人教版A版高中数学高二版选修2-1 3.2《运用向量法求解立体几何探索性问题》素材

运用向量法求解立体几何探索性问题 立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型．向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性．运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了．下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用．

一、条件探索型

所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件． 例1 如图1，棱长为１的正方体1111ABCD A B C D -，E 是BC 的中

点，F 是棱CD 上的动点（非C 、D 两点），设二面角1C EF C --的大

小为θ．试确定F 点的位置，使得1cos 3

θ=． 解析：以A 为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，

则111(001)(111)102A C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，．设(10)(01)F x x <<，，，

易知111011022C E EF x ⎛

⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

，，，，． 设()a b c =，，v 是平面1C EF 的一个法向量，

则11021(1)02

C E b c EF x a b ⎧=--=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，，v v 令1c =，则1211x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭

，，v ． 又1(0

01)AA =，，是平面AC 的一个法向量， ∴1

121cos 151AA AA AA x ==⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，v v v ．

结合条件知可取1cos cos AA θ=，

v ， 故213151x =⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，解得12x =或32

x =（舍）．

故当F 是CD 的中点时，1cos 3θ=． 二、存在型

所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．

例2 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M

是BC 的中点．在直线1CC 上是否存在一点Ｎ，使得1MN AB ⊥？若

存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由．

解：假设在直线1CC 上存在一点Ｎ，使得1MN AB ⊥．

如图2，建立空间直角坐标系，

有1313331(000)00(01)2242A B M N z B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，，，，，，，，，，，，，，， ∴131312224AB MN z ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，，，． ∵1AB MN ⊥，

∴13131312202488AB MN z z ⎛⎫⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，，， 解得18z =，1018N ⎛⎫ ⎪⎝

⎭，，，即18CN =时，1AB MN ⊥．