同济大学《线性代数》 PPT课件
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第1章 线性方程组与矩阵 1
01
线性方程组与矩阵
《线性代数》 & 人民邮电出版社
目录/Contents
第1章 线性方程组与矩阵 2
1.1
矩阵的概念及运算
1.2 分块矩阵
1.3 线性方程组与矩阵的初等变换
1.4 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
目录/Contents
1.1
矩阵的概念及运算
一、矩阵的定义 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置
03
OPTION
a1
n 1 的矩阵
a2
M
an
称为列矩阵，也称为 n 维列向量.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 7
所有元素都是零的 m n 矩阵称为零矩阵，记为 Omn ，或简记为 O .
m n 矩阵
a11 a12 L
a21
a22
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
i 1, 2L, ,m ;j 1,L2, n，, 则称矩阵 A 和 B 相等，记为 A B.
二、矩阵的线性运算
第1章 线性方程组与矩阵 10
1. 矩阵的加法 定义3 设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记为 A B ，规定：
ann
称该 n 阶方阵为下三角矩阵，其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
一、矩阵的定义
类似地，有上三角矩阵
a11 a12 L
0
a22 L
M M
0
0L
a1n
a2n
，
M
ann
其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
第1章 线性方程组与矩阵 8
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm ,
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
L
M M O
an1
an2
L
a1n
a2n
M
ann
称为 n 阶方阵.
元素 aii i 1, 2,L , n所在的位置称为 n 阶方阵的主对角线.
一个 n 阶方阵主对角线上方的元素全为零，即
a11 0 L
a21
a22
L
M M O
an1
an2
L
0
0
，
M
1 交换律： A B B A；
2 结合律： (A B) C A (B C) ；
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
对于矩阵 A (aij )mn ，称矩阵 (aij )mn 为矩阵 A 的负矩阵，记为 A. 显然， A (A) Omn .
第1章 线性方程组与矩阵 3
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 4
由 m 个方程 n 个未知量 x1, x2,L , xn 构成的线性（即：一次）方程组可以表示为：
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2 L
L L
a2n xn L
n 阶方阵
a1 0 L 0
0
a2
L
0
L L O M
0
0L
an
称为 n 阶对角矩阵，简称对角阵，记为 diag a1,a2,L ,an .
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 9
如 果 n 阶 对 角 矩 阵 diag a1, a2,L , an 对 角 线 上 的 元 素 全 相 等 ， 即
定义矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 的减法为：
A B A B
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
a1 a2 L an ，则称其为数量矩阵.
当 a1 a2 L an 1 时，这个数量矩阵就称为 n 阶单位矩阵，简称为单位阵，
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.Hale Waihona Puke L L O M 0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n
a2n
M
amn
称为一个 m n 矩阵，简记为aij ，也记为 aij mn .
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
01 11的矩阵 A a 就记为 A a .
OPTION
02 OPTION 1 n 的矩阵 a1, a2,L , an 称为行矩阵，也称为 n 维行向量.
a11 b11
A
B
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M .
amn
bmn
矩阵的加法满足如下的运算规律： 设 A, B, C 是任意三个 m n 矩阵，则
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 5
定义1 m n 个数 aij i 1,2,L , m; j 1,2,L , n 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 L
01
线性方程组与矩阵
《线性代数》 & 人民邮电出版社
目录/Contents
第1章 线性方程组与矩阵 2
1.1
矩阵的概念及运算
1.2 分块矩阵
1.3 线性方程组与矩阵的初等变换
1.4 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
目录/Contents
1.1
矩阵的概念及运算
一、矩阵的定义 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置
03
OPTION
a1
n 1 的矩阵
a2
M
an
称为列矩阵，也称为 n 维列向量.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 7
所有元素都是零的 m n 矩阵称为零矩阵，记为 Omn ，或简记为 O .
m n 矩阵
a11 a12 L
a21
a22
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
i 1, 2L, ,m ;j 1,L2, n，, 则称矩阵 A 和 B 相等，记为 A B.
二、矩阵的线性运算
第1章 线性方程组与矩阵 10
1. 矩阵的加法 定义3 设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记为 A B ，规定：
ann
称该 n 阶方阵为下三角矩阵，其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
一、矩阵的定义
类似地，有上三角矩阵
a11 a12 L
0
a22 L
M M
0
0L
a1n
a2n
，
M
ann
其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
第1章 线性方程组与矩阵 8
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm ,
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
L
M M O
an1
an2
L
a1n
a2n
M
ann
称为 n 阶方阵.
元素 aii i 1, 2,L , n所在的位置称为 n 阶方阵的主对角线.
一个 n 阶方阵主对角线上方的元素全为零，即
a11 0 L
a21
a22
L
M M O
an1
an2
L
0
0
，
M
1 交换律： A B B A；
2 结合律： (A B) C A (B C) ；
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
对于矩阵 A (aij )mn ，称矩阵 (aij )mn 为矩阵 A 的负矩阵，记为 A. 显然， A (A) Omn .
第1章 线性方程组与矩阵 3
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 4
由 m 个方程 n 个未知量 x1, x2,L , xn 构成的线性（即：一次）方程组可以表示为：
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2 L
L L
a2n xn L
n 阶方阵
a1 0 L 0
0
a2
L
0
L L O M
0
0L
an
称为 n 阶对角矩阵，简称对角阵，记为 diag a1,a2,L ,an .
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 9
如 果 n 阶 对 角 矩 阵 diag a1, a2,L , an 对 角 线 上 的 元 素 全 相 等 ， 即
定义矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 的减法为：
A B A B
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
a1 a2 L an ，则称其为数量矩阵.
当 a1 a2 L an 1 时，这个数量矩阵就称为 n 阶单位矩阵，简称为单位阵，
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.Hale Waihona Puke L L O M 0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n
a2n
M
amn
称为一个 m n 矩阵，简记为aij ，也记为 aij mn .
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
01 11的矩阵 A a 就记为 A a .
OPTION
02 OPTION 1 n 的矩阵 a1, a2,L , an 称为行矩阵，也称为 n 维行向量.
a11 b11
A
B
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M .
amn
bmn
矩阵的加法满足如下的运算规律： 设 A, B, C 是任意三个 m n 矩阵，则
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 5
定义1 m n 个数 aij i 1,2,L , m; j 1,2,L , n 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 L