第五章 多组分反应流体守恒方程

A
的净生成率。组分质量守恒的更一般
85
的一维形式为：
dm& i'' dx
= m& i'''
i = 1,2,..., N
组分 i 的质量守恒方程的一般矢量形式为：
∂(ρYi ) ∂t
+ ∇ ⋅ m& i''
=
m& i'''
i = 1,2,..., N
（5-8） （5-9）
质量通量 m& i'' 可以用组分 i 的质量平均速度 vi 表示： m& i'' = ρYivi
∑ Q& '' = −λ∇T +
m& '' i , diff
hi
（5-24）
对于一维情况，热流通量可以表示为：
∑ Q& x''
=
−λ
dT dx
+
ρYi (vi − u)hi
∑ 由于 m& i'' = ρvixYi , ρvx = m& '' ,
Yi hi = h ，所以式（5-25）可以写成：
（5-25）
的质量分数加起来就是 f ：
89
f
=
YC2 H 6
2WM C MWC2H6
+
YCO
WM C MWCO
+
YCO2
WM C MWCO2
+
YC2 H 6
3WM H2 MWC2H6
+
YH2
+
YH2O
WM H2 MWH2O
+
YOH
0.5WM H2 MWOH
其中各组分质量分数的加权因子为
C
和
H
在组分中的质量分数，将质量分数
用 f 代替YF + YPr /(1 +ν ) 就得到混合物分数 f 的守恒方程。
m& " df − d (ρD df ) = 0 dx dx dx
（5-37）
混合物分数 f 在求解扩散火焰时特别有用。因为在求解组分守恒方程时，只要求求解
无源的混合物分数 f 的守恒方程，求出 f 后，就可以利用 f 与燃料、氧化剂及燃烧产物关系
2． 混合物分数
假设流量为 1 公斤/秒的混合物由两种成分混合而成，燃料的流量为 f 公斤/秒，空气的
流量为（1-f）公斤/秒。定义混合物分数 f 为燃料中所含元素的质量除以混合物的质量。于
是混合物分数 f 可以用流动中任一点的燃料、氧化剂和燃烧产物的质量分数来表示：
f
= YF
+
ν
1 +
1 YPr
下面将证明 f 是守恒量。
[ ] ∂(ρYi ) + ∇ ⋅ ∂t
ρYi (u + vi,diff )
= m& i'''
i = 1,2,..., N
代入质量输运的费克扩散定律（4-6），
∂(ρYi ∂t
)
+
∇ ⋅ (ρuYi
−
D∇Yi )
=
m& i'''
（5-15） （5-16）
三、动量守恒方程
控制体内动量的变化率等于作用在控制体的表面力和体积力之和。对于一维直角坐标 系，当忽略粘性力和体积力时，只有由于作用在控制体上的压力，动量守恒方程就会变得十
=
m&
''
⎡ ⎢(h
+
⎣
u2 2
) x+Δx
− (h +
u2 2
⎤ )x ⎥
⎦
上式除以 Δx ，并取极限 Δx → 0 ，得
− dQ& x'' = m& '' ( dh + u du )
dx
dx dx
（5-22） （5-23）
热流通量包括热传导产生的热通量和由于组分扩散引起的附加焓通量，如果不考虑热 辐射，热流通量的一般矢量表达形式如下：
式（5-1），得
d (ρAΔx) dt
=
[ρuA]x
− [ρuA]x+Δx
上式除以 AΔx ，并取极限 Δx → 0 ，得
对于定常流， ∂ρ =0，于是 ∂t
或
∂ρ = − ∂(ρu)
∂t
∂x
d (ρu) = 0 dx
ρu = cons tan t
混合物质量守恒方程更通用的形式可以表示为：
∂ρ + ∇ ⋅ (ρvr) = 0 ∂t
(5-30)
2） 各组分的传输特性相同，但可随空间位置而变化；
3） 各组分比热相等。
由式（5-30）可知燃料、氧化剂以及燃烧产物的化学反应生成率存在以下关系：
m& F''' = m& o'''x /ν = −m& P'''r /(1 +ν )
（5-31）
式中 m& P'''r 是燃烧产物的化学反应生成率。
86
分简单。对于定常流，它可以表示为：
∑ F = m& uout − m& uin
对于一维流动，
[PA]x [ ] − PA x+Δx = [ ] m& ( u x+Δx − [u]x )
上式除以 AΔx ，并取极限 Δx → 0 ，得
− dP = m& '' du
dx
dx
或
−
dP dx
=
ρvx
du dx
+ χ H2O
+
1 2
χOH )MWH2
MWmix
其中
MWmix = ∑ χ i MWi
=
χ MW C2H6
C2H6
+
χ CO MWCO
+
χ CO2 MWCO2
+
χ H2 MW H2
+
χ H2O MW H2O
+ χ N2 MW N2 + χ O2 MWO2 + χ OH MWOH
虽然在概念上混合物分数很简单，但是用实验确定 f 需要测定混合物的组分，非常麻
(Q& x''
− Q& x''+Δx ) A − W&cv
=
m&
''
⎡ A⎢(h
+
⎣
u2 2
+
gz) x+Δx
− (h +
u2 2
+
⎤ gz) x ⎥
⎦
（5-21）
对于定常流动，能量随时间的变化率等于零，假设系统对外界不做功，控制体进出口势 能无变化，方程（5-21）变成
(Q& x''
− Q& x''+Δx )
（5-10）
混合物的质量通量 m& '' 可用下式表示：
∑ ∑ m& i'' = ρYivi = m& ''
（5-11）
由于 m& '' = ρV ，所以质量平均速度V 为：
∑ V = Yivi
（5-12）
扩散速度等于组分速度与质量平均速度之差，即 vi,diff = vi − u ，于是扩散通量可以表
+
hi
dm& i'' dx
将式（5-28）和式（5-8）代入式（5-27），得
（5-27）
∑ ∑ m& i''
dhi dx
+
d (−k dx
dT dx
) + m& ''u
du dx
=−hi源自m&''' i
（5-28）
因为
T
∫ hi
(T
)
=
h0 f ,i
(Tref
)
+
Δhs,i
(Tref
)
=
h0 f ,i
3． 守恒量
对于燃料、氧化剂以及燃烧产物，可以用式（5-7）分别写出它们的质量守恒方程如下：
m& "
dYF dx
−
d (ρD dYF dx dx
) = m& F'''
（5-32）
88
m& " dYOX dx
−
d dx
(ρD
dYOX dx
)
=
m& O'''X
及
m& " dYPr dx
−
d (ρD dYPr dx dx
当考虑粘性力影响时，则一维动量守恒方程可以写成：
∂(ρu) + ∂(ρuu) − ∂ (μ ∂u ) = − ∂p + ∂ (μ ∂u )
∂t
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
（5-17） （5-18）
（5-19） （5-20）
四、能量守恒方程
根据热力学第一定律，控制体内能量变化率等于获得的外热的总和与对外做功的总和。 一维笛卡尔坐标系下，能量守恒方程可以表示为：
∑ Q& x''
=
−λ
dT dx
+
m& i''hi − m& ''h
将式（5-26）代入式（5-23），得
（5-26）
87
∑ d (
dx
hi m& i'' )
+
d dx
(−k
dT dx
)
+
m& ''u
du dx
=
0
将上式左端第一项展开，
∑ ∑ ∑ d (
dx
hi m& i'' ) =
m& i''
dhi dx
（5-2） （5-3）
（5-4） （5-5） （5-6）
二、组分的质量守恒方程
假设组分的扩散是由于浓度梯度引起的，混合物仅由两种组分组成。对于定常流，组
分的质量守恒方程可以写成：
d dx
(m& i''YA
−
ρDAB
dYA dx
)
=
m&
''' A
（5-7）
式中
m& i''
是质量通量，
m&
''' A
是与化学反应有关的组分
解：由混合物分数的原始定义，我们先用各组分的质量分数来表示 f ：
f
=
燃料中所含元素质量 混合物的质量
= [mC
] + mH mix
mmix
假设燃料仅含有碳和氢元素，空气仅由 O2 和 N2 组成。在燃气中，碳元素存在于组分
C2H6 , CO, CO2 中，氢元素存在于 C2H6 , H2 , H2O 和 OH 之中，将各组分中的碳和氢元素
第五章 多组分反应流体守恒方程
燃烧现象包含流体流动、传热、传质和化学反应以及它们之间的相互作用。燃烧过程是 一种综合的物理化学过程。本章我们将介绍控制燃烧过程的基本方程组：混合物质量守恒方 程、组分质量守恒方程、动量守恒方程以及能量守恒方程。着重介绍以后各章需要用到的多 组分反应流体一维和二维流动的守恒方程组，以便为分析各类火焰现象奠定基础。在附录 G 比较详细地推导了多组分反应流体多维流动的守恒方程和 Shvab-Zeldovich 变换公式，供读 者参考。
分数 f ，从而证明它是守恒量。
依同理，式（5-32）—式（5-33）/ν ，可得
m& "
d (YF
− YOX dx
/ν )
−
d dx
⎢⎣⎡ρD
d dx
(YF
+ YOX
/ν )⎥⎦⎤
=
0
（5-36）
方程（5-36）是无源项的方程，因此YF − YOX /ν 也是守恒量。由此可见守恒量有许多不
同形式，如混合物中惰性组分的质量分数等。
)
=
m& P'''r
式（5-32）+式（5-34）/（1+ν ），可得
m& "
d (YF
+ YPr /(1 +ν )) dx
−
d dx
⎢⎣⎡ρD
d dx
(YF
+ YPr
/(1+ν ))⎥⎦⎤
=
0
（5-33） （5-34） （5-35）
不难看出，方程（5-35）是无源项的方程，其中所对应的量YF + YPr /(1 +ν ) 就是混合物
解： N2 的摩尔分数为
∑ χ N2 = 1 − χi
= 1 − 0.0989 − 0.1488 − 0.0185 − (949 + 315 + 1350) ⋅10−6
= 0.7312
混合物的分子量为：
∑ MWmix = χi MWi = 28.16kgmix / kmolmix
料和氧化剂消失，产生二氧化碳和水蒸气，燃气温度升高并发出热量。人们为了能对燃烧现
象进行计算，绕过复杂的化学反应机理，提出一种易于理解、易于使用的燃烧模型，即简单
化学反应系统。该模型假设：
1） 燃料和氧化剂以化学恰当比进行单步不可逆反应，生成单一的燃烧产物；
1 公斤燃料+ν公斤氧化剂→（1+ν）公斤产物
示为：
m& '' i ,diff
= ρYi (vi
− u) = ρYi vi,diff
（5-13）
组分总的质量通量等于对流通量和扩散通量之和，即
m& i''
=
m& ''Yi
+
m& '' i ,diff
或
（5-14）
ρYivi = ρYiu + ρYivi,diff
将组分扩散速度 vi,diff 和质量分数Yi 代入式（5-9），得：
§5-1 多组分反应流体一维流动的守恒方程
一、混合物质量守恒方程
设一长度为△x, 截面积为 A 的一维控制体。控制体内混合物质量变化率等于从控制体
流出和流入的净流量。
dmcv dt
= [m& ]x
[ ] − m& x+Δx
（5-1）
式中控制体内混合物质量 mcv = ρVcv ，控制体体积Vcv = AΔx ，质量流量 m& = ρuA ，代入
(Tref
)
+
c p dT
=
h
0 f
,i
(Tref
) + cpT
，代入上式得：
Tref