差数列，且，是，的等比中项．

（1）求数列的通项公式

（2）当数列的公差时，求数列的前项和．

18. 西尼罗河病毒（WNV）是一种脑炎病毒，WNV通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类．1999年8-10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x（千克）和利巴韦林含片产量y

投入量x

1 2 3 4 5 （千克）

产量y（百

16 20 23 25 26 盒）

由相关系数可以反映两个变量相关性的强弱，，认为变量相关性很强；，认为变量相关性一般；，认为变量相关性较弱．

（1）计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；

（2）根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？

参考数据：．

参考公式：相关系数，线性回归方程

中，，．

19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，且

，E是的中点，．

（1）求证：面平面EDC；

（2）求三棱锥的体积．

20. 已知，椭圆的左、右焦点，点P是

C的上顶点，且直线的斜率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，．若与C交于A，B两点，与C交于D，E两点，求的最大值．

21. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，当时，，实数的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线D的参数方程为（t为参数，）点，点，曲线E上的任一点P满足．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线D的普通方程和曲线E的极坐标方程；

（2）求点P到曲线D的距离的最大值．

23. 已知函数，，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）是否存在这样的实数（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．