第14讲 一阶电路的三要素公式

2 uc (0 ) =-2 V u1x(0+) = 22
u1x(∞ ) = 0 V u1f(0+)= 4V =ReqC=1s
uCx(∞ ) =0 V
uCf(0+)=0 uCf(∞ )= u1 f (∞ ) 8 V
（4）代入三要素公式求各响应： t/ = 4et ucx(t)= ucx(0+)e t/ = 2et u1x(t)= u1x(0+)e ucf(t)= ucf(∞ ) +[ucf(0+) ucf(∞)] e u1f(t)= u1f(∞ ) +[u1f(0+) u1f(∞)] e t/ t/ t 0
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和u1x(∞)、 u1f(∞)。
iS置零(开路)，可求得 uCx(∞ ) =0 V u1x(∞ ) = 0 V 由输入产生的零状态响应的稳态值为 36 ∞ uCf(∞ )= u1 f ( ) 3+6 （3）求
is 8 V
36 Req= 2+ 3+6
=ReqC=1s
=4
uCx(0+) = uC(0+) =-4 V
根据换路定律可知iL(0+) = iL(0-) =3A。这样，在t≥0的电路(图(b))
中，用电流源iL(0+)替代电感元件，得t=0 如图3.5 -3(e)所示。由图(e)可求得
uL ( 0 ) R iL (0 ) 6v R1 R2
+时的初始值等效电路
R i1 (0 ) iL (0 ) 2 A R1 R2
15V
作t=0+时的等效电路： i(0+) 1 1 2 15V iL(0+) 6A
2 i (0 ) 5 (6) * 1( A) 3
② ③
i ( ) 15 9( A) 5 3
i(t ) 1 8(1 e )
i 9 1 0
3 9 s 5 5 3
5t 9
1、使用条件： 外施激励为直流或正弦函数。 只有在直流或正弦函数作用下强迫分量才称为稳 态分量；若外加激励是衰减的指数函数，则强迫 分量也将以相同规律衰减的指数函数，在这种情 况下，强迫分量不再称为稳态分量。 2、依据： ①在全响应下，一阶电路中各处的u、 i均按指数规律变化。 初始值～最终值（稳态值）。 ②同一个电路，u、 i的变化由同一个τ决定。 ３、三要素： ①f(0+): 初始值，独立和非独立初始条件求解。 t=0-,C开路，Ｌ短路。 零状态时，Ｃ短路，Ｌ开路。 ②f(∞): 特解，稳态值，最终值。Ｃ开路，Ｌ短路
2A
i1 4 2i1 +
º
º
∴
uc(t)=12(1-e-10t)
t≥0
例4
k1(t=0)
i
2 1H 3
已知：电感无初始储能 t = 0 时合 k1 , t =0.2s时合k2 求两次换路后的电感电流i(t)。 k2(t=0.2s) t > 0.2s
10V
解： 0 < t < 0.2s

i (0 ) 0 1 0.2 s i ( ) 2A i (t ) 2 2e 5t A
t≥0
t
例3
4 i1 4 2i1 4 +
设电流源在t=0时加入，uc (0-)=0 º + uc _ º 求u c (t)，t≥0 解： 三要素法 ① 求u c (∞)： u c (∞)=2*4+2*2=12V ② 求τ： (4+4)is+2is=u 10is=u ∴ Req=10Ω τ=CReq=10*0.01=0.1s
t 0
t 0
t/ t/ = 8(1 e t ) = 8 4e t t0 t 0
(2) 在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，经过 1.5s后，开
关又由“2”闭合到“3”。 在0≤t<1.5s区间，开关位于“2”，仍有 uC(t)=8-12 e-t (V) u1(t)=8-6 e-t (V) 下面求t ≥1.5s时的响应: 0≤t<1.5 s 0≤t<1.5s t>1.5s时的电路 V
uL (∞)=0
i1(∞)= i2(∞)=0
（3）求
L1
R 2
（s）
t
（4）代入三要素公式求各响应 iL(t)= iL (∞)+［ iL(0+)- iL (∞) ］e i1(t)= i1 (∞)+［ i1(0+)- i1 (∞) ］e i2(t)= i2 (∞)+［ i2(0+)- i2 (∞) ］e
t>1.5s时的电路
0<t<1.5s时的电路

t
= iL(0+)e


t

t
= 3e-2t(A)

t≥0 t≥0 t≥0
uL(t)= uL (∞)+［uL(0+)- uL (∞) ］e
t
=uL(0+)e
t
= -6e-2t(A) t≥0

t
= i1(0+)e = i2(0+)e

t
= 2e-2t(A) =-e-2t(A)


2 uc ( 0 ) u1x(0+) = 22
=-2 V
uC(0+)置零(短路)， 可求得
uCf(0+)=0
is u1 f (0 ) 4V 1 1 1 3 6 2
（2）求稳态值 当电路达到稳态时，电容可看做
开路。 稳态等效电路如图3.5 -6(d)所
示。设 uC和 u1的零输入响应和零状态 响应的稳态值分别为uCX (∞)、 uCf (∞)
2
0.667 0
0.5 t
t
uC 0.667 ( 2 0.667)e 0.667 1.33e 0.5 t
t0
例2 k(t=0)
i 1 1 2 15V iL 3H
求 i (t )
t≥0
解： 三要素法
①
15 2 iL (0 ) i (0 ) 6( A) 5 3 3
③τ ：
RC LG
f (t ) f (0 ) f () f (0 )(1 e ) t f () f (0 ) f ()e
t
若激励为正弦函数， f (t ) f ' (t ) f (0 ) f ' (0 ) e
当t≥1.5s时，开关闭合于“3”，如图
uC (1.5-) =8-12e-1.5=5.32 u1 (1.5+) =0
uC (1.5+) = uC (1.5-) =5.32 V
显然，各电压稳态值均为零。
t=1.5+s等效电路
由图可见，从电容两端看去的等效电 阻为2Ω， 所以τ=RC=0.5s。
于是按三要素得t≥1.5s的电路响应为 uC (t)=5.32e2(t 1.5 ) (V) u1(t)=0 t≥1.5s t≥1.5s t>1.5s时的电路
t


f’(t) 是特解，是时间的正弦函数。 f(0+)与τ的含义与前相同。
t=0+时稳态响应的初始值。
例1
1A
已知： t=0时合上开关
2 + 3F-
uC
1
求 换路后的uC(t) 。 uc (V)
解 uC (0 ) uC (0 ) 2V 2 R等 C 3 2 s 3 2 uC ( ) 1 0.667V 21
路已达到稳定状态。 在t=0时，开关由“1”闭合到“2”。 求t ≥ 0时的电感电流 iL、 电感电压uL以及i1和i2 。 解： （1）求初始值。 为此 要先求得iL(0-)。 在t＝０-的瞬 间， 开关 S 尚位于“１”，由 于这时已处于稳态， 故有 diL/dt =0， 即uL =0，电感 可用短路替代，于是得 t=0- 的 等效电路如图 3.5 -3(d) 所示。 由图(d)不难求得iL(0-) =9/3=3A。
（1）求初始值。在 t=0-时， 开关位于“ 1”，由于电路已达到 稳态，电容可看作是开路，不难 求得， uC (0+)= uC (0-) = - 4V。 为了区分零输入响应与零状态响应， 设 uC 和 u1 的零输入响应的初始值分 别为 uCx(0+) 和 u1x(0+) ，其零状态响 应的初始值分别为uCf(0+)和u1f(0+) 。 iS置零(开路)，可求得 uCx(0+) = uC(0+) =-4 V
t 0
= 8(1 e t ) = 8 4e t t0 t 0
t/ = 4et ucx(t)= ucx(0+)e t/ = 2et u1x(t)= u1x(0+)e ucf(t)= ucf(∞ ) +[ucf(0+) ucf(∞)] e u1f(t)= u1f(∞ ) +[u1f(0+) u1f(∞)] e

例 3.5 –2 如图3.5 -5的电路，当t<0时，开关S位于“1”， 已达到稳定状态。 (1) 如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，求t≥0时电压uC 和u1的零输入响应、零状态响应以及全响应； (2) 如在 t=0 时，开关 S 由“ 1” 闭合到“ 2” ，经过 1.5s 后， 开关又由“2”闭合到“3”，求t≥0时的电压uC和u1 。 (1) 由图3.5 -5可见， t≥0的电路如图3.5 - 6(a) 所示。 S 闭合到“2”后， 即
i (A) 5 2
i(0.2 ) 2 2e 50.2 1.26
i (0.2 ) 1.26 2 0.5 i ( ) 5 A
i (t ) 5 3.74e 2( t 0.2) A
1.26 0.2 t(s)
例 3.5 -1如图3.5 -3(a)的电路， 在t<0时，开关S位于“1”， 电
i2 (0 )
R iL (0 ) 1A R1 R2
（ 2 ）求稳态值。 当电路达 到稳态值时，diL/dt =0， 即uL=0。 在t≥0的电路(图(b))中， 电感用短 路线替代， 这样就得到稳态值等 效电路， 如图3.5 -3(f )所示。 显 然，各变量的稳态值均为零。 即 iL(∞)=0