张晓峒计量经济学期末复习

24 20 16 12
8 4 0 -4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
5
10
15
20
25
30
第 5 章 异方差
⎡σ 11
"
⎢
Var(u)
=
σ
2
⎢ ⎢
#
σ 22 #%
0⎤
⎥
#
⎥ ⎥
≠σ
2
I
。
递增型异方差。
⎢ ⎣0
"
σ
TT
⎥ ⎦
5.1 异方差来源与后果： 回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。但是不再具有有效性。 5.2 异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、white 检验、Glejser 检验） (1) Goldfeld-Quandt 检验
（3）对数函数模型
5
yt = a + b Ln xt + ut
7
4 3 2 1 0
50 100 150 200 250 300 350 400
6 5 4 3 2 1
50 100 150 200 250 300 350 400
第4章 非线性回归模型的线性化
（4）生长曲线 (logistic) 模型
yt
第2章 一元线性回归模型
2.3 OLS 回归函数的性质
(1) 残差和等于零，∑ uˆt = 0
(2) 估计的回归直线 yˆt = βˆ0 + βˆ1 xt 过（ x , y ）点。 (3) yt 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数， yˆt = y 。
2.4 最小二乘估计量 βˆ0 和 βˆ1 的特性
=
∑ ∑ 1
T
T t =1
(
xt
− μx )2
1 T
T t =1
(
y
t
− μ y )2
∑T t =1
(
xt
−
μx )( yt
−
μy)
∑ ∑ T t =1
( xt
−
μx )2
T t =1
(
yt
−
μy )2
r = ρˆ =
∑ 1
T -1
T t =1
(
xt
−
x)( yt
−
y)
=
∑ ∑ 1
T -1
T t =1
0.2
10 0.0
0
-0.2
-10
-0.4
50 100 150 200 250 300 350 400
50 100 150 200 250 300 350 400
第4章 非线性回归模型的线性化
（6）幂函数模型 yt = axt b eut
b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut
(
xt
−
x)2
1 T -1
T t =1
(
yt
−
y)2
相关系数的取值范围是 [-1，1]。
∑T t =1
( xt
−
x )(
yt
−
y)
∑ ∑ T t =1
(
xt
−
x)2
T t =1
(
yt
−
y)2
第3章 多元线性回归模型
第 3 章 多元线性回归模型 3.1 多元线性回归模型与假定条件
yt = β0 +β1xt1 + β2xt2 +…+ βk-xt k + ut
k
⎥ ⎦
(k
+1)×1
⎢⎣uT
⎥ ⎦T
×1
Y=Xβ +u
第3章 多元线性回归模型
⎡0⎤
假定（1）：E(u) =
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
⎢⎣0⎥⎦
⎡1 0 0⎤ 假定（2）：误差项同方差、非自相关 Var (u) = σ 2 ⎢⎢0 % 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
假定（3）：解释变量与误差项相互独立。E(X 'u) = 0 假定（4）：解释变量之间线性无关。rk(X 'X) = rk(X) = k+1（非多
12000
1600000 1200000
800000 400000
0
25 50 75 100 125 150 175 200
12000
10000
10000
8000
8000
6000
6000
4000
4000
2000
2000
0 25 50 75 100 125 150 175 200
0 25 50 75 100 125 150 175 200
1 (xt − x)2
σ 2 )。 βˆ0 ∼ N (β0,
T
xt 2
σ 2)
(xt − x)2
第2章 一元线性回归模型
∑ 2.6 σ 2 的估计。 σˆ 2 = uˆt 2 T −2
∑ 2.7 拟合优度的测量。R2 =
( yˆ t − y) 2
∑ (yt − y)2
2.8 回归参数的显著性检验
H0：β1 = 0； H1：β1 ≠ 0
OLS 估计原理是以“残差平方和最小”确定直线位置。
T
T
T
∑ ∑ ∑ Q =
uˆt 2 =
( yt − yˆ t ) 2 =
( yt − βˆ0 − βˆ1 xt ) 2 ，
i =1
i =1
i =1
∑∑ βˆ1 =
(xt − x)( yt − y) ， (xt − x)2
βˆ0 = y − βˆ1x
（1）多项式函数模型 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut
2400000 2000000
2400000 2000000
1600000 1200000
800000 400000
0 25 50 75 100 125 150 175 200
yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
F = SSE2 /(n2 − k) = SSE2 SSE1 /(n1 − k) SSE1
判别规则如下，
∼ F(n2 - k, n1 - k)
若 F ≤ Fα (n2 - k, n1 - k), 接受 H0（ut 具有同方差） 若 F > Fα(n2 - k, n1 - k), 拒绝 H0（递增型异方差）
计量经济学（本科）课件
（第13讲）
南开大学数量经济研究所教授 数量经济学专业博士生导师 张晓峒 nkeviews@
讲课进度
08-12-23 08-12-30 09-01-06 09-01-13
单位根检验，期末复习与答疑 上午 9：00∼11：30 答疑。地点：经济学院大楼 710。 上午 9：00∼11：30 答疑。地点：经济学院大楼 710。 考试
重共线性）
假定（5）：解释变量是非随机的，且当 T → ∞ 时，T– 1X 'X → Q （非退化矩阵）。
第3章 多元线性回归模型
3.2 最小二乘法（OLS）。 βˆ = (X 'X)-1 X 'Y
βˆ 的分布： βˆ ∼N(β, σ 2 (X 'X)-1 )。
3.3 最小二乘（OLS）估计量的特性 高斯—马尔可夫定理：若前述假定条件成立，OLS 估计量是 最佳线性无偏估计量。 βˆ 具有无偏性，最小方差特性，一致性。
-tα (T-2)
0
在 H0 成立条件下，
t = βˆ1 − β1
s(βˆ1)
= βˆ1
s(βˆ1)
∼ tα (T-2)
tα (T-2)
若 | t | > tα (T-2) ，则 β1 ≠ 0；若 | t | < tα (T-2) ，则 β1 = 0。
yF 的点预测。 yˆ F = βˆ0 + βˆ1 xF
第5章 异方差
(2) White 检验 做如下辅助回归式，
uˆt 2 = α0 +α1 xt1 +α2 xt2 + α3 xt12 +α4 xt22 + α5 xt1 xt2 + vt
H0：ut 不存在异方差， H1：ut 存在异方差。
在同方差假设条件下，统计量 TR 2 ∼ χ 2(5)
判别规则是
确定 研究对象
收集数据
画变量 散点图
设定，估计，诊断、检验模型， 分析回归参数，预测。
第2章 一元线性回归模型
2.1 一元线性回归模型
yt = β0 + β1 xt + ut 模型分为两部分。（1）回归函数部分，E(yt) = β0 + β1 xt,（2）随机部分 ut 。 对模型解释变量和误差项 ut 做出如下假定。 (1∼4) ut ∼ N (0, σ 2 )。(5) ui 非自相关。(6) xi 是非随机的。 (7) Cov(ui, xi) =0。ui 与 xi 相互独立。 2.2 最小二乘估计（OLS）
均值的，研究方差的） 估计模型，（估计方法包括 OLS，GLS，ML，IV，2SLS） 对估计的模型进行诊断与检验，（判断模型估计结果是否合理。包括 F、t、R2、DW、
BG、White、LR、Wald、LM、JB、Q 等检验。） 确立模型估计结果（在诊断、检验与修正过程中最终确立的结果）。 分析回归系数，解释经济含义，分析变量关系。 预测。
本科《计量经济学》课程期末复习
1．闭卷考试，考试时带计算器。 2．熟知EViews输出结果，但不考计算机操作。 3．重点掌握内容是
（1）单方程回归模型； （2）时间序列模型。
建立计量经济模型的一般步骤：
确定研究对象，寻找影响因素，确定变量。 收集数据（间接收集与直接收集）。 画变量散点图（有助于确定模型具体形式）。 设定模型形式，（线性的，非线性的；一元的，多元的；单方程的，多方程的；研究
t 检验。 H 0：βj = 0, (j = 1, 2, …, k), H 1：βj ≠ 0
t
=
βˆ j s(βˆ j
)
∼
t(T-
k-1)
判别规则：若⏐ t ⏐≤ tα(T- k-1) 接受 H 0；若⏐ t ⏐> tα(T- k-1) 拒绝 H
第4章 非线性回归模型的线性化
可线性化的非线性回归模型类型
⎡ y1 ⎤
⎢ ⎢
y2
⎥ ⎥
⎢#⎥
⎡ 1 x11 " x1 j " x1 k ⎤
=
⎢ ⎢
1
⎢"
x21 "
" "
x2 j "
" "
x2
k
⎥ ⎥
"⎥
⎡β0 ⎤
⎢ ⎢
β1
⎥ ⎥
⎢#⎥
⎡ u1 ⎤
+
⎢⎢ u 2 ⎢#
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
yT
⎥ ⎦T
×1
⎢ ⎢⎣
1
xT1 "
xTj
"
xT
k
⎥ ⎥⎦T
×(k
+1)
⎢⎣β
2.11 相关理论 相关：指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。 完全相关、高度相关（强相关）、弱相关、零相关。按符号分：正相关、负相关、 零相关。 简单线性相关的度量
ρ = Cov(xt , yt ) 。
D(xt ) D( yt )
ρ=
∑ 1
T
T t =1
(
xt
− μ x )( yt
−
μy)
（1）线性特性 （2）无偏性 （3）最小方差性
Gauss-Marcov 定理：若 ut 满足 E(ut) = 0，D(ut) = σ 2，那么用
OLS 法得到的估计量就具有最佳线性无偏性。估计量称最佳线 性无偏估计量。
第2章 一元线性回归模型
分清 4 个式子的关系。
(1) 真实的统计模型，yt = β0 + β1 xt + ut
残差的方差。 s2 =σˆ 2 = uˆ ' uˆ / (T – k-1)
3.4 可决系数（R2）
多重确定系数（多重可决系数），R2 = SSR = Yˆ' Yˆ − Ty 2 SST Y ′Y - Ty 2
有 0 ≤ R 2 ≤ 1。R 2 →1，拟合优度越好。
调整的多重确定系数 R 2 = 1- SSE /(T − k −1) = 1- T − 1 (1 − R 2 )
第4章 非线性回归模型的线性化
（2）双曲线函数模型 1/yt = a + b/xt + ut 或 yt = 1/ (a + b/xt + ut) 双曲线函数还有另一种表达方式， yt = a + b/xt + ut
.8
.6
.4
.2
.0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
=
k
1 + e f (t)+ut
=
k
1+ e a−bt+ut
（5）指数函数模型 yt = aebxt +ut , (b > 0) ; yt = aebxt +ut , (b < 0)
上式等号两侧同取自然对数，得 Lnyt = Lna + b xt + ut
60 1.2
50
1.0
40
0.8
30
0.6
0.4 20
(2) 估计的统计模型， yt = βˆ0 + βˆ1 xt + uˆt
(3) 真实的回归直线，E(yt) = β0 +β1 xt
(4) 估计的回归直线， yˆt = βˆ0 + βˆ1 xt
2.5 yt 的分布和 βˆ1 的分布
yt ∼ N (β0 + β1 xt, σ 2 )
∑ ∑∑ βˆ1 ∼ N (β1,
若 TR 2 ≤ χ2α (5), 接受 H0（ut 具有同方差） 若 TR 2 > χ2α (5), 拒绝 H0（ut 具有异方差）
消除异方差的方法：直接用有关系的解释变量除原模型， 加权最小二乘（WLS）法。
பைடு நூலகம்
SST /(T −1)
T − k −1
第3章 多元线性回归模型
3.5 显著性检验与置信区间
F 检验。H0: β1= β2 = … = βk = 0; H1: βj 不全为零
F = MSR = SSR /(k) ∼ F(k,T-k-1) MSE SSE /(T − k − 1)
检验规则：若 F ≤ Fα (k,T-k-1)，接受 H0；若 F > Fα (k,T-k-1)，拒绝 H0。