特征值与特征向量(高等代数课件)
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② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
Q (k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
j1
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 L krr ,
（其中， k1, k2 ,L , kr P 不全为零）
就是 的属于 0 的全部特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下
的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是
§7.4 特征值与特征向量
以上分析说明：
若0是 的特征值，则 0E A 0.
反之，若 0 P 满足 0E A 0,
则齐次线性方程组 (0E A)X 0 有非零解.
若
( x01, x02 ,L
, x0n )是
( E 0
A) X
0
一个非零解，
则向量 x L x
§7.4 特征值与特征向量
注：① 由定理6线性变换 的特征值与基的选择无关.
因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换 的特征 多项式；而线性变换 的特征值与特征向量有时也说
成是矩阵A的特征值与特征向量.
② 有相同特征多项式的矩阵未必相似.
如
A
1 0
0 1
,B
11 01
0
解得它的一个基础解系为： (1,1,1)
因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为
k33 , (k3 P, k3 0 )
§7.4 特征值与特征向量
三、特征子空间
定义：设 为n维线性空间V的线性变换，0 为
的一个特征值，令 V0为 的属于0 的全部特征向量
a 2n
fA( )
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式.
（ fA( )是数域P上的一个n次多项式）
§7.4 特征值与特征向量
注：① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵，
而0是 的一个特征值，则0是特征多项式 fA( ) 的根，即 f A(0 ) 0.
定义：设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 ,
使得
( ) 0 ,
则称 0为 的一个特征值，称 为 的属于特征值
0 的特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
注：① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 (0 0)或相反 (0 0). 0 0 时 , ( ) 0.
则 ( )在基
1, 2 ,L
, n下的坐标为
x01 A M,
x0n
§7.4 特征值与特征向量
x01
而0
的坐标是
0
M, x0n
又 ( ) 0
x01 x01
于是 A M M ,
x0n 0 x0n
11
22
nn
证: 设 B( )是 E A 的伴随矩阵，则
零矩阵
B( )( E A) E A E f ( )E 又B( )的元素是 E A 的各个代数余子式，它们
都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.
因此，B( ) 可写成
§7.4 特征值与特征向量
B( ) n1B0 n2B1 L Bn2 Bn1
11
22
nn
由多项式根与系数的关系还可得
①
A的全体特征值的和＝
a 11
a 22
L
a nn
.
② A的全体特征值的积＝ A .
§7.4 特征值与特征向量
称之为A的迹, 记作trA.
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式.
证:设 A : B, 则存在可逆矩阵X，使得 B X 1AX
于是， E B E X 1AX X 1EX X 1AX X 1( E A)X X 1 E A X E A
以An , An1,L , A, E 依次右乘③的第一式、第二式、
…、第n式、第n＋1式，得
B0 An An B1 An1 B0 An a1 An1 B2 An2 B1 An1 a2 An2
LLLLLL Bn1 A Bn2 A2 an1 A
零变换
§7.4 特征值与特征向量
1 0 2
例3. 设
A
0 0
L (Bn1 Bn2 A) Bn1 A
②
比较①、②两式，得
§7.4 特征值与特征向量
B0 E
B1 B0 A a1E
B2 B1 LLL Bn1 Bn Bn1
A a2E LLL 2 A an1 A anE
E
③
2 2
1 2
2 1
,
求 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
故 的特征值为： 1 1（二重）, 2 5
§7.4 特征值与特征向量
把 1 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
④
§7.4
特征B值n与1特A征向a量n E
把④的n＋1个式子加起来，即得
0 An a An1 a An2 L a A a E
1
2
n1
n
f ( A) 0.
4. 设 为有限维线性空间V的线性变换，f ( )是
的特征多项式，则 f ( ) 0.
V0 , k V0
§7.4 特征值与特征向量
注：
若 在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则
dimV0 n 秩(0E A)
即特征子空间 V0的维数等于齐次线性方程组
(0E A)X 0
(*)
的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于0 的
全部线性无关的特征向量就是 V0的一组基.
§7.4 特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 dimV n, 1, 2,L , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1, 2 ,L
, n 下的坐标记为
x01 M, x0n
Baidu Nhomakorabea
它们的特征多项式都是 ( 1)2，但A、B不相似.
§7.4 特征值与特征向量
3. 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
设 A Pnn , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则
f ( A) An (a a L a )An1 L (1)n A E 0.
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.4 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质
其中，B0 , B1,L , Bn1 都是 n n 的数字矩阵.
再设 f ( ) n a n1 L a a
1
n1
n
则， f ( )E nE a n1E L a E a E ①
1
n1
n
而
B( )( E A) nB0 n1(B1 B0 A) n2(B2 B1A)
§7.4 特征值与特征向量
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵?
§7.4 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量
§7.4 特征值与特征向量
四、特征多项式的有关性质
1. 设 A aij Pnn , 则A的特征多项式
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21 ...
a ... 22 ...
a 2n
a a ... a
n1
n2
nn
n (a a L a ) n1 L (1)n A
i) 在V中任取一组基 1 , 2 ,L , n ,写出 在这组基下
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们 就是 的全部特征值.
iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A)X 0
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值
的全部线性无关的特征向量在基
反之，若0 是A的特征多项式的根，则0 就是
的一个特征值. （所以，特征值也称特征根.） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,
而相应的线性方程组 ( E A)X 0 的非零解也就
称为A的属于这个特征值的特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
而属于1 的全部特征向量为
k11 k22 , (k1, k2 P 不全为零 )
§7.4 特征值与特征向量
把 5 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
4x 2x 2x
1
2
3
2x 4x 2x
1
2
3
0 0
2
x 1
2x 2
4x 3
再添上零向量所成的集合，即 V0
0
则 V0是V的一个子空间, 称之为 的一个特征子空间.
Q ( ) ( ) ( ) 0 0 0( ) (k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
2 2
x 1
x 1
2x 2
2x 2
2x 3
2x 3
0 0
2
x 1
2x 2
2x 3
0
即
x x x 0
1
2
3
它的一个基础解系为：(1,0,1), (0,1,1)
因此，属于1 的两个线性无关的特征向量为
1 1 3, 2 2 3
, ,L 12
,下n 的坐标.)
§7.4 特征值与特征向量
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11,c12 ,L ,c1n ),(c21, c22 ,L , c2n ),L ,(cr1, cr2 ,L , crn )
n
则 i cij j , i 1, 2,L , r
01 1
0n n
就是 的属于 0的一个
特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
1. 特征多项式的定义
设 A Pnn , 是一个文字，矩阵 E A 称为
A的特征矩阵，它的行列式
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21 ...
a ... 22 ...
x01
从而 ( E A) M 0.
0
x0n
x01
即
M x0n
是线性方程组
(0 E
A) X
0
的解，
x01
又
Q 0,
M x0n
0,
∴
(0 E
A) X
0 有非零解.
所以它的系数行列式 0E A 0.
E kE ( k)n .
故数乘法变换K的特征值只有数k，且
对 V ( 0), 皆有 K ( ) k .
所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
1 2 2
A
Q (k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
j1
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 L krr ,
（其中， k1, k2 ,L , kr P 不全为零）
就是 的属于 0 的全部特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下
的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是
§7.4 特征值与特征向量
以上分析说明：
若0是 的特征值，则 0E A 0.
反之，若 0 P 满足 0E A 0,
则齐次线性方程组 (0E A)X 0 有非零解.
若
( x01, x02 ,L
, x0n )是
( E 0
A) X
0
一个非零解，
则向量 x L x
§7.4 特征值与特征向量
注：① 由定理6线性变换 的特征值与基的选择无关.
因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换 的特征 多项式；而线性变换 的特征值与特征向量有时也说
成是矩阵A的特征值与特征向量.
② 有相同特征多项式的矩阵未必相似.
如
A
1 0
0 1
,B
11 01
0
解得它的一个基础解系为： (1,1,1)
因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为
k33 , (k3 P, k3 0 )
§7.4 特征值与特征向量
三、特征子空间
定义：设 为n维线性空间V的线性变换，0 为
的一个特征值，令 V0为 的属于0 的全部特征向量
a 2n
fA( )
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式.
（ fA( )是数域P上的一个n次多项式）
§7.4 特征值与特征向量
注：① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵，
而0是 的一个特征值，则0是特征多项式 fA( ) 的根，即 f A(0 ) 0.
定义：设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 ,
使得
( ) 0 ,
则称 0为 的一个特征值，称 为 的属于特征值
0 的特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
注：① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 (0 0)或相反 (0 0). 0 0 时 , ( ) 0.
则 ( )在基
1, 2 ,L
, n下的坐标为
x01 A M,
x0n
§7.4 特征值与特征向量
x01
而0
的坐标是
0
M, x0n
又 ( ) 0
x01 x01
于是 A M M ,
x0n 0 x0n
11
22
nn
证: 设 B( )是 E A 的伴随矩阵，则
零矩阵
B( )( E A) E A E f ( )E 又B( )的元素是 E A 的各个代数余子式，它们
都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.
因此，B( ) 可写成
§7.4 特征值与特征向量
B( ) n1B0 n2B1 L Bn2 Bn1
11
22
nn
由多项式根与系数的关系还可得
①
A的全体特征值的和＝
a 11
a 22
L
a nn
.
② A的全体特征值的积＝ A .
§7.4 特征值与特征向量
称之为A的迹, 记作trA.
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式.
证:设 A : B, 则存在可逆矩阵X，使得 B X 1AX
于是， E B E X 1AX X 1EX X 1AX X 1( E A)X X 1 E A X E A
以An , An1,L , A, E 依次右乘③的第一式、第二式、
…、第n式、第n＋1式，得
B0 An An B1 An1 B0 An a1 An1 B2 An2 B1 An1 a2 An2
LLLLLL Bn1 A Bn2 A2 an1 A
零变换
§7.4 特征值与特征向量
1 0 2
例3. 设
A
0 0
L (Bn1 Bn2 A) Bn1 A
②
比较①、②两式，得
§7.4 特征值与特征向量
B0 E
B1 B0 A a1E
B2 B1 LLL Bn1 Bn Bn1
A a2E LLL 2 A an1 A anE
E
③
2 2
1 2
2 1
,
求 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
故 的特征值为： 1 1（二重）, 2 5
§7.4 特征值与特征向量
把 1 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
④
§7.4
特征B值n与1特A征向a量n E
把④的n＋1个式子加起来，即得
0 An a An1 a An2 L a A a E
1
2
n1
n
f ( A) 0.
4. 设 为有限维线性空间V的线性变换，f ( )是
的特征多项式，则 f ( ) 0.
V0 , k V0
§7.4 特征值与特征向量
注：
若 在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则
dimV0 n 秩(0E A)
即特征子空间 V0的维数等于齐次线性方程组
(0E A)X 0
(*)
的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于0 的
全部线性无关的特征向量就是 V0的一组基.
§7.4 特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 dimV n, 1, 2,L , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1, 2 ,L
, n 下的坐标记为
x01 M, x0n
Baidu Nhomakorabea
它们的特征多项式都是 ( 1)2，但A、B不相似.
§7.4 特征值与特征向量
3. 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
设 A Pnn , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则
f ( A) An (a a L a )An1 L (1)n A E 0.
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.4 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质
其中，B0 , B1,L , Bn1 都是 n n 的数字矩阵.
再设 f ( ) n a n1 L a a
1
n1
n
则， f ( )E nE a n1E L a E a E ①
1
n1
n
而
B( )( E A) nB0 n1(B1 B0 A) n2(B2 B1A)
§7.4 特征值与特征向量
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵?
§7.4 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量
§7.4 特征值与特征向量
四、特征多项式的有关性质
1. 设 A aij Pnn , 则A的特征多项式
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21 ...
a ... 22 ...
a 2n
a a ... a
n1
n2
nn
n (a a L a ) n1 L (1)n A
i) 在V中任取一组基 1 , 2 ,L , n ,写出 在这组基下
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们 就是 的全部特征值.
iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A)X 0
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值
的全部线性无关的特征向量在基
反之，若0 是A的特征多项式的根，则0 就是
的一个特征值. （所以，特征值也称特征根.） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,
而相应的线性方程组 ( E A)X 0 的非零解也就
称为A的属于这个特征值的特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
而属于1 的全部特征向量为
k11 k22 , (k1, k2 P 不全为零 )
§7.4 特征值与特征向量
把 5 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
4x 2x 2x
1
2
3
2x 4x 2x
1
2
3
0 0
2
x 1
2x 2
4x 3
再添上零向量所成的集合，即 V0
0
则 V0是V的一个子空间, 称之为 的一个特征子空间.
Q ( ) ( ) ( ) 0 0 0( ) (k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
2 2
x 1
x 1
2x 2
2x 2
2x 3
2x 3
0 0
2
x 1
2x 2
2x 3
0
即
x x x 0
1
2
3
它的一个基础解系为：(1,0,1), (0,1,1)
因此，属于1 的两个线性无关的特征向量为
1 1 3, 2 2 3
, ,L 12
,下n 的坐标.)
§7.4 特征值与特征向量
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11,c12 ,L ,c1n ),(c21, c22 ,L , c2n ),L ,(cr1, cr2 ,L , crn )
n
则 i cij j , i 1, 2,L , r
01 1
0n n
就是 的属于 0的一个
特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
1. 特征多项式的定义
设 A Pnn , 是一个文字，矩阵 E A 称为
A的特征矩阵，它的行列式
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21 ...
a ... 22 ...
x01
从而 ( E A) M 0.
0
x0n
x01
即
M x0n
是线性方程组
(0 E
A) X
0
的解，
x01
又
Q 0,
M x0n
0,
∴
(0 E
A) X
0 有非零解.
所以它的系数行列式 0E A 0.
E kE ( k)n .
故数乘法变换K的特征值只有数k，且
对 V ( 0), 皆有 K ( ) k .
所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
1 2 2
A