基于银行排队问题的数学模型及求解_覃志奎
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24
3.服务机构 服务机构是指服务台的个数。其类型有：单服务台、多 服务台；对银行排队系统来说，一般是属于多服务台并联。 如图 1 示。
4.排队规则 银 行 的 排 队 规 则 是 一 种 “ 先 到 先 服 务 （ First-ComeFirst-Served,即FCFS）”的规则，即先到达的顾客，优先得 到服务。对多台服务窗口的情况，通常顾客到达后总是排在 最短的队列后面，所以我们可以认为每个服务台的队伍是趋 于一样长的，目前，许多银行设立了排队机，这种情况也是 一致的。为了说明问题，我们首先认为银行的排队是一种无 损等待制，即顾客到达后服务窗口无空闲时就进入队列排队， 并没从系统中流失，队列没有无故损失。
行排队问题的数学模型，通过对这个数学模型的求解，分析银行排队问题的解决思路，为银行服务系统提供决策参考。
【关键词】银行；排队问题；顾客；泊松分布；等待时间；服务时间
【中图分类号】F830.33
【文献标识码】A
【文章编号】1008-1151(2008)03-0024-03
（一）引言
随着社会经济的发展，现代金融业已成为社会经济运行 中必不可少的一部分，银行作为金融业的主体，已成为我们 现代生活关系最密切的服务系统，银行业运作的效率越来越 成为我们百姓关注的焦点。但是，目前去银行办事，大家最 头疼的是排队问题。而各家银行为减少排队等候时间也是八 仙过海、招数频出，甚至将顾客等候时间列入银行相关管理 人员的责任考核指标。尽管这样，银行的排队问题依然没有 很好解决。实际上，银行的排队问题蕴涵了丰富的数学、运 筹学、行为学、管理学等学科的知识理论，绝不是看上去的 那么简单。一般地，银行的排队问题是由顾客数量，服务水 平和服务窗口数量等因素综合决定，服务水平可通过银行内 部管理实现，顾客多，要减少排队等候时间就要增加服务窗 口，就要增加投入，而增加窗口有可能出现空闲，又浪费资 源。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡 点，使三者达到最佳的平衡状态。
（二）银行排队问题分析
银行排队问题作为排队系统，其基本结构由输入过程（顾 客流量）、服务时间（业务办理时间）、服务机构（服务窗口 设置）和排队规则等四个部分构成。
1.顾客流量分析 顾客流量是指单位时间内到银行办理业务的顾客数。顾 客到达的方式通常是一个一个到达的，当然也有成批到达的， 但顾客的到达总是有一定的规律。根据概率理论，顾客的到 达规律可以用概率来描述，即顾客的到达或到达时间间隔符 合一定的概率分布，通常假设为相互独立且遵从同一概率分 布的随机变量。常用的分布规律有：泊松分布、爱尔朗分布、 等长分布等。在排队系统中，泊松分布是应用最为广泛的， 服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，当顾客以泊松 分布到达时，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾
长分布、负指数分布和爱尔朗分布。一般来说，简单的排队
系统的服务时间往往服从负指数分布。其分布函数为：
F（t）=1-e -µ t
t≥0
其中 µ＞0 为常数，代表单位时间内的平均服务率。则平
均服务时间可表示为：1/µ 。
【收稿日期】2008-01-13 【作者简介】覃志奎（1970－），男，广西河池人，河池民族中等专业学校讲师，计算网络管理员技师，从事数学、计算机 科学的教学与研究。
（三）建立银行排队问题的数学模型
数学模型就是把实际问题中各因素及其之间的关系用数 学形式表示出来，将银行排队问题建立数学模型就是把排队 问题中的各个变量符号化，并对问题的基本结构模型化。从 前面的分析知，银行的排队问题的基本数学模型可表示为 M|M|C模型。
M|M|C模型表示输入过程（顾客到达）为泊松输入、服务 时间服从负指数分布、共有C个服务窗口的排队系统模型。该 模型的主要数量指标用符号可表示为：
Ls：表示系统中的顾客数，包括排队等候的和正在接受 服务的所有顾客（也称为平均队长）；
Lq：表示系统中排队等候的顾客数（称为平均队列长） Tq：表示顾客在系统中的平均等待时间(即平均排队等待 时间)； Ts ： 表示顾客在系统中的平均逗留时间(包括等待时间 和服务时间)； λ ：表示顾客的平均到达率（称为顾客到达速率）； µ ：表示系统的平均服务率（即服务台的平均服务速 率）； ρ ：表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服 务率µ 之比, 即ρ =λ/µ。 说明： 前四项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小，说 明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然， 它们是顾客与服务部门都很关注的，顾客希望等待时间和队 列长越短越好，当然对服务员来说，服务强度越小越好。
速率λ和平均服务速率µ ，我们就可以计算出系统中顾客的平
均逗留时间和顾客排队的平均等待时间，从而可根据实际情
况设置窗口数量，提高服务质量，做出相应的决策，使银行
服务系统达到最佳的平衡状态。
（五）实际采样数据检验模型并决策银行排队问题
系统模型的检验就是利用实际采样的具体数据对系统进
行模拟，并对模型是否符合实际问题进行分析，明确系统的
5.平均逗留时间为：
Ts
=
Ls λ
= 19 . 4590 0 . 475
= 40 . 9663 ( 分）
可见，该营业厅如果设两个服务窗口，平均约有17人排 队等候，排队等待时间约37分钟，排队问题较为严重!
当C=3时，可得：ρ＝ λ / 3µ =0.475/3*0.25=0.6333<1， 同理可得：
2008 年第 3 期 （总第 103 期）
大众科技 DA ZHONG KE JI
No.3，2008 (Cumulatively No.103)
基于银行排队问题的数学模型及求解
覃志奎
（河池民族中等专业学校，广西 河池 547000）
【摘 要】银行的排队问题是目前各银行系统普遍存在的突出问题，文章利用数学建模的方法，根据排队论的知识建立银
∑ P0
=
⎡ C −1 ⎢ ⎢⎣ k =0
k1!⎜⎜⎝⎛
λ µ
⎟⎟⎠⎞k
+
C1!⎜⎜⎝⎛
λ µ
⎟⎟⎠⎞C
Cµ Cµ −
λ
⎤ −1 ⎥. ⎥⎦
Pn
=
⎧ ⎪ ⎪
1 n!
⎜⎜⎝⎛
λ µ
⎟⎟⎠⎞ n P0 ,
⎨
⎪1
⎪ ⎩
C !C
n−C
⎜⎜⎝⎛
λ µ
n ≤ C, ⎟⎟⎠⎞ n P0 , n > C .
此时，模型的性能指标如下： （1）平均队列长 Lq 为:
(2 * 0.95)2 2!(1− 0.95)2
* 0.95* 0.0256 = 17.5590 ≈ 17(人);
3.总人数为：Ls = Lq + Cρ =17.5590+2*0.95=19.4590
≈19 (人)；
4.排队等待时间为：
Tq
=
L q ＝ 17.5590
λ
0.475
＝ 36 .9663（分）
客的到达无关。
服从泊松分布要求满足4个条件：平稳性、无后效性、普
通性、有限性。即：
①平稳性：在某一时间间隔内到达的顾客数概率只与这
段时间的长度和顾客数有关；
②无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数是相互
独立的；
③普通性：在同时间点上最多到达百度文库1 个顾客，不存在同
时到达 2 个以上顾客的情况；
④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限位顾客，
P =（λT）k e-λT/ k! ，
其中，λT是在时间T内顾客到达的平均顾客数，λ为平
均到达速率。
2.服务时间
银行对顾客是一个一个进行服务的，且对每一个顾客的
服务时间长短不一。将服务时间看作随机变量，那么它们是
相互独立且遵循同一分布的。因此，顾客接受服务的时间规
律往往也是通过概率分布描述的。常见的服务时间分布有定
∑ P0
=
⎡1 ⎢ ⎢⎣ k =0
1 ⎜⎛ k!⎝
0.475 ⎟⎞k 0.25 ⎠
+
1 ⎜⎛ 2!⎝
0.475 ⎟⎞2 0.25 ⎠
2 * 0.25 ⎤ −1
2*
0.25
−
⎥ 0.475⎥⎦
= [1+1.9
+ 36.1]−1
=
0.0256
2.平均排队人数：
Lq
=
(Cρ)C C!(1− ρ)2
ρP0
=
不可能有无限个顾客到达。
可见，在银行的排队问题中，顾客流量可以说是满足泊
松分布条件的，在实际系统模型中，一般都要假设顾客的到
达是服从泊松分布的，实践证明：这种假设是有效的。
泊松分布函数为：
P{X = k} = λk e-λ/ k! (λ为常数， k=0,1,2,… )
即在时间T内有k位顾客到达的概率为：
由以上分析并利用概率统计知识我们得到如下表达式： （1）处在系统中的平均顾客数(平均队长)Ls 为：
∑ Ls
=
∞
nPn
n=1
=
ρ 1− ρ
=
λ µ −λ
（2）处在队列中等待的平均顾客数(平均队列长)Lq
∞
∑ Lq = (n − 1)Pn = Ls − ρ = ρLs n =1
(Ls
=
ρ )
1− ρ
（3）顾客在系统中平均逗留时间 Ts 和在队列中的平均
（四）模型的求解
数学模型求解就是利用数学方法对模型中的各个变量进
行计算，得出模型中重要变量的计算表达式，对模型的定量
研究提供依据。
首先讨论 C＝1 时的情况，此时模型变为 M|M|1，即模型 表示只有一个服务窗口的情况，此时ρ =λ/µ,当ρ <1 时，即 在单位时间内到达的顾客平均数小于被服务完的顾客平均数 时，队长才能避免无限增长而达到平衡。设在任意时刻 t 系 统中有 n 个顾客的概率为 Pn(t)。当系统达到稳定状态 后,Pn(t)趋于稳定状态概率 Pn，此时,Pn 与 t 无关，称系统 处于统计平衡状态，并称 Pn 为统计平衡状态下的稳态概率， 它表示系统在稳定状态下有 n 个顾客的概率，此时 Pn = (1 －ρ )ρ n ，特别地 P0=1－ρ (ρ <1)。
等待时间 Tq 分别为：
Ts
=
µ
1 −λ
=
Ls λ
Tq
= Ts
−
1 µ
=
Lq λ
其次，当 C≥2 时，我们设每个服务窗口的平均服务率相 同，即都是µ，此时整个系统的平均服务率为 Cµ，则服务强 度ρ ＝ λ / Cµ. 当ρ <1 时，系统存在平衡状态，此时稳态 系统任一时刻顾客数为 n 的概率为:Pn=P{N=n}；特别当 n=0 时，Pn 即 P0，P0 表示稳态系统所有服务台全部空闲(因系统中 顾客数为 0)的概率。根据排队理论及概率统计知识，可得：
实用性，从而对实际问题做出定性分析。
我在本地的某银行营业厅进行观察，并采样了数据，得
数据样本如下表：
数据样本 (批次)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
到达人数 （人/10 分钟）
5
8
3
6
243
7
4
4
65
可得该营业厅的平均到达率是：λ＝0.475 （人/分钟）。 通过一段时间的数据采样及统计，计算均值得到该营业 厅的每个窗口的平均服务率是：µ＝15（人/每小时），即µ = 0.25(人/分钟)。 下面我们暂不说该服务厅目前设立的窗口有多少个，我 们根据前面得到的模型进行模拟：分别假设服务窗口为1、2、 3、4个时的排队情况进行计算。 当 C=1 时 ， 即 只 有 开 一 个 窗 口 ， 这 时 ρ ＝ λ / µ =0.475/0.25=1.9>1，可见系统不会平衡，排队的人会越来越 多，排队等候的时间也越来越多，按每天8小时工作制算，会 有108人无法办理业务。 当C=2时，ρ＝ λ / 2µ =0.475/2*0.25=0.95<1，系统存 在稳定状态。此时系统各项指标计算如下(以下数据计算过程 均取小数点后4位有效数字)： 1.服务窗空闲概率为：
可见，设三个服务窗口，排队人数接近1人，等候时间不 到两分钟，不存在长排队现象；设四个服务窗口，减少排队 人数0.6618－0.1360=0.5258(人)，考虑投入成本，开四个服 务窗是不合算的。因此，该银行服务厅开设三个窗是最为合 理的。
P0=0.1278；Lq=0.6618(人)； Ls=2.5618(人)； Tq=1.3933(分); Ts=5.3933(分)。
当C=4时，ρ＝ λ / 4µ =0.475/4*0.25=0.4750<1，同理 可得：
P0=0.1453； Lq=0.1360(人)； Ls=2.0360(人)； Tq=0.2863(分); Ts=4.2863(分)。
∑ Lq
=
∞
(n − C)Pn
n=C+1
=
(Cρ)C C!(1− ρ)2
ρP0 .
（2）平均队长 Ls 为: Ls = Lq + Cρ .
（3）顾客在系统中平均逗留时间 Ts ：T s
=
Ls λ
25
（4）顾客在队列中平均等待时间 Tq ：T q
=
Lq λ
根据以上各表达式知，只要知道系统中顾客的平均到达
3.服务机构 服务机构是指服务台的个数。其类型有：单服务台、多 服务台；对银行排队系统来说，一般是属于多服务台并联。 如图 1 示。
4.排队规则 银 行 的 排 队 规 则 是 一 种 “ 先 到 先 服 务 （ First-ComeFirst-Served,即FCFS）”的规则，即先到达的顾客，优先得 到服务。对多台服务窗口的情况，通常顾客到达后总是排在 最短的队列后面，所以我们可以认为每个服务台的队伍是趋 于一样长的，目前，许多银行设立了排队机，这种情况也是 一致的。为了说明问题，我们首先认为银行的排队是一种无 损等待制，即顾客到达后服务窗口无空闲时就进入队列排队， 并没从系统中流失，队列没有无故损失。
行排队问题的数学模型，通过对这个数学模型的求解，分析银行排队问题的解决思路，为银行服务系统提供决策参考。
【关键词】银行；排队问题；顾客；泊松分布；等待时间；服务时间
【中图分类号】F830.33
【文献标识码】A
【文章编号】1008-1151(2008)03-0024-03
（一）引言
随着社会经济的发展，现代金融业已成为社会经济运行 中必不可少的一部分，银行作为金融业的主体，已成为我们 现代生活关系最密切的服务系统，银行业运作的效率越来越 成为我们百姓关注的焦点。但是，目前去银行办事，大家最 头疼的是排队问题。而各家银行为减少排队等候时间也是八 仙过海、招数频出，甚至将顾客等候时间列入银行相关管理 人员的责任考核指标。尽管这样，银行的排队问题依然没有 很好解决。实际上，银行的排队问题蕴涵了丰富的数学、运 筹学、行为学、管理学等学科的知识理论，绝不是看上去的 那么简单。一般地，银行的排队问题是由顾客数量，服务水 平和服务窗口数量等因素综合决定，服务水平可通过银行内 部管理实现，顾客多，要减少排队等候时间就要增加服务窗 口，就要增加投入，而增加窗口有可能出现空闲，又浪费资 源。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡 点，使三者达到最佳的平衡状态。
（二）银行排队问题分析
银行排队问题作为排队系统，其基本结构由输入过程（顾 客流量）、服务时间（业务办理时间）、服务机构（服务窗口 设置）和排队规则等四个部分构成。
1.顾客流量分析 顾客流量是指单位时间内到银行办理业务的顾客数。顾 客到达的方式通常是一个一个到达的，当然也有成批到达的， 但顾客的到达总是有一定的规律。根据概率理论，顾客的到 达规律可以用概率来描述，即顾客的到达或到达时间间隔符 合一定的概率分布，通常假设为相互独立且遵从同一概率分 布的随机变量。常用的分布规律有：泊松分布、爱尔朗分布、 等长分布等。在排队系统中，泊松分布是应用最为广泛的， 服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，当顾客以泊松 分布到达时，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾
长分布、负指数分布和爱尔朗分布。一般来说，简单的排队
系统的服务时间往往服从负指数分布。其分布函数为：
F（t）=1-e -µ t
t≥0
其中 µ＞0 为常数，代表单位时间内的平均服务率。则平
均服务时间可表示为：1/µ 。
【收稿日期】2008-01-13 【作者简介】覃志奎（1970－），男，广西河池人，河池民族中等专业学校讲师，计算网络管理员技师，从事数学、计算机 科学的教学与研究。
（三）建立银行排队问题的数学模型
数学模型就是把实际问题中各因素及其之间的关系用数 学形式表示出来，将银行排队问题建立数学模型就是把排队 问题中的各个变量符号化，并对问题的基本结构模型化。从 前面的分析知，银行的排队问题的基本数学模型可表示为 M|M|C模型。
M|M|C模型表示输入过程（顾客到达）为泊松输入、服务 时间服从负指数分布、共有C个服务窗口的排队系统模型。该 模型的主要数量指标用符号可表示为：
Ls：表示系统中的顾客数，包括排队等候的和正在接受 服务的所有顾客（也称为平均队长）；
Lq：表示系统中排队等候的顾客数（称为平均队列长） Tq：表示顾客在系统中的平均等待时间(即平均排队等待 时间)； Ts ： 表示顾客在系统中的平均逗留时间(包括等待时间 和服务时间)； λ ：表示顾客的平均到达率（称为顾客到达速率）； µ ：表示系统的平均服务率（即服务台的平均服务速 率）； ρ ：表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服 务率µ 之比, 即ρ =λ/µ。 说明： 前四项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小，说 明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然， 它们是顾客与服务部门都很关注的，顾客希望等待时间和队 列长越短越好，当然对服务员来说，服务强度越小越好。
速率λ和平均服务速率µ ，我们就可以计算出系统中顾客的平
均逗留时间和顾客排队的平均等待时间，从而可根据实际情
况设置窗口数量，提高服务质量，做出相应的决策，使银行
服务系统达到最佳的平衡状态。
（五）实际采样数据检验模型并决策银行排队问题
系统模型的检验就是利用实际采样的具体数据对系统进
行模拟，并对模型是否符合实际问题进行分析，明确系统的
5.平均逗留时间为：
Ts
=
Ls λ
= 19 . 4590 0 . 475
= 40 . 9663 ( 分）
可见，该营业厅如果设两个服务窗口，平均约有17人排 队等候，排队等待时间约37分钟，排队问题较为严重!
当C=3时，可得：ρ＝ λ / 3µ =0.475/3*0.25=0.6333<1， 同理可得：
2008 年第 3 期 （总第 103 期）
大众科技 DA ZHONG KE JI
No.3，2008 (Cumulatively No.103)
基于银行排队问题的数学模型及求解
覃志奎
（河池民族中等专业学校，广西 河池 547000）
【摘 要】银行的排队问题是目前各银行系统普遍存在的突出问题，文章利用数学建模的方法，根据排队论的知识建立银
∑ P0
=
⎡ C −1 ⎢ ⎢⎣ k =0
k1!⎜⎜⎝⎛
λ µ
⎟⎟⎠⎞k
+
C1!⎜⎜⎝⎛
λ µ
⎟⎟⎠⎞C
Cµ Cµ −
λ
⎤ −1 ⎥. ⎥⎦
Pn
=
⎧ ⎪ ⎪
1 n!
⎜⎜⎝⎛
λ µ
⎟⎟⎠⎞ n P0 ,
⎨
⎪1
⎪ ⎩
C !C
n−C
⎜⎜⎝⎛
λ µ
n ≤ C, ⎟⎟⎠⎞ n P0 , n > C .
此时，模型的性能指标如下： （1）平均队列长 Lq 为:
(2 * 0.95)2 2!(1− 0.95)2
* 0.95* 0.0256 = 17.5590 ≈ 17(人);
3.总人数为：Ls = Lq + Cρ =17.5590+2*0.95=19.4590
≈19 (人)；
4.排队等待时间为：
Tq
=
L q ＝ 17.5590
λ
0.475
＝ 36 .9663（分）
客的到达无关。
服从泊松分布要求满足4个条件：平稳性、无后效性、普
通性、有限性。即：
①平稳性：在某一时间间隔内到达的顾客数概率只与这
段时间的长度和顾客数有关；
②无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数是相互
独立的；
③普通性：在同时间点上最多到达百度文库1 个顾客，不存在同
时到达 2 个以上顾客的情况；
④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限位顾客，
P =（λT）k e-λT/ k! ，
其中，λT是在时间T内顾客到达的平均顾客数，λ为平
均到达速率。
2.服务时间
银行对顾客是一个一个进行服务的，且对每一个顾客的
服务时间长短不一。将服务时间看作随机变量，那么它们是
相互独立且遵循同一分布的。因此，顾客接受服务的时间规
律往往也是通过概率分布描述的。常见的服务时间分布有定
∑ P0
=
⎡1 ⎢ ⎢⎣ k =0
1 ⎜⎛ k!⎝
0.475 ⎟⎞k 0.25 ⎠
+
1 ⎜⎛ 2!⎝
0.475 ⎟⎞2 0.25 ⎠
2 * 0.25 ⎤ −1
2*
0.25
−
⎥ 0.475⎥⎦
= [1+1.9
+ 36.1]−1
=
0.0256
2.平均排队人数：
Lq
=
(Cρ)C C!(1− ρ)2
ρP0
=
不可能有无限个顾客到达。
可见，在银行的排队问题中，顾客流量可以说是满足泊
松分布条件的，在实际系统模型中，一般都要假设顾客的到
达是服从泊松分布的，实践证明：这种假设是有效的。
泊松分布函数为：
P{X = k} = λk e-λ/ k! (λ为常数， k=0,1,2,… )
即在时间T内有k位顾客到达的概率为：
由以上分析并利用概率统计知识我们得到如下表达式： （1）处在系统中的平均顾客数(平均队长)Ls 为：
∑ Ls
=
∞
nPn
n=1
=
ρ 1− ρ
=
λ µ −λ
（2）处在队列中等待的平均顾客数(平均队列长)Lq
∞
∑ Lq = (n − 1)Pn = Ls − ρ = ρLs n =1
(Ls
=
ρ )
1− ρ
（3）顾客在系统中平均逗留时间 Ts 和在队列中的平均
（四）模型的求解
数学模型求解就是利用数学方法对模型中的各个变量进
行计算，得出模型中重要变量的计算表达式，对模型的定量
研究提供依据。
首先讨论 C＝1 时的情况，此时模型变为 M|M|1，即模型 表示只有一个服务窗口的情况，此时ρ =λ/µ,当ρ <1 时，即 在单位时间内到达的顾客平均数小于被服务完的顾客平均数 时，队长才能避免无限增长而达到平衡。设在任意时刻 t 系 统中有 n 个顾客的概率为 Pn(t)。当系统达到稳定状态 后,Pn(t)趋于稳定状态概率 Pn，此时,Pn 与 t 无关，称系统 处于统计平衡状态，并称 Pn 为统计平衡状态下的稳态概率， 它表示系统在稳定状态下有 n 个顾客的概率，此时 Pn = (1 －ρ )ρ n ，特别地 P0=1－ρ (ρ <1)。
等待时间 Tq 分别为：
Ts
=
µ
1 −λ
=
Ls λ
Tq
= Ts
−
1 µ
=
Lq λ
其次，当 C≥2 时，我们设每个服务窗口的平均服务率相 同，即都是µ，此时整个系统的平均服务率为 Cµ，则服务强 度ρ ＝ λ / Cµ. 当ρ <1 时，系统存在平衡状态，此时稳态 系统任一时刻顾客数为 n 的概率为:Pn=P{N=n}；特别当 n=0 时，Pn 即 P0，P0 表示稳态系统所有服务台全部空闲(因系统中 顾客数为 0)的概率。根据排队理论及概率统计知识，可得：
实用性，从而对实际问题做出定性分析。
我在本地的某银行营业厅进行观察，并采样了数据，得
数据样本如下表：
数据样本 (批次)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
到达人数 （人/10 分钟）
5
8
3
6
243
7
4
4
65
可得该营业厅的平均到达率是：λ＝0.475 （人/分钟）。 通过一段时间的数据采样及统计，计算均值得到该营业 厅的每个窗口的平均服务率是：µ＝15（人/每小时），即µ = 0.25(人/分钟)。 下面我们暂不说该服务厅目前设立的窗口有多少个，我 们根据前面得到的模型进行模拟：分别假设服务窗口为1、2、 3、4个时的排队情况进行计算。 当 C=1 时 ， 即 只 有 开 一 个 窗 口 ， 这 时 ρ ＝ λ / µ =0.475/0.25=1.9>1，可见系统不会平衡，排队的人会越来越 多，排队等候的时间也越来越多，按每天8小时工作制算，会 有108人无法办理业务。 当C=2时，ρ＝ λ / 2µ =0.475/2*0.25=0.95<1，系统存 在稳定状态。此时系统各项指标计算如下(以下数据计算过程 均取小数点后4位有效数字)： 1.服务窗空闲概率为：
可见，设三个服务窗口，排队人数接近1人，等候时间不 到两分钟，不存在长排队现象；设四个服务窗口，减少排队 人数0.6618－0.1360=0.5258(人)，考虑投入成本，开四个服 务窗是不合算的。因此，该银行服务厅开设三个窗是最为合 理的。
P0=0.1278；Lq=0.6618(人)； Ls=2.5618(人)； Tq=1.3933(分); Ts=5.3933(分)。
当C=4时，ρ＝ λ / 4µ =0.475/4*0.25=0.4750<1，同理 可得：
P0=0.1453； Lq=0.1360(人)； Ls=2.0360(人)； Tq=0.2863(分); Ts=4.2863(分)。
∑ Lq
=
∞
(n − C)Pn
n=C+1
=
(Cρ)C C!(1− ρ)2
ρP0 .
（2）平均队长 Ls 为: Ls = Lq + Cρ .
（3）顾客在系统中平均逗留时间 Ts ：T s
=
Ls λ
25
（4）顾客在队列中平均等待时间 Tq ：T q
=
Lq λ
根据以上各表达式知，只要知道系统中顾客的平均到达