2011-2020高考分类专题17 数列的概念与数列的通项公式(解析版)

专题17 数列的概念与数列的通项公式
主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前
n 项和的关系
主要考查数列利用前n 项和n S 与n a 关系求通项公式、等比数列定义及前n 项和公式，考查运算求解能力 数列前n 项和n S 与n a 关系的应用
主要考查数列利用前n 项和n S 与n a 关系求通项公式、等比数列定义及前n 项和公式，考查运算求解能力 周期数列
周期数列，数列的新定义问题
考点54 数列概念与与由数列的前几
项求通项公式
考点54 数列概念与由数列的前几项求通项公式
1．（2020全国Ⅱ理12）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12n
a a a 满足
()()0,11,2,i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,
)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并
称满足),2,1(⋯==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12n
a a a ，
()1
1()1,2,
,1m
i i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足
()()1
1,2,3,45
C k k ≤
=的序列是 （ ）
A ．11010
B ．11011
C ．10001
D ．11001
【答案】C
【解析】由i m
i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，5
1
1(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑．
对于选项A ，511223344556111111
(1)()(10000)55555
i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑
52132435465711112
(2)()(01010)5555
i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；
对于选项B ，51122334455611113
(1)()(10011)555
5
i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112
(1)()(10001)5555
i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故
选：C
2．（2011天津）已知数列{}{}n n a b 与满足11(2)1n
n n n n b a b a +++=-+，
1
*13(1),,22
n n b n N a -+-=∈=且．
（Ⅰ）求23,a a 的值；
（Ⅱ）设*
2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列；
（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明
*21212
12
2121
().3
n n n n S S S S n n N a a a a --+++
+≤-∈
【解析】（Ⅰ）由1
*3(1),2n n b n N -+-=∈，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数,
又()1121n
n n n n b a b a +++=-+，
当12123
1,21,2,;2
n a a a a =+=-==-时由可得 当2332,25,8.n a a a =+==时可得 （Ⅱ）证明：对任意*
n N ∈
21212221n n n a a --+=-+ ① 2221221n n n a a ++=+ ②
②-①，得21
211
212132,32,4n n n n n n n
c a a c c --++--=⨯=⨯=即于是
所以{}n c 是等比数列．
（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当*
2k N k ∈≥且时，
2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-
13
5
23
212(14)
23(2222
)23214
k k k ----=++++
+=+⨯=-
故对任意*21
21,2.k k k N a --∈=
由①得21
2121*221
2
221,2,2
k k k k k a a k N ---+=-+=
-∈所以 因此，21234212()()().2
k k k k
S a a a a a a -=++++++=
于是，21
222112.2
k k k k k S S a ---=-=
+ 故
21221221222121212
121221.1222144(41)22
k k k k
k k k k k k
k k k
k k
S S k k k a a ------+-++=+=-=----- 考点55已知递推公式求通项公式
1．（2014新课标Ⅱ，文16）数列}{n a 满足2,11
81=-=
+a a a n
n ，则=1a ________．
【答案】
2
1 【解析】由111n n a a +=
-得，n a =111n a +-，∵82a =，∴7a =811a -=12，∴6a =711a -=-1，∴5a =6
1
1a -=2，∴4a =511a -
=12，∴3a =411a -=-1，∴2a =311a -=2，1a =211a -=12
． 2．（2013新课标Ⅰ，理14）若数列{n a }的前n 项和为S n ＝21
33
n a +，
则数列{n a }的通项公式是n a =______． 【答案】1
(2)
n --
【解析】当n =1时，1a =1S =
12133a +，解得1a =1，当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(121
33
n a -+)=122
33
n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --． 3．（2015江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1
{
n
a 前10项的和为 ． 【答案】
2011
【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
(1)1212
n n n n +=+-+++=
，所以101111220
2(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==
+++． 4．（2016•新课标Ⅲ，文17）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，2
11(21)20n
n n n a a a a ++---=． （1）求2a ，3a ； （2）求{}n a 的通项公式．
【解析】（1）根据题意，2
11(21)20n
n n n a a a a ++---=， 当1n =时，有21212(21)20a a a a ---=， 而11a =，则有221(21)20a a ---=，解可得21
2
a =
， 当2n =时，有2
2
323(21)20a a a a ---=， 又由212a =，解可得314
a =， 故212a =
，314
a =； （2）根据题意，2
11(21)20n
n n n a a a a ++---=，
变形可得1(2)(1)0n n n a a a +-+=， 即有12n n a a +=或1n a =-， 又由数列{}n a 各项都为正数， 则有12n n a a +=，
故数列{}n a 是首项为11a =，公比为1
2
的等比数列， 则1111
1()()22n n n a --=⨯=，
故11
()2
n n a -=．
考点56 数列的前n 项和n S 与n a 关系的应用
1．（2020江苏20）已知数列*
{}()n a n N ∈的首项11a =，前n 项和为n S ．设λ与k 是常数．若对一切正
整数n ，均有111
11k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“k λ-”数列．
（1）若等差数列是“1λ-”数列，求λ的值；
（2）若数列{}n a 2-”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ≥？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】见解析
【解析】（1）1k =时，111n n n n a S S a λ+++=-=，∴1λ=．
（2=
11n n n a S S ++=-=，
=
=
11144
()33
n n n n S a S S +++==-．从而14n n S S +=． 又111S a ==，14n n S -=，2
134n n n n a S S --=-=⋅，2n ≥．
综上，2
1,1
34,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩
． （3）若存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，则1
1
1
33311
n n n S S a λ++-=，
则21123333331
111133()n n n
n n
n n n n S
S S S S S a S S λλ+++++-+-==-，
由11a =，0n a ≥则0n S >，令113(
)0n n n
S p S +=>，则332
3(1)33(1)0n n n p p p λλ--+--=， 1λ=时，2
n n
p p =，由0n p >可得1n p =，则1n n S S +=，即10n a +=， 此时{}n a 唯一，不存在三个不同的数列{}n a ；
1λ≠时，令3
31t λ
=
-，则3210n n n p tp tp -+-=，则2
(1)[(1)1]0n n n p p t p -+-+=， ①1t ≤时2
(1)10n n p t p +-+>，则1n p =同理不存在三个不同的数列{}n a ；
②13t <<时，2(1)40t ∆=--<，2
(1)10n n p t p +-+=无解，则1n p =，同理不存在三个不同的数列{}n a ； ③3t =时，3
(1)0n p -=，则1n p =，同理不存在三个不同的数列{}n a ；
④3t >即01λ<<时，2
(1)40t ∆=-->，2(1)10n n p t p +-+=有两解
α，β，设αβ<，
12t αβ+=->，10αβ=>，则01αβ<<<，则对任意*n N ∈，11n n S S +=或31n n S S α+=或31n n
S
S β+=，此时1n S =，31,1,2n n S n β=⎧=⎨≥⎩，31,1,2
,3n n S n β=⎧=⎨≥⎩
均符合条件，
对应1,10,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，31,11,20,3n n a n n β=⎧⎪=-=⎨⎪≥⎩，31,1
0,2
1,3
0,4
n n n a n n β=⎧⎪=⎪
=⎨-=⎪⎪≥⎩，
则存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ≥，综上，01λ<<．
2．（2018•新课标Ⅰ，理14）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S = ． 【答案】63-
【解析】n S 为数列{}n a 的前n 项和，21n n S a =+，①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =-，
当2≥n 时，1121n n S a --=+，②，由①-②可得122n n n a a a -=-，12n n a a -∴=，{}n a ∴是以1-为首项，以2
为公比的等比数列，661(12)
6312
S -⨯-∴==--．
3．（2016•新课标Ⅲ，理17）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；
（2）若531
32
S =
，求λ． 【解析】（1）1n n S a λ=+，0λ≠． 0n a ∴≠．
当2n 时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-， 即1(1)n n a a λλ--=，
0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，
即
11
n n a a λ
λ-=
-，(2)n ， {}n a ∴是等比数列，公比1
q λλ=
-，
当1n =时，1111S a a λ=+=， 即11
1a λ
=-， 1
1()11
n n a λλλ-∴=
--． （2）若53132
S =
， 则若45131
1[()]1132
S λλλλ=+=
--， 即5311
()113232
λλ=-=--， 则
1
12
λ
λ
=-
-，得1λ=-． 4．（2014新课标Ⅰ，理17）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减
()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分
（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；
证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知
数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1
2
n m +=
，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2
n
m =
，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=
因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列． ………12分
考点57数列性质
1．（2012福建）数列{}n a 的通项公式cos 12
n n a n π
=+，前n 项和为n S ，则2012S =___． 【答案】3018 【解析】因为cos
2n π的周期为4；由cos 12
n n a n π
=+n N *∈，∴12346a a a a +++=，56786a a a a +++=，…，∴ 201250363018S =⨯=
2. （2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
中的最大项是第k 项，则k =____________． 【答案】4
【解析】由题意得11
22(4)()(1)(14)()33
22(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧
+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩
，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，因为N k ∈，所以4=k ．
3．（2014湖南）已知数列{}满足
（Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值； （Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式． 【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11n
n n n n a a a a p ++-=-=．而11a =， 因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而2
30p p -=，
n a *
111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈n a 12,3,23a a a p 1
2
p =
21n a -2n a n a
解得1
,03
p p =
= 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾．故13
p =
． （Ⅱ）由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是
212221()()0n n n n a a a a +--+-> ①
但
221
11
22
n n -<，所以 212221a a a a n n n n -<-+-． ② 又①，②知，2210n n a a -->，因此
22212121
1(1)()22
n n n n n a a -----== ③
因为{}2n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<故
221
21221(1)22n
n n n
n
a a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
--=-=
④ 由③，④即知，1
1(1)2n n n n
a a ++--=，于是
()()()()()1
21
1121321111111
141211122
22332
12
n n
n
n n n n n a a a a a a a a ----⎛⎫
-- ⎪--⎝
⎭=+-+
+
=+⋅=+⋅+=+-+-+
+-， 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332
n
n n a --=+⋅．。