投资学 第六章
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附录6A 风险厌恶、期望效用与圣彼得堡悖论 丹尼尔•伯努利于1725-1733年在圣彼得堡研 究了下面投币游戏 首先，参加游戏需要先付门票 其后，参与者报酬与抛硬币直到第一个正面 出现时为止，在此之前，反面出现的次数有 关。
R ( n) 2
n
圣彼得堡投币游戏各种结果的报酬与概率
反面 0
1 2 3 ┆ n
尽管期望报酬是无限的，但显然参加者是愿意用有 限价格或适当价格购入门票来参与这个游戏。 圣彼得堡悖论的解决：边际效用递减 即投资者对于所有报酬的每份美元赋予的价值 是不同的，财富越多，对额外增加的美元赋予 的“评价价值”就越少
公平博弈与期望效用
现考虑以下的简单情景：假设为风险厌恶者，效用函数为Ln（W）
图6A-2表示风险厌恶者损失5万 美元的效用要超过盈利5万美元 的效用增加。 L>G
损失5万美元，风险厌恶者的效用变化：
p 0.5, ln(100000) 11.51, ln(50000) 10.82
期望效用损失为（ 1 p） * （ 11.51 10.82) 0.35
由此可知，风险厌恶者损失5万元，期望效用值减少0.35 赢利5万元，风险厌恶者的效用变化： p 0.5, ln(100000 ） 11.51 ， ln(150000) 11.92
资本配置线
◆当把一个风险资产和无风险资产放到一个投资组合中， 整个组合的标准差就是风险资产标准差乘以它在投资组 合中的比例。 即
c y p 22 y
c p
y就可以表示为：y 因此，
而这样可以得出期望收益和标准差之间的权衡关系： E (rc ) rf y[ E (rp ) rf ] rf c [ E (rp ) rf ] p
例6-3： 投资者以无风险利率借入资金120 000美元，并将全部 可由资金投入到风险资产中，这便通过借款杠杆获得 一个风险资产头寸。
420000 1.4 300000 E (rc ) 7% (1.4 * 8%) 18.2% y
wk.baidu.com
c 1.4 * 22% 30.8%
S E ( rc ) r f
则期望效用增加值为p(11.92 11.51) 0.21
风险投资的期望效用： E[U (W )] pU (W1 ) (1 p)U (W2 ) 11.37
不投资的效用为 11.51 ln(WCE ) 11.37, 则WCE e11.37 86681.87(美元) 风险厌恶者认为稳拿86681.87美元与有风险的100000美元 的效用相等。
c
18.2 7 0.36 30.8
弯折的CAL曲线
◆非政府投资者并不能以无风险利率借入资 金。借款者的违约风险导致贷款者要求更高 的贷款利率。
rf rpB 斜率：S E (rP ) rfB
p
, 斜率减小，资本配置线被扭曲。
图6.5 借贷利率不同时的可行集 (弯折的CAL)
概率 1/2
1/4 1/8 1/16 ┆
报酬=R(n)（美元） 1
2 4 8 ┆
概率*报酬（美元） 1/2
1/2 1/2 1/2 ┆ 1/2
(1 / 2)n1
2n
由表可知，期望报酬为
E ( R) Pr(n) R(n) 1 / 2 1 / 2
n 0
圣彼得堡悖论：
6.3 无风险资产
◆无风险资产：主要是指未来收益率没有不确定性 的资产，其标准差为零。 ◆无风险资产只是一种近似 ◆短期国库券可视为一种无风险资产，但其利率存 在一定的低估 ◆习惯以货币市场基金作为对绝大部分投资者易接 受的无风险资产，即短期国债、银行可转存单以及 商业票据。
无风险利率有时可用LIBOR来代替 LIBOR是指伦敦同业拆借利率
图6.4 风险资产与无风险资产的 可行投资组合
◆资本配置线主要是表示对投资者而言所有可能 的风险收益组合。 ◆资本配置线的斜率：
S E ( rc ) r f
p
表示每增加一单位标准差整个投资组合增加的期 望收益。也被称为报酬-波动性比率，或者夏普比 率
杠杆风险投资组合
◆投资者不再以无风险利率将资金借出，而是 借入资金。
图6-3 3个月银行存单和短期国债收益率差价
6.4 单一风险资产与单一无风险资产的资 产组合
定义风险资产组合P的收益率为rp，期望收益为 E (rp )，标准差为 p，无风险资产收益率为rf 。 假设风险投资组合的投资比例为y，无风险资产 的比例为1 y，并假设E (rp ) 15%, p 22%, rf 7%。 则该投资组合C的收益率rC 为 rC yrp (1 y )rf 而期望值为 E (rc ) yE (rp ) (1 y )rf rf y[ E (r p ) rf ] 7 y (15 7)
R ( n) 2
n
圣彼得堡投币游戏各种结果的报酬与概率
反面 0
1 2 3 ┆ n
尽管期望报酬是无限的，但显然参加者是愿意用有 限价格或适当价格购入门票来参与这个游戏。 圣彼得堡悖论的解决：边际效用递减 即投资者对于所有报酬的每份美元赋予的价值 是不同的，财富越多，对额外增加的美元赋予 的“评价价值”就越少
公平博弈与期望效用
现考虑以下的简单情景：假设为风险厌恶者，效用函数为Ln（W）
图6A-2表示风险厌恶者损失5万 美元的效用要超过盈利5万美元 的效用增加。 L>G
损失5万美元，风险厌恶者的效用变化：
p 0.5, ln(100000) 11.51, ln(50000) 10.82
期望效用损失为（ 1 p） * （ 11.51 10.82) 0.35
由此可知，风险厌恶者损失5万元，期望效用值减少0.35 赢利5万元，风险厌恶者的效用变化： p 0.5, ln(100000 ） 11.51 ， ln(150000) 11.92
资本配置线
◆当把一个风险资产和无风险资产放到一个投资组合中， 整个组合的标准差就是风险资产标准差乘以它在投资组 合中的比例。 即
c y p 22 y
c p
y就可以表示为：y 因此，
而这样可以得出期望收益和标准差之间的权衡关系： E (rc ) rf y[ E (rp ) rf ] rf c [ E (rp ) rf ] p
例6-3： 投资者以无风险利率借入资金120 000美元，并将全部 可由资金投入到风险资产中，这便通过借款杠杆获得 一个风险资产头寸。
420000 1.4 300000 E (rc ) 7% (1.4 * 8%) 18.2% y
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c 1.4 * 22% 30.8%
S E ( rc ) r f
则期望效用增加值为p(11.92 11.51) 0.21
风险投资的期望效用： E[U (W )] pU (W1 ) (1 p)U (W2 ) 11.37
不投资的效用为 11.51 ln(WCE ) 11.37, 则WCE e11.37 86681.87(美元) 风险厌恶者认为稳拿86681.87美元与有风险的100000美元 的效用相等。
c
18.2 7 0.36 30.8
弯折的CAL曲线
◆非政府投资者并不能以无风险利率借入资 金。借款者的违约风险导致贷款者要求更高 的贷款利率。
rf rpB 斜率：S E (rP ) rfB
p
, 斜率减小，资本配置线被扭曲。
图6.5 借贷利率不同时的可行集 (弯折的CAL)
概率 1/2
1/4 1/8 1/16 ┆
报酬=R(n)（美元） 1
2 4 8 ┆
概率*报酬（美元） 1/2
1/2 1/2 1/2 ┆ 1/2
(1 / 2)n1
2n
由表可知，期望报酬为
E ( R) Pr(n) R(n) 1 / 2 1 / 2
n 0
圣彼得堡悖论：
6.3 无风险资产
◆无风险资产：主要是指未来收益率没有不确定性 的资产，其标准差为零。 ◆无风险资产只是一种近似 ◆短期国库券可视为一种无风险资产，但其利率存 在一定的低估 ◆习惯以货币市场基金作为对绝大部分投资者易接 受的无风险资产，即短期国债、银行可转存单以及 商业票据。
无风险利率有时可用LIBOR来代替 LIBOR是指伦敦同业拆借利率
图6.4 风险资产与无风险资产的 可行投资组合
◆资本配置线主要是表示对投资者而言所有可能 的风险收益组合。 ◆资本配置线的斜率：
S E ( rc ) r f
p
表示每增加一单位标准差整个投资组合增加的期 望收益。也被称为报酬-波动性比率，或者夏普比 率
杠杆风险投资组合
◆投资者不再以无风险利率将资金借出，而是 借入资金。
图6-3 3个月银行存单和短期国债收益率差价
6.4 单一风险资产与单一无风险资产的资 产组合
定义风险资产组合P的收益率为rp，期望收益为 E (rp )，标准差为 p，无风险资产收益率为rf 。 假设风险投资组合的投资比例为y，无风险资产 的比例为1 y，并假设E (rp ) 15%, p 22%, rf 7%。 则该投资组合C的收益率rC 为 rC yrp (1 y )rf 而期望值为 E (rc ) yE (rp ) (1 y )rf rf y[ E (r p ) rf ] 7 y (15 7)