图论 第1章 图的基本概念

G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint） 若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的 （edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。 如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为 证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知， 偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。 因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则 且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]
G − v2
边导出子图
边导出子图: 设E ′ ⊆ E (G ) ，以E ′ 为边集，以 E ′中所有边的端点 为顶点集，组成的子图称为G的边导出子图，记 作G[ E ′] 。 从 E (G ) 中删去 E的所有边得到的子图，记作 ′ G − E′ G + E′ ′ 在 E (G ) 上增加一个边集 E所得到的图，记作
若以下条件有一项成立，则H称为G的真子图。
(1) V ( H ) ⊂ V (G ); (2) E ( H ) ⊂
E (G );
(3)H中至少有一条边的重数小于G中对应边重数
子图
生成子图(Spanning graph)，又称支撑子图。 满足 V ( H ) = V (G ), E ( H ) ⊂ E (G ) 的真子图
第一章：图的基本概念
杨帆
江苏科技大学数理学院
第一章：图的基本概念
图的定义与基本术语 同构 途径(way)和道路(path) 图的连通性 图的运算
图的概念
图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶
点的边所构成的图形。
这种图形通常用来描述某些事物之间的某种
特定关系，用顶点代表事物，用边表示相应 两个事物间的某种关系。
图的基本术语(4)
正则图：图的每个顶点的度都相同 每个点的度均为k的正则图，称为k-正则图
0-正则图
1-正则图
2-正则图
3-正则图
握手定理
顶点的度与边的关系： deg(v) = 2 E
v∈V
∑
d (v1 ) = 2, d (v2 ) = 4, d (v3 ) = 3,
d (v4 ) = 3, d (v5 ) = 4
G
c G ≅ G , n ≡ 1(mod 4) 。 设G是简单无向图且
Gc
G
G
Gc
G
链 (walk，chain)
链: 从顶点u到顶点v的一条链是指一个序
ei 的起点终点 列 µ = v0 e1v1e2 v2 ...vk −1ek v，其中 k v0 = u 称为链的 为vi −1及 vi ； k 称作途径的长度； vk = v 称为链的终点。 起点；
G1 = (V, E) V = {v1, v2 , v3 , v4 , v5 } E = {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 } e1 = (v1, v2 ), e2 = (v2 , v3 ), e3 = (v3 , v4 ), e4 = (v2 , v4 ), e5 = (v1, v4 ), e6 = (v4 , v5 ), e7 = (v1, v5 )
链：
v1e3v4 e4 v3e 6 v5e7 v4 v1v4 v3v5v4
简便起见，只用顶点表示为：
链 (chain)
如果 u = v，称该途径是闭的，反之则称为开
的； 链 µ 逆转后得到的链µ ′ = vk ek vk −1...v2 e2 v1e记 1v0 −1 µ 为 ，称为µ 的逆链。 链µ 中一段子序列 vi ei +1vi +1...v j −1e j v j 称为 µ 的 节 (vi , v j )。
图的基本术语(2)
多重图：允许重边，又允许有环的图 简单图：没有环及多重边的图 有向图/无向图： 每条边都规定了方向的图称为有向图，而边没 有方向的图为无向图。 有限图/无限图： 顶点集合和边集合都是有限集合称为有限图， 否则称为无限图。
例题
识，要么都不相识。 证明 构造图。六个人={a, b, c, d, e, f} 边集：两人认识，则代表两人的顶点之间连 一条红边，否则连一条绿边。 考虑某点，不妨设为f，至少有3条边同色 （不妨设为红色）。设这三条同色边为fa， fb，fc。考虑三角形abc。1.abc中含红边 （设为bc），则fbc为一同色三角形；2.abc 不含红边，则abc为一同色三角形（绿色）。
2
补图：设G为简单图，而H是一个以V(G)为顶点
集，且顶点在H中邻接当且仅当它们在G中不 邻接，则称H为G的补图，记作 H = G
G
H
竞赛图
定义：完全图的定向图称为竞赛图。 举例：n=1，n=2， n=3
二部图(bipartite graph)
定义：设 V1 和V2是G的顶点子集， 其中V 1V2 = V (G ),V1 V2 = Φ，且G中每一条边
∑ d (v ) = (2 + 4 + 3 + 3 + 4) = 16
i v
E =8
在任意图G中，度为奇数的顶点个数是偶数
v∈V1
∑ d (v ) + ∑ d (v ) = 2 E
v∈V2
子图
若 V ( H ) ⊆ V (G ), E ( H ) ⊆ E (G ) ，且H中边的重
数不超过G，则H称为G的子图，记作 H ⊆ G
相同的顶点 在并中只能 出现一次
G1
G2
G1 G2
交运算
由G1和G2的公共边组成的图称为G1和G2的 交(cap)，记作 G1 G2
G1
G2
G1 G2
差运算
由G1中去掉G2中的边组成的图称为G1和G2 的差(difference)，记作 G1 − G2
G1
G2
G1 − G2
例题 1.3.2
莱昂哈德·欧拉 在1735年圆满地解决了这个问题，
证明七桥问题无解，同时，欧拉还给出了任意一种 河-桥图能否全部走一次的判定法则，以及怎样快速 找到所要求的路线。这些解析，最后发展成为了数 学中的图论。
图的定义
G = (V , E ) 二元组定义： V 是顶点集，E 是边集 ) E 的元素是一个二元组数对，用( x, y表示， x, y ∈ V
哥尼斯堡七桥问题
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题: 哥尼斯堡市跨越河的两岸，河中心有两个小岛。 小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只 走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的 桥都走遍？
哥尼斯堡七桥问题
在任何顶点出发，必须从一条边进，从另一条边出 一进一出，每个顶点相关联的边必须为偶数。
E (G1 G2 ) = E (G1 ) E (G2 )
图的运算
设G1和G2是两个图，若G1和G2无公共顶点，
则称它们是不相交的(disjoint)；若G1和G2无 公共边，则称它们是边不重的(edge disjoint)。
并运算
设G1和G2是两个无孤立点的图 (1) 由G1和G2中所有边组成的图，称为G1和G2 的并(union)，记作 G1 G2
若链 µ 的边 e1e2 ...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。 若所有顶点v0 v1v2 ...vk 均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。

闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
道路：v1v2 v3v6
道路 (path)
若链 µ 的边 e1e2 ...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。 若所有顶点v0 v1v2 ...vk 均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
点导出子图
点导出子图(induced graph): 设 V ′ ⊆ V (G ) ，以V ′为顶点集，且两端点都在 V ′中 的边的全体为边集所组成的子图，称为由V ′导出 的G的子图，记作 G[V ′]。 ] 导出子图G[V \ V ' 表示从 G中去掉V ′及其关联边的 子图，记作 G − V。 ′ G −V ′ 若 V ′ = {v，则把 简记作G − v，称为主子图。 }
图的基本术语(1)
阶：图G的顶点集合V的大小称为图G的阶 没有任何边的图称为空图，记作Φ。 只有一个顶点的图称为平凡图(trivial graph)。 关联与邻接： 点与点的邻接(adjacent) 点与边的关联(incident) 两个顶点之间有边相连，则两个顶点邻接，并 且通过这条边关联。 重边：连接同一对顶点的边数大于1 环：顶点通过同一条边与自己关联
证明：在任意六人中必存在三人，要么都相
同构
G1和G2的顶点和边都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的标号不同，则 G1和G2是同构的。
同构关系实际是一种等价关系。
完全图
完全图：每对不同的顶点都有边相连 n 阶完全图记作 K n 共有 Cn2 = 1 n(n − 1条边 )

闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
圈： v1v2 v3v4 v1
Hamilton路
定义：包含图中每个顶点的路称为Hamilton
图。 Th1.4.1 每个竞赛图都含有Hamilton有向路。 证明 反证，设P= x1 x2 x3 .........xl 是图的最长路。 且l<n。则存在点 x ∈ V ( D) \ V ( P) ,且x1 x, xxl ∈ E ( D) 可以推出存在 xi −1 x, xxi ∈ E ( D) 。 则找到一条比P还要长的路 x1 x2 .....xi −1 xxi .....xl 矛盾。
Petersen 图
图
习题 1.2.3 pp. 13
证明：下列三个无向图都与Pertersen图同构。
图的基本术语(3)
顶点的度：与该顶点相关联的边的数目 记作 deg(v)，或简记作 d (v)； 度为零的顶点称为孤点； 度为1的顶点称为悬挂点； 对于有向图，有出度和入度之分； 奇顶点和偶顶点； 计算有环的顶点，环边计两次. 图G的最大度: ∆(G ) = max{d (v) | v ∈ V (G )} 图G的最小度： δ (G ) = min{d (v) | v ∈ V (G )}
道路 (path)
若链 µ 的边 e1e2 ...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。 若所有顶点v0 v1v2 ...vk 均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。

闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
链：
v1v4 v3v5v4
道路 (path)
的一个端点在V1 中，另一个端点在V2中，则 称G为二部图，记作G = (V1 ,V2 ; E ) 分划(V1 , V2 )称为图G的二分划。
完全二部图
对于二部图G，如果 V1中的顶点与 V2中的每
个顶点都邻接，则称为完全二部图。 若 V1 = m, V 2 = n ，则完全二部图记作K m ,n 。