大学物理第5章刚体转动

M r F
M＝Fr sin q
3、力对转轴的力矩
M o roi Fi roi ( Fiz Fi ) roi Fi z roi Fi roi Fi (riz ri ) Fi riz Fi ri Fi
2 2 0
0 t 2 1 q q 0 0t 2 t
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 (q q 0 )
四
角量与线量的关系
v ret
d d q 2 dt dt
2
dq dt


a
an r
对刚体转动起作用的只有力对 点的力矩在z轴方向的分量
由力对轴上任一点的力矩：
Fiz
Fi
z

d
Oi
ri
O
q
riz
O
roi
Fi
Miz ri Fi
外力对转轴的力矩
外力对转轴的力矩
Fiz
Miz ri Fi
大小
Fi
z

d
M iz ri Fi sin θ
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 q 75π rad 2 2 (π 6)
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
q
6s 时，飞轮的角速度 π 0 t (5π 6)rad s 1 4π rad s 1 6
（质量）、几何形状（质量分布）及转轴的位置 . 转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri m r m r
2
质量连续分布刚体的转动惯量
i
2 11
2 2 2
J mi ri r dm
2 2 i
dm
：质量元
质量连续分布刚体的转动惯量
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
四 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
2
1 圆盘对P 轴 2 2 J P mR mR 的转动惯量 2
P
R O m
右图所示刚体对经 过棒端且与棒垂直 的轴的转动惯量如 何计算？(棒长为L 、圆半径为R）
（2）t
t （3）
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
该点的切向加速度和法向加速度
. s 2 31.6 m. s 2 an r 0.2×(4 π) m
2 2
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6
在 300 s 3 10 2π 2π 450
q
5－2.3 转动定律 转动惯量
一、力矩 1、引入
外力对刚体转动的影响—与力的大小、方向和作用点的位置
有关
•力通过转轴： •力离转轴远： •力离转轴近：
转动状态不改变 容易改变 不易改变
2、力对点的力矩

>0
z

z

<0

d d q 2 dt dt
2

三
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
2
v v0 at
x x0 v0t at
1 2
l 2
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r

圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
Oi
方向：沿与转轴平行的方向 当刚体受多个力作用时， 这些力对同一定轴的力矩 为
ri
O
q
riz
O
roi
M iz
Fi
M z总 Miz ri Fi sin θi ＝
注意，此时用正负号来表示力矩的方向： 与z轴正方向相同时力矩取正，反之取负
刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
第五章
刚体的转动
（Rotation of Rigid Body）
•质点（particle）——考虑质量，没有考虑形状和大小 •刚体（rigid body）——在外力作用下，物体的形状和
大小不发生变化
说明: 1) 理想化的力学模型 2) 任何两点之间的距离保持不变 3) 刚体——特殊的质点系
欧拉（ LonHard Euler ） 瑞士数学家及自然科学家。 欧拉函数φ(n)另成数论的一分支。 １７０７至１７８３年。
O
l 2
O
l 2
r
l
dr O´
dr O´
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
r
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
5－1 刚体转动的描述
（Fixed-axis Rotation of Rigid Body）
一、刚体运动
平动(Translation) 定轴转动 转动 (Rotation) 定点转动 复杂 运动 平面平行运动＝平动+定轴转动 一般运动＝平动+定点转动
刚体运动 的分类
1、平动(Translation)
3、刚体的一般运动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
二、刚体转动的角量描述
1、角位置（角坐标）
angular position
z ω ,α v r P θ r 刚体 O× 定轴
参 考 方 向
θ
约定 沿逆时针方向转动 q r
>0 r 沿逆时针方向转动 q < 0
2、角位移（angular displacement）
J mi ri r dm
2 2 i
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm

dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度

：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
M ij
O
M ji
d
ri
Fji iF
ij
rj
j
Mij M ji
Fi
二
转动定律
z

设刚体可看作n个质点组成， 某处一质元质量为 mi
v
O
Fi Fi mi ai
Oi
ri
mi
在切向:
Fi
Fit Fit mi ait mi ri
例2 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· -1， 因 min 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0. 解 （1） 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 q 0 0 5π π 1 2 rad s rad s t 30 6
对整个刚体所有的质点：
Fi t ri Fitri (mi ri )
2
所有外力对 转轴力矩
所有内力对 转轴力矩
只与刚体 本身有关
Fi t ri Fitri (mi ri )
2
合外力矩
等于零
转动惯量
2
M Fi t ri
J mi ri
－0 10 15 1rad/s 2 t 5
(2) 利用公式
2 2 0 102 152 q q0 62.5rad 2 2 (1) 5秒内转过的圈数
0 10rad/s 0
0 t 0 10 10 s 1
q q0 62.5 N 10圈。 2 2 3.14
q q (t t) q (t)
3、角速度（angular velocity）
q d q lim0 t t dt

方向:
右手螺旋方向
刚体定轴转动（一维转 动）的转动方向可以用 角速度的正负来表示 . 4、角加速度
（angular acceleration）
刚体的概念是由欧拉引入的。18 世纪瑞士学者欧拉把牛顿第二定 律推广到刚体，他应用三个欧拉 角来表示刚体绕定点的角位移， 又定义转动惯量，并导得了刚体 定点转动的运动微分方程。这样 就完整地建立了描述具有六个自 由度的刚体普遍运动方程。对于 刚体来说，内力所做的功之和为 零。因此，刚体动力学就成为研 究一般固体运动的近似理论。
例3 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0，经300s 后，其转速达到 18000r· -1 . 已知转 min 子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转 过多少转？
d ct ，积分 解 由题意，令 ct ，即 dt t 1 2 d c tdt 得 ct 2 0 0
刚体中所有点的运动轨迹完全相同——平动
特点—— （1）任意两点间的连线总是平 行于它们的初始位置间的连线 （2）平动时质元的位置矢量不 同，但位移完全相同 （3）在任意时刻各个质点的速 度和加速度都相同 （4）刚体内任何一个质点的运 动都可以代表整个刚体的运动
2、转动(Rotation)
刚体中所有的点都绕同一直线(转轴)做圆周运动.


当t=300s 时
18000r min1 600π rad s1
所以
2 2 600 π π 3 3 c 2 rad s rad s 2 t 300 75
c 2 t 2 (π 75) rad s 3
1 2 π ct rad s 3t 2 转子的角速度 2 150 dq π rad s 3t 2 由角速度的定义 dt 150 q t π 3 2 得 0 dq 150 rad s 0 t dt π 3 3 有 q rad s t 450
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动
固定转轴：
转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
z ω ,α v r P O θ r 刚体 O× 定轴
参 考 方 向
定轴转动的特点：
•各质点都在垂直于轴的平面内作圆周 运动－－转动平面，各质点的轨迹是半 径大小不一的圆周，圆心在轴线上 •各质点有相同的角位移、角速度和角 加速度，但其线量大小与其作圆周运动 的半径有关 •在同一时间内各质点转过的圆弧长度 不同，但矢径在相同的时间内转过的角 度相同
M J
刚体的定轴转动定律
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩 成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
说明：1)力矩和转动惯量是对同一转轴的
2)转动定律的地位与牛顿第二定律相当
三
转动惯量
J mi ri 2 , J r 2dm
物理意义：转动惯性的量度 . 注意 转动惯量的大小取决于刚体的体密度
et v a
t
at r an r
2
2 a ret r en
例题1、 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速 度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此 5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。 解 根据题意，角加速度为恒量。 (1) 利用公式 (3) 再利用
J L1
1 1 2 2 mL L J o mo R 2 3