数理统计期末测试题
数理统计
一、填空题
1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数
2、设母体σσμ),,(~2
N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为
n
X σ
μ
-
3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010
1
5u ⨯±
4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生
5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0≤p
6、某地区的年降雨量),(~2
σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2
σ的矩估计值为 。 1430.8
7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2
N 与
)1,2(N ， 2
*2
2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~22
2221χχχχ，则__________,==b a 。
用
)1(~)1(22
2
*--n S n χσ
，1,5-==b a
8、假设随机变量)(~n t X ，则
2
1
X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2
=≤λX P ，则____=λ 。
用),1(~2
n F X
得),1(95.0n F =λ
10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，
X
为子样均值，而
01.0)(=>λX P ， 则____=λ
01.04)1,0(~1z N n
X
=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2
σμN ，令∑∑==-=16
11
10
1
43i i i i
X X
Y ，则Y 的
分布 )170,10(2
σμN
12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2
S 分别是子样均值和子
样方差，令2
*2
10S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。)9,1(01.0F =λ
13、如果,ˆ1θ2ˆθ都是母体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则满足 。 )ˆ()ˆ(2
1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN ，∑-=+-=1
1
21
2
)(ˆn i i i X X
C σ
是2σ的一
个无偏估计量，则_______=C 。
)
1(21
-n
15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ，测得子样均值5=x ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。025.03
9
.05u ⨯±
16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2
σμN ，μ与2
σ未知，测得子样均值
5=x ，子样方差12=s ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10
1
5z t t ≈⨯±
17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，
μ与2σ未知，计算得
75.1416116
1
=∑=i i X ，则原假设0H ：15=μ的t 检验选用的统计量为 。
答案为
n
S X *
15
- 二、选择题
1、③下列结论不正确的是 ( )
① 设随机变量Y X ,都服从标准正态分布，且相互独立，则)2(~2
2
2
χY X + ② Y X ,独立，)5(~)15(~),10(~2
2
2
χχχY Y X X ⇒+ ③ n X X X ,,21来自母体),(~2
σμN X 的子样，X 是子样均值， 则
∑
=-n
i i n X X 1
22
2
)(~)(χσ
④ n X X X ,,21与n Y Y Y ,,21均来自母体),(~2
σμN X 的子样，并且相互独立，Y
X ,分别为子样均值，则
)1,1(~)()(1
2
1
2
----∑∑==n n F Y Y
X X
n
i i
n
i i
2、④设21ˆ,ˆθθ是参数θ的两个估计量，正面正确的是 ( ) ① )ˆ()ˆ(21θθD D >，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量 ② )ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ为比2
ˆθ有效的估计量 ③ 21ˆ,ˆθθ是参数θ的两个无偏估计量，)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量 ④ 21ˆ,ˆθθ是参数θ的两个无偏估计量，)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量 3、设θˆ是参数θ的估计量，且0)ˆ(>θ
D ，则有 （ ） ① 2
ˆθ
不是2θ的无偏估计 ② 2ˆθ 是2
θ的无偏估计 ③ 2
ˆθ
不一定是2θ的无偏估计 ④ 2ˆθ 不是2
θ的估计量 4、②下面不正确的是 （ ） ① ααu u -=-1 ② )()(2
2
1n n ααχχ-=-
③ )()(1n t n t αα-=- ④ )
,(1
),(1n m F m n F αα=
-
5、②母体均值的区间估计中，正确的是 （ ）
① 置信度α-1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长； ② 置信度α-1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短； ③ 置信度α-1增大，则置信区间长度变短； ④ 置信度α-1减少，则置信区间长度变短。
6、④对于给定的正数α，10<<α，设αu 是标准正态分布的α上侧分位数，则有（ ） ① αα-=<1)(2
u U P ② αα=<)|(|2
u U P
③ αα-=>1)(2
u U P ④ αα=>)|(|2
u U P
7、④某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布2
00200,),,(σμσμN 为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设 （ ）
① 0H ：0μμ= 1H ：0μμ≠ ② 0H ：0μμ= 1H ：0μμ> ③ 0H ：202
σσ
= 1H ：202σσ≠ ④ 0H ：202σσ= 1H ：202σσ>
8、③测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差%452.0=x ，
%037.0=s ，母体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的是 （ ） ① 在α＝0.05下，0H ：%05.0=μ ②在α＝0.05下，0H ：%03.0=μ ③ 在α＝0.25下，0H ：%5.0=μ ④在α＝0.25下，0H ：%03.0=σ 9、答案为①
设子样n X X X ,,21抽自母体X ，m Y Y Y ,,21来自母体Y ，),(~2
1σμN X
),(~2
2σμN Y ，则
∑∑==--m
i i
n
i i
Y
X 12
212
1)()(μμ的分布为
① ),(m n F ② )1,1(--m n F ③ ),(n m F ④ )1,1(--n m F
10、②设n x x x ,,,21 为来自),(~2
σμN X 的子样观察值，2
,σμ未知，∑==n
i i x n x 1
1
则2
σ的极大似然估计值为 （ ）
① ∑=-n i i x x n 12)(1 ② ∑=-n i i x x n 1)(1 ③ ∑=--n i i x x n 12)(11 ④∑=--n i i x x n 1)(11 11、③子样n X X X ,,21来自母体)1,0(~N X ，∑==n i i X n X 11，=2*S ∑=--n i i X X n 1
2)(11 则下列结论正确的是 （ ） ① )1,0(~N X n ② )1,0(~N X ③
∑=n
i i
n X
1
22
)(~χ ④
)1(~*-n t S
X
12、①假设随机变量X 100212
,,,),2,1(~X X X N 是来自X 的子样，X 为子样均值。已知
)1,0(~N b X a Y +=，则有（ ）
①5,5=-=b a ②5,5==b a ③51,51-==b a ④5
1,51=-=b a
13、设子样n X X X ,,,21 )1(>n 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2
*S 分别是子样均
值和子样方差，则有（ ）
①)1,0(~N X ②)1,0(~N X n ③
)(~212n X
n
i i
χ∑= ④
*S
X 14、④设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，X 与2
S 分别是子样均值和子样方差，则下面结论不成立的是（ ）
①X 与2
S 相互独立 ②X 与2
)1(S n -相互独立
③X 与
∑=-n
i i
X X
1
2
2
)(1
σ相互独立 ④X 与
∑=-n
i i
X
1
22
)(1
μσ相互独立
15、③子样54321,,,,X X X X X 取自正态母体),(2
σμN ，μ已知，2
σ未知。则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）
① X ② μ221-+X X ③ ∑=-5
12
2)(1
i i
X X σ ④∑=-5
1
2)(3
1
i i
X X
16、②设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，X 与2
*S
分别是子样均值和子样方
差，则下面结论成立的是（ ）
① ),(~22
12σμN X X - ② )1,1(~)(2
*2
--n F S
X n μ
③
)1(~22
2
-n S χσ ④
)1(~1*
---n t n S
X μ
17、答案②设子样n X X X ,,,21 来自母体X ，则下列估计量中不是母体均值μ的无偏估计量的是（ ）。
①X ②n X X X +++ 21 ③)46(1.01n X X +⨯ ④321X X X -+ 18、②假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN 。母体数学期望μ已知，则下列估计量中是母体方差2
σ的无偏估计是（ ）
①∑=-n i i X X n 12)(1②∑=--n i i X X n 1
2)(11③∑=-+n i i X n 12)(11μ ④∑=--n i i X n 12)(11μ 19、①假设母体X 的数学期望μ的置信度是95.0，置信区间上下限分别为子样函数
),(1n X X b 与 ),,(1n X X a ，则该区间的意义是（ ）
① 95.0)(=<
20、②假设母体X 服从区间],0[θ上的均匀分布，子样n X X X ,,,21 来自母体X 。则未知参数θ 的极大似然估计量θˆ为（ ）② ① X 2 ② )
,,max (1n X X ③ ),,min(1n X X ④ 不存在
21、②在假设检验中，记0H 为原假设，则犯第一类错误是（ ） ① 0H 成立而接受0H ② 0H 成立而拒绝0H ③ 0H 不成立而接受0H ④ 0H 不成立而拒绝0H
22、①假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，X 为子样均值，记
=21
S ∑=-n i i X X n 12
)(1=22S ∑=--n i i X X n 1
2)(11 =23
S ∑=-n i i X n 1
2
)(1μ=24S ∑=--n i i X n 12)(11μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）
①
11--n S X μ ②12--n S X μ ③ n S X 3μ- ④ n S X 4
μ
- 每题前面是答案！
三、计算题 1、（1）1－⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ25)54,12(~N X （2）[]5)1(1Φ- （3）1[]5)5.1(Φ- 设母体)4,12(~N X ，抽取容量为5的子样，求 （1） 子样均值大于13的概率；
（2） 子样的最小值小于10的概率； （3） 子样最大值大于15的概率。
2、解：)5.0,10(~N X )11(≥X P 079.0=
假设母体)2,10(~2
N X ，821,,,X X X 是来自X 的一个子样，
X
是子样均值，求
)11(≥X P 。
3、)5.0,10(~N X c X P ≥(）05.0= 16.11=⇒c
母体)2,10(~2
N X ，821,,,X X X 是来自X 的子样，X 是子样均值，若
05.0)(=≥c X P ，试确定c 的值。
4、由
)1,0(~210
N n
X - 所以{}{}
98.0|10|98.1002.9≤-=≤≤X P X P =0.9516=⇒n 设n X X X ,,,21 来自正态母体)2,10(2
N ，X 是子样均值， 满足95.0)98.1002.9(=≤≤X P ，试确定子样容量n 的大小。 5、∑∑====
25
17
2
161
1,i i
i i
X
Y X Y )15,140(~2
21N Y Y -得{
}18221≤-Y Y P 997.0= 假设母体X 服从正态母体)3,20(2
N ，子样2521,,,X X X 来自母体X ,计算
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑∑==18225
17161i i i i X X P
6、（1）178320ˆ,3140ˆ2
==σμ （2）∑==--=n
i i x x n 1
22
198133)(11ˆσ 假设新生儿体重),(~2
σμN X ，现测得10名新生儿的体重，得数据如下： 3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260 （1）求参数μ和2
σ的矩估计； （2）求参数2
σ的一个无偏估计。
7、（1）θ+=1EX 故 1ˆ-=X θ
（2）似然函数⎪⎩
⎪⎨⎧=∏=--0);,,,(1)
(21n i x n i e
x x x L θθ 其他θ≥i x n i ,2,1=
1
)
(∑⎩⎨
⎧=--
n
i i x e θ 其他θ≥i x min n i ,2,1=故),,,min(ˆ21n X X X =θ 假设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧=--0
)()(θx e x f θθ
<≥x x ，设n X X X ,,,21 来自母体
X 的一个子样，求θ的矩估计和极大似然估计。
8、估计误差||μ-x 的置信区间为)05.0,
05.0(05.005.0u n
u n
-
估计误差||μ-x 04.9601.005.005.0≥⇒≤=n u n
故子样容量n 最小应取97。
在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是05.0秒，为了以95.0的置信度使平均反
应时间的估计误差不超过01.0秒，那么测量的子样容量n 最小应取多少
9、 （1）取检验统计量X n
X
U 101
==
)1,0(~0
N =μ 对05.0=α的水平下， 拒绝域{
}{}
62.062.0||96.1||=⇒≥=≥=c X U J α （2）62.01>=x ，故1021,,,x x x αJ ∈，因此不能据此推断0=μ成立 （3）{}
0003.0]1)1015.1(2[115.1||=-Φ-=≥X P 0003.0=⇒α
假设随机变量)1,(~μN X ，1021,,,x x x 是来自X 的10个观察值，要在01.0=α的水平
下检验 0H ：0=μ，1H ：0≠μ 取拒绝域{}
c X J ≥=||α （1）?=c
（2）若已知,1=x 是否可以据此推断0=μ成立？ )05.0(=α
（3）如果以{}
15.1||≥=X J α检验0H ：0=μ的拒绝域，试求该检验的检验水平α。
10、 0H ：2.5=μ，1H ：2.5≠μ 取检验统计量n
X U 12.5-=
)1,0(~2
.5N =μ {}96.1||≥=u J α 答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm 2.5
假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X （单位mm ）服从正态分布)16.0,2.5(N ，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度4.5=x ，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm 2.5
11、置信区间公式为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-)8(),8(025.0*
025.0*t n S X t n S X 得()69.30,31.29 （2）检验 0H ：5.31=μ，1H ：5.31≠μ取检验统计量)8(~5.310
*
t n S
X T H -= 拒绝域{
}025.0||t T J ≥=α答案：不能认为该地区九月份平均气温为C 0
5.31 （3）对于同一α而言，在显著水平α拒绝0H ：5.31=μ与5.31在置信度为α-1的μ
置信区间之外是一致的。
某地九月份气温),(~2
σμN X ，观察九天，得C x 030=，C s 0
9.0=，求 （1）此地九月份平均气温的置信区间； （置信度95%）
（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为C 0
5.31（检验水平)05.0=α （3）从（1）与（2）可以得到什么结论？ 30
6.2)8(025.0=t
12、检验 0H ：72=μ，1H ：72≠μ 取检验统计量)9(~720
*t n S
X T H -=
拒绝域{
}025.0||t T J ≥=α 答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异 正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68 65 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数),(~2
σμN X ，试就检验水平05.0=α下
检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？ 13、（1）0H ：222
1
σσ
=，1H ：22
21σσ≠ 取检验统计量)3,4(~0
2*2
2
*1F S S F H =
拒绝域{})3,4()3,4(95.005.0F F F F J ≤≥=或α答： 可认为1X 与2X 的方差相等 （2）0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠ 由1X 2X 的方差相等， 取检验统计量2*21
2111S
n n X X T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
)7(~0
t H ，2
)1()1(212
*222*112
*-+-+-=n n S n S n S
拒绝域{
})7(||05.0t T J ≥=α 答：故可认为1X 与2X 的均值相等。 设随机变量2
2
,),,(~i i i i i N X σμσμ均未知，1X 与2X 相互独立。现有5个1X 的观察值，子样均值191=x ，子样方差为505.72
*1=s ，有4个2X 的观察值，子样均值182=x ， 子样方差为593.22
*2=s ，
（1）检验1X 与2X 的方差是否相等？59.6)4,3(,12.9)3,4(,1.005.005.0===F F α （1） 在（1）的基础上检验1X 与2X 的均值是否相等。 （
1.0=α）
14、0H ：2
2
82=σ，1H ：2
2
82≠σ 取检验统计量2
2
*2
82
)1(S n -=χ {}
02.197.222≥≤=χχαor J
答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化
假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X 服从正态分布)82,10600(2
N ，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差69922
*=s
。当显著水平为05
.0=α时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？
15、（1）0H ：2
2
005.0=σ，1H ：2
2
005.0≠σ 取检验统计量2
2
*2
005.0)1(S n -=χ
{
}
5.1718.22
2≥≤=χχαor J 答：故可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化
（2）2
σ的置信区间为（ )
1()1(,)1()1(2975.02*2025.02
*----n S n n S n χχ ）＝（ 0.0003 ,0.00023）
某种导线的电阻)005.0,(~2
μN X ，现从新生产的一批导线中抽取9根，得Ω=009.0s 。 （1）对于05.0=α，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？ （2）求母体方差2
σ的95%的置信区间 16、母体均值μ的置信区间为n
s t x *025
.0± 答： ( 99.05 , 100.91 )
某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量),(~2
σμN X ，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克) 试求母体均值μ的置信区间，给定置信水平为95.0。 17、21μμ-的的置信区间为
2
)1()1(,11)2(212
*2
22*112*21*
212
-+-+-=+-+±-n n S n S n S n n S
n n t Y X α（ -0.88 , 2.04 ）
设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X 表示失眠患者服用甲药后睡眠时间
的延长时数，Y 表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得9.2,75.1;9.1,33.22
22
1====s y s x ，设
),,(~21σμN X ),(~22σμN Y ；求21μμ-的置信度为95%的置信区间。
18、22
21σσ的置信区间为 ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛)12,17(,)12,17(05.02
*22*195.02*22*1F S S F S S ( 0.45 , 2.79 ) 研究由机器A 和B 生产的钢管的内径，随机地抽取机器A 生产的管子18根，测得子样方差
34.021=s ，抽取机器B 生产的管子13根，测得子样方差29.02
2=s ，设两子样独立，且由
机器A 和B 生产的钢管的内径服从正态分布),(),,(22
221
1σμσμN N ，试求母体方差比22
21σσ的
置信度为90%的置信区间。
19、2
σ的置信区间（ )
1()1(,)1()1(295.02*2
05.02
*----n S n n S n χχ ） 2
σ的置信区间 ( 0.0575 , 0.1713 )
σ的置信区间 ( 0.2398 , 0.4139 )
设某种材料的强度),(~2
σμN X ，2
,σμ未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm
2
为强度单位，由20件子样得子样方差0912.02
*=s ，求2σ和σ的置信度为90%的置信区
间。
20、p 的置信区间为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯±)1(12n m n m n u n m α （ 0.504 , 0.696 ）
也可用中心极限定理作近似计算，所得答案为 ( 0.50 , 0.69 )
设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p 的置信度为95%的置信区间。 21、μ的置信区间为,025
.0n
u x σ
±，65.275001800000
025
.0=⇒=n n
u
即这家广告公司应取28个商店作子样
一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？ 22、似然函数∑
==-
n
i i
x n
e
L 1
1
)1
()(λλ
λ λ的极大似然估计量X =λ
ˆ 设电视机的首次故障时间X 服从指数分布，EX =λ，试导出λ的极大似然估计量和矩估
计。
23、21μμ-的置信区间为 2
)1()1(,11)2(212
*222*1
12*21*
212
21-+-+-=+-+±-n n s n s n S n n s
n n t x x α (-10.2 , -2.4 ) 为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随
机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的子样均值和方差为：92.18,63.16;5.28,2.222
*22
*121====s s x x 。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。
24、21p p -的置信区间为
)1(1)1(1222221111122211n m n m n n m n m n u n m n m -⨯+-⨯±-α，18.011=n m ，14.02
2=n m
所以21p p -的置信区间为 ( 0.0079 , 0.0721 )
某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机
地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。
25、0H ：1200≤μ 1H ：1200>μ 取检验统计量100
300
1200
-=
X U
拒绝域{}ααu u J ≥= 答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准
电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？ 26、0H ：5=μ 1H ：5≠μ 取检验统计量n
S
X T *
5
-=
拒绝域{}
)1(2
-≥=n t t J αα 计算得16.3103
.05
3.5=⨯-=
t （1）)9(05.0025.0t t >⇒=α，所以在0.05的显著水平下不能认为机器性能良好 （2）)9(01.005.0t t <⇒=α，所以在0.01的显著水平下可认为机器性能良好
某机器制造出的肥皂厚度为cm 5，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为子样，测得其平均厚度为cm 3.5，标准差为cm 3.0，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布） 27、检验0H ：21μμ= 1H ：21μμ≠ 2
22
1
21
2
1n n X X U σ
σ
+
-=
拒绝域{
}
2
||α
αu u J ≥=
计算得故可拒绝0H ，认为两种方法生产的产品的平均抗拉强度是有显著差别
有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg ，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg 。从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32和40，测得
kg x kg x 44,5021==。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别
96.1,05.0025.0==z α
28、检验0H ：21μμ≤ 1H ：21μμ> 检验统计量2
1*
2111n n S X X T +-=
拒绝域{}ααt t J ≥= 经计算得不能认为用第二种工艺组
装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短。
一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？
7459.1)16(,05.005.0==t α
29、0H ：250≤μ 1H ：250>μ 取检验统计量25
30
250
-=
X U
拒绝域{}ααu u J ≥= 计算得拒绝0H ，可认这种化肥是否使小麦明显增产
某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg ，其标准差为30kg 。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg 。问这种化肥是否使小麦明显增产？ 05.0=α 30、0H ：05.0≤p 1H ：05.0>p
n
n m n m n m
U )1(05.0--=
接受0H ：05.0≤p ，批食品能否出厂
某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg 。今从一批该食品中任意抽取50袋，发
现有6袋低于250kg 。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？ 05.0=α
31、0H ：225≤μ 1H ：225>μ 取检验统计量n
S
X T *
225
-=
拒绝域{})1(-≥=n t t J αα， 不能拒绝0H ，不能认为元件的平均寿命大于225小时。
某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 7531.1)15(,05.005.0==t α
32、（1）0.998407 （2）x y 1603.1708.26652ˆ+-= （3）0.996817 （4）∑=-=
n
i i
x x
t 1
2)(ˆˆσ
β＝35.39138＞1.7531线性关系和回归系数显著
某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户
要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；
（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；
(3)计算判定系数2R
(4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验 (05.0=α)，并对结果作简要分析。 33、)/()1/(l n S l S F e A --=
计算得5.410
/384
/4.68==F ＞3.48
检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。
34、(1) 589.364565.0ˆ+=x y
(2) 0:0=b H 检验统计量==xx l b
t σ
ˆˆ14.9>306.2)8(025.0=t 故儿子身高关于父亲身高的回归直线方程显著成立
(3) 499.68977.35704646.0ˆ7000=+⨯=⇒=y
x 区间预测为2222020432.0]ˆ[2
1ˆ,)(11ˆˆ=--=-++±xx
yy xx l b l n l x x n t y σσα 故0y 的区间预测为 ( 67.656 , 69.345 )
测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英
(1) 试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程
(2) 检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？306.2)8(025.0=t （3）父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测
35、)16,3(31.1105.0F F >=,即不同的方式推销商品的效果有显著差异
某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：（24.3)16,3(,05.005.0==F α）
计算F 统计量，并以05.0=α的显著水平作出统计决策。
四、证明题
1、设n X X X ,,,21 )2(>n 来自正态母体X ，母体X 的数学期望μ及方差2
σ均存在，
求证：4321ˆ,ˆ,ˆ,ˆμμμμ
均是母体X 的数学期望μ的无偏估计。其中
)(2
1ˆ,ˆ1211n X X X +==μμ X X X X =++=43213ˆ),32(6
1
ˆμ
μ
2、假设随机变量X 服从分布),(n n F 时，求证：{}5.01)1(=≥=≤X P X P
3、设n X X X ,,,21 )2(>n 来自正态母体X ，母体X 的方差2
σ存在，2
*S 为子样方差，
求证：2
*S
为2
σ的无偏估计。
4、假设母体X 的数学期望μ和方差2
σ均存在，n X X X ,,,21 来母体X ，求证：X
与W 都是母体期望μ的无偏估计，且DW X D ≤。其中∑==n
i i X n X 1
1，
)1(,1
1
==∑∑==n
i i n i i i a X a W
5、已知)(~n t T ，证明),1(~2
n F T
6、设母体X 的k 阶矩)(k
i k X E =μ存在，n X X X ,,,21 来自母体X ,证明子样k 阶矩
∑==n i k
i k X n A 1
1为母体的k 阶矩)(k i k X E =μ的无偏估计。
7、设母体X 的密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧=-01)(1x e
x f λ
λ 00≤>x x 试证X 是λ的无偏估计，而X 1不是
λ1的无偏估计。
8、设母体),0(~θU X ，证明),,,max (1
ˆ,2ˆ212
1n X X X n n
X +==θθ均是θ的无偏估计 （n X X X ,,,21 来自母体X 的子样）
数理统计习题
1．设总体(
)2
,~σ
μN X ，2
,σ
μ是未知参数，()n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，
则下列结论正确的是（c ）
(A) 2
221
1()~(1)1n
i i S X X n n χ==---∑; (B) 22
1
1()~()n i i X X n n χ=-∑;
(C)2
222
2
1
(1)1
()~(1)n
i
i n S X
X n χσσ=-=
--∑;
(D)
222
1
1
()~()n
i
i X
X n χσ=-∑
2．设总体(
)2
,~σμN X ，()n X X X
,,,21
是来自总体的一个样本，则2σ的无偏估计量
是（ a ）
(A)()∑=--n i i X X n 1211; (B) ()∑=-n i i X X n 12
1; (C)∑=n i i X n 1
21; (D) 2X 3．设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的 置信度为1α-的置信区间为（ d ）
（A
）/2
/2(x u x u αα-+ （B
）1/2/2(x u x u αα--+
（C
）(x u x u αα-+
（D
）/2/2(x u x u αα-+
4．设总体X 的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+1,
01
,),(1
x x x x f ββ
β 其中未知参数1>β，n X X X ,,,21 为取自总体X 的简单随机样本，求参数β的矩估计量和极大似然估计量.
5．已知分子运动的速度X 具有概率密度
2
2(),0,0,()0,0.x x f x x αα-⎧>>=≤⎩
12,,,n x x x 为X 的简单随机样本 （1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。 6．设总体(
)2
,~σ
μN X ，其中且μ与2
σ
都未知，+∞<<∞-μ，02
>σ．现从总体X
中抽取容量16=n 的样本观测值()1621x x x ，，， ，算出75.50316116
1==∑=i i x x ，()2022.6151161
2
=-=∑=i i
x x s ，试在置信水平95.01=-α下，求μ的置信区间． （已知：()7531.11505.0=t ，()7459.11605.0=t ，()1315.215025.0=t ，()1199.216025.0=t ）． 7．设总体(
)
2
~σ
μ，N X ，其中μ是已知参数，02>σ是未知参
数．()n X X X ，，， 21是从该总体中抽取的一个样本，
⑴. 求未知参数2σ的极大似然估计量2ˆσ
； ⑵. 判断2ˆσ
是否为未知参数2σ的无偏估计． 8．设12,,,n X X X 是来自几何分布 1
()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，
的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
答案： 4、解：1
)()(1
1
-=
⋅
==
⎰
⎰
∞
++∞
+∞
-βββ
βdx x
x dx x xf X E
令X EX =，即
X =-1
ββ，得参数β的矩估计量为1
ˆ-=X X
β
似然函数为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=>⎪⎭⎫ ⎝⎛
==+==∏∏其他,0),,2,1(1,),()(111n i x x x f L i n i i n
n
i i ββββ
当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，
∑=+-=n
i i x n L 1
ln )1(ln )(ln βββ
0ln )(ln 1
=-=∑=n
i i x n d L d βββ 得参数β的极大似然估计值为
∑==n
i i
x n
1
ln ˆβ
5、解：（1）先求矩估计
2
3
()10
x EX dx α
μ-+∞==
⎰
2
2
2
()()0
x
x xe
dx α
α
+∞--+∞=
=
X α
∴=
再求极大似然估计
2
2
(
)11
(,,;)i
x n
n i L X X α
α-==
322
14()n n n n x x απ--= 2
1
1
n
i i x e
α
=-
∑⋅
2
22
12
1
1
ln 3ln ln(4)ln()n
n
n
n i
i L n x x x
απ
α
-==-++-
∑
2
31
l n 320n i i L n x d αααα==-+∑ 得α的极大似然估计
α
=
（2）对矩估计
2
2E EX α
α==
= 所以矩估计
X α=
是α的无偏估计.
6、解：由于正态总体(
)2
,σ
μN 中期望μ与方差2
σ
都未知，所以所求置信区间为
()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--1,122n t n S
X n t n S X αα． 由05.0=α，16=n ，得
025.02
=α
．查表，得()1315.215025.0=t ．
由样本观测值，得75.503161161
==∑=i i
x x ，()2022.61511612
=-=∑=i i x x s 所以， ()445.5001315.2162022
.675.50312=⨯-=--n t n s x α，
()055
.5071315.216
2022
.675.50312=⨯+=-+n t n s x α， 因此所求置信区间为()055.507,445.500
7．解：⑴. 当02>σ为未知，而+∞<<∞-μ为已知参数时，似然函数为
()(
)
()⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=∑=-n i i n
x L 122
2
22
21e xp 2μσπσσ 因而 ()()()∑=---=n i i x n L 1
22
2
2212ln 2ln μσπσσ 所以 ()
()()01212ln 41222
2=⋅-+-=∂∂∑=σμσσσn i i x n L 解得()∑=-=n i i x n 1
2
2
1μσ
因此，2
σ的极大似然估计量为()∑=-=n
i i X n 1
22
1ˆμσ
． ⑵. 因为()2~σμ，N X i ()n i ，，， 21
=， 所以
()10~，N X i σ
μ
- ()n i ，，， 21=，
所以 []0=-μi X E ，[]2σμ=-i X D ()n i ，，， 21
=， 所以()
[]()[][]22
2
σμμμ=-+-=-i i
i X D X
E X E ()n i ，，， 21=
因此，()
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∑=n i i X n E E 122
1ˆμσ
()(
)
∑=-=n i i X E n 12
1μ221σσ=⋅=n n
所以，()∑=-=n i i X n 1
22
1ˆμσ
是未知参数2σ的无偏估计 8、解 11
11
(,
,;)(1
)(1)n
i i i n
x n
x n
n i L x x p p
p p
p =--=∑=-=-∏
1
ln ln (
)ln(1),n
i
i L n p X
n p ==+--∑
数理统计期末测试题
数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 n X σ μ - 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u ?± 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0≤p 6、某地区的年降雨量),(~2 σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 σ的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2 *2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知 )4(~),20(~22 2221χχχχ，则__________, ==b a 。 用 )1(~)1(22 2 *--n S n χσ ，1,5-==b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ，则____=λ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F =λ
数理统计期末练习题
数理统计期末练习题 1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于,则n 至少为多少 2．设n x x ,,1 是来自)25,( N 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(| x P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(| y x P . 5.设161,,x x 是来自),(2 N 的样本,经计算32.5,92 s x ,试求) 6.0|(| x P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,( 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0 ,有 )|(|c x . 7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 )1(X 9．设21,x x 是来自),0(2 N 的样本,试求2 21 21 x x x x Y 服从 分布. 10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得 .05.0)()()(2212212 21 k x x x x x x 11．设n x x ,,1 是来自),(2 1 N 的样本,m y y ,,1 是来自),(22 N 的样 本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~) ()(2 221 m n t s y d x c t m d n c 其中 2 22 22 ,2 )1()1(y x y x s s m n s m s n s 与 分别是两个样本方差. 12．设121,,, n n x x x x 是来自),(2 N 的样本,11,n n i i x x n _ 2 21 1(),1n n i n i s x x n 试求常数c 使得1n n c n x x t c s 服从t 分布,并指出分布的自由度 。
概率论与数理统计期末考试试卷及答案
概率论与数理统计期末考试试卷及答案专业概率论与数理统计课程期末试卷A卷 1.设随机事件A、B互不相容，p(A)=0.4，p(B)=0.2，则p(AB)=0. A。2B。4C。0D。6 2.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为3/16. A。2B。2/3C。3/16D。13/16 3.填空题（每空2分，共30分） 1）设A、B是两个随机变量，p(A)=0.8，p(B)=。则 p(AB)=0.3. 2）甲、乙两门彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.3、0.4，则飞机至少被击中一次的概率为0.58. 3）设随机变量X的分布列如右表，记X的分布函数为F(x)，则F(2)=0.6.
X。1.2.3 p(X) 0.2.0.4.0.4 4）把三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为3/5. 5）设X为连续型随机变量，c是一个常数，则p(X=c)=0. 6）设随机变量X~N(μ,1)，Φ(x)为其分布函数，则 Φ(x)+Φ(-x)=1. 7）设随机变量X、Y相互独立，且p(X≤1)=1/2， p(Y≤1)=1/3，则p(X≤1,Y≤1)=1/6. 8）已知P(X=0)=1/2，P(X=1)=1/4，P(X=2)=1/8，则 E(X^2)=1/2. 9）设随机变量X~U[0,1]，由切比雪夫不等式可得P(|X-1/2|≥1/4)≤1/4. 4.答案解析 1）p(B)=0.375 由乘法公式p(AB)=p(A)p(B)可得，0.3=0.8p(B)，解得 p(B)=0.375. 2）P(未击中)=0.3×0.6+0.4×0.7=0.58
高校统计学专业数理统计期末考试试卷及答案
高校统计学专业数理统计期末考试试卷及答 案 第一部分：选择题（共60分） 请在每道题目后面括号内选择正确答案并填写在答题卡上。 1. 下列哪个统计指标可以用于描述数据的集中趋势？ A. 标准差 B. 方差 C. 中位数 D. 偏度 （） 2. 某班级的人数的平均值为65，标准差为4。如果一个同学的分数在80分的位置上，其标准化分数为多少？ A. -3.75 B. -3 C. 3 D. 3.75 （）
3. 对于一个正态分布，大约有多少个观测值在平均值的两个标准差 范围内？ A. 68% B. 95% C. 99.7% D. 100% （） 4. 下列哪个检验方法可以用于比较两个样本均值是否有显著性差异？ A. 卡方检验 B. 方差分析 C. T检验 D. 相关分析 （） 5. 对于一组数据，如果众数、中位数和平均数三者相同，则数据呈 现什么类型的分布？ A. 正态分布 B. 偏态分布 C. 均匀分布
D. 无法确定 （） 第二部分：填空题（共40分） 请在下列每道题目的空格内填写正确答案。 1. 离散型随机变量的概率质量函数是由______给出的。 2. 两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。 3. 在正态分布中，标准差为1，均值为0的分布称为______。 4. 在假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则拒绝______假设。 5. 相关系数的取值范围为______。 6. 在回归分析中，自变量对因变量的解释程度可以通过______来衡量。 7. 当两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。 8. 当置信区间越窄时，对于参数估计的精确度越______。 第三部分：简答题（共100分） 请简要回答下列问题。 1. 请解释什么是统计学，并简要介绍统计学在实际生活中的应用场景。 2. 请解释什么是正态分布，并说明其性质和应用。
概率论与数理统计_湖南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
概率论与数理统计_湖南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题 库2023年 1.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关 系数为-0.5，估计P{-6 参考答案: ≥11/12 2.当X与Y 满足条件（）时，有 E（XY）=E（X）E（Y） 参考答案: X 与 Y 独立 3.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“×”及“-”，由于通信系统受到干扰， 当发出信号“×”时，收报台分别以-概率0.8及0.2收到“×”及“-”；又当发出信 号“-”时，收报台分别以概率0.9及0.1收到“-”及“×”，求当收报台收到“×”时，发报台确实发出信号“×”的概率是( )，以及收到“-”时，确实发出“-”的概率是 ( ). 参考答案: 0.923, 0.75 4.一猎人用猎枪向一只野兔射击，第一枪距离野兔200m远，如果未击中， 他追到离野兔150m远处进行第二次射击，如果仍未击中，他追到距离野 兔100m处再进行第三次射击，此时击中的概率为1/2，如果这个猎人射击 的命中率与他离野兔的距离的平方成反比，则猎人击中野兔的概率为( ). 参考答案: 0.66 5.某电路由元件A,B,C串联而成，且A,B,C相互独立，已知各元件不正常的概 率分别为P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(C)=0.6.则电路不正常概率p=( ).
参考答案: 0.832 6.在5个数字1,2,3,4,5中任取一数，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则【图片】 参考答案: {1,4} 7.设【图片】为某个随机变量的概率密度函数，则其必满足的性质为 参考答案: 非负函数 8.当（X，Y）为（）时，“X与Y 相互独立”和“X与Y 相互独立”等价 参考答案: 二维正态分布 9.在一个 n 个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都 不相同，晚会期间各人从在一起的 n 件礼物中随机取一件，则抽中自己礼物的人数 X 的均值为（） 参考答案: 1 10.假设有10只同种电器元件，其中有2只不合格品，装配仪器时，从这批元 件中任取一件，如果是不合格品，则扔掉重新取一只；如果仍是不合格品，则扔掉再取一只，设在取到合格品之前已经取出的不合格品只数为随机变量X ，则数学期望 E（X）=（） 参考答案: 2/9
数理统计期末练习题
数理统计期末练习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
数理统计期末练习题 1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于,则n 至少为多少 2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求 )2.0|(|>-y x P . 5.设161,,x x 是来自),(2δμN 的样本,经计算32.5,92==s x ,试求) 6.0|(|<-μx P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有 α≤
++-+P k x x x x x x 11．设n x x ,,1 是来自),(2 1σμN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~) ()(2 221-+-+-= +m n t s y d x c t m d n c ωμμ其中 222 22 ,2 )1()1(y x y x s s m n s m s n s 与-+-+-= ω分别是两个样本方差. 12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2 σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_ 2 21 1(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数c 使得1n n c n x x t c s +-=服从t 分布,并指出分布的自由度 。
数理统计学期末考试题及答案27
数理统计学期末考试题及答案27 一、填空题。 1、一个三角形的面积是72平方厘米，底是36厘米，高（ 4 ）厘米。 2、在3.20、3.02、2.92、3.3和3.2这五个数中，最大的数是（ 3.3 ），最小的数是（ 2.92 ），相等的数是（ 3.20 ）和（ 3.2 ）。 3、如果米德向北走40米记作＋40米，那么阿派走了－70米，表示他向（南）走（ 70 ）米。 4、米德按一定的规律写数：1、2、-3、4、 5、- 6、 7、 8、-9……，当写完第20个数时他停了下来。他写的数中一共有（ 14 ）个正数，（ 6 ）个负数。 5、一个三角形的底是12厘米,高是6厘米,这个三角形的面积是（ 36 ）平方厘米,与这个三角形等底等高的平行四边形的面积是（ 72 ）平方厘米。 6、化肥的包装袋上标有“50±1kg”的字样，表示这袋化肥的重量在（ 49kg ）～（ 51kg ）之间。 7、一个直角梯形，上、下底之和是22厘米，两腰分别长6厘米和10厘米，这个梯形面积是（ 66 ）平方厘米。 二、选择正确的答案，将序号填入括号内。 1、欧拉早上从家到学校上学，要走1.3千米，他走了0.3千米后发现没有带数学作业本，又回家去取。这样他比平时上学多走了（ C ）
千米。 A、1 B、1.6 C、0.6 D、0.3 2、有一个直角三角形，三条边的长度分别为3分米、5分米、4分米，这个三角形的面积是（ C ）平方分米。 A、12 B、10 C、6 D、15 3. 下列四组数①2、－1、＋7 ②2、0、＋5 ③2、―6、―5 ④7、＋6、5数组中三个数都不是负数的数组是（ D ）。 A、③④ B、①② C、②③ D、②④ 4、一个三角形，底扩大6倍，高缩小2倍，那么这个三角形的面积（ A ）。 A、扩大3倍 B、缩小2倍 C、扩大6倍 D、不变 三、判断题。 1、海拔－100米与海拔＋100米的高度相差100米。（×） 2、一个两位小数精确到十分位是5.6，这个两位小数最大是5.64。（√） 3、两个等底等高的梯形，形状一定完全相同。（×） 4、在8.7的末尾添上两个0，这个小数的大小不变。（√） 四、好题巧妙算。 1、直接写得数。 0.64＋0.16＝0.8 0.8＋0.35＝1.15 5.5－0.7＝4.8 3.64＋4.72＝8.36
2021年大学公共课概率论与数理统计期末考试卷及答案(最新版)
2021年大学公共课概率论与数理统计期末考试卷及答案（最新版） 一、单选题 1、设总体X 服从正态分布() 212,,,, ,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为 （A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2 1 1n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A 2、在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用 （A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2 χ检验法 【答案】B 3、对总体 的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间 (A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值 (C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值 【答案】D 4、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是 （A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H 【答案】A 5、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 （A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 【答案】B 6、在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用 （A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2 χ检验法 【答案】B 7、若X ～()t n 那么2χ～ 2 ~(,)X N μσμμ
数理统计 期末试题及答案
数理统计期末试题及答案 注意事项：本文为数理统计期末试题及答案，按照试题的要求，将试题和答案进行整理和排版，以便学生们参考和复习。以下为试题及答案的详细内容。 一、选择题 1. 下列哪个统计图可以用于表示定性变量的分布情况？ A. 饼图 B. 直方图 C. 线图 D. 散点图 答案：A 2. 假设某地区的年降雨量服从正态分布，平均降雨量为50mm，标准差为10mm。设有一天的降雨量为X，X~N(50,10^2)，则P(X≥60)等于多少？ A. 0.1587 B. 0.3413 C. 0.5000 D. 0.8413 答案：D
3. 在一场篮球赛中，甲队的命中率为75%，乙队的命中率为80%。已知甲队共投篮20次，乙队共投篮30次。问：甲队在这场比赛中命中球的次数比乙队多多少次？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：B 4. 某投资公司第一天投资100万美元，以后每天投资额为前一天的1/4。设投资额构成一个等比数列，求该公司的总投资额。 A. 200万美元 B. 240万美元 C. 250万美元 D. 300万美元 答案：C 5. 一个城市中共有A、B、C三个医院，过去一年中A医院门诊病人数占总病人数的1/3，B医院门诊病人数占总病人数的1/4，C医院门诊病人数占总病人数的1/6。如果某天随机选择一位门诊病人，那么他就诊于C医院的概率是多少？
A. 1/6 B. 1/5 C. 1/4 D. 1/3 答案：A 二、计算题 1. 设X为正态分布随机变量，已知X~N(50,16)，求P(45≤X≤55)。 答案：要求P(45≤X≤55)，可以使用标准正态分布表计算。先求得标准化后的值：(45-50)/4=-1.25，(55-50)/4=1.25。查表可得P(- 1.25≤Z≤1.25)=0.7881-0.1056=0.6825。故P(45≤X≤55)≈0.6825。 2. 甲、乙两人独立地各自以相同的速率生产零件，甲人生产的零件 平均每小时有2个次品，乙人生产的零件平均每小时有3个次品。问：甲、乙两者共生产5个零件中至少有4个次品的概率是多少？ 答案：将问题转化为二项分布的问题，甲人每个零件中次品概率为 p=2/(2+1)=2/3，乙人每个零件中次品概率为p=3/(3+1)=3/4。根据二项 分布的性质，有P(X=k)=(nCk)*(p^k)*((1-p)^(n-k))。所以 P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=(5C4)*((2/3)^4)*((1-2/3)^(5- 4))+(5C5)*((3/4)^5)*((1-3/4)^(5-5))≈0.5988。 3. 某公司的员工年薪服从正态分布，平均年薪为5万元，标准差为 1万元。若从该公司中随机抽取8人，并计算其年薪平均值，则该平均 值的抽样分布是什么？
概率论和数理统计期末试题和答案解析
概率论与数理统计期末试卷 一、填空〔每题2分，共10分〕 １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示"出现奇数点〞，表示"点数不大于3〞，则表示______________________。３．互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择〔每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每题2分，共20分〕 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记"取到2只白球〞，则〔〕。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, "出现正面〞称为〔〕。 (A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则〔〕。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则以下结论中肯定正确的选项是〔〕。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则以下式子正确的选项是〔〕。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则〔〕。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 〔〕。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进展一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为〔〕。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3
数理统计_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数理统计_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年 1.一个参数的矩估计是唯一的. 参考答案: 错误 2.在假设检验中，【图片】表示原假设，【图片】表示备择假设，则称为第一 类错误的是 参考答案: 为真，接受 3.现有以下结论（1）泊松分布族【图片】是指数族. (2) 二项分布族{b(n,p),0 参考答案: 3 4.一项研究表明，司机在驾车时因为接打电话而发生交通事故的概率p超过 15%，针对该问题提出如下原假设和备择假设H0：p<15%，H1:p≥15%. 参考答案: 错误 5.设总体【图片】,其中【图片】未知，【图片】是从总体X中抽取的样本， 在显著性水平【图片】下接受原假设【图片】，则当【图片】时，下列结论( )正确. 参考答案: 接受
6.分别来自两个总体的两个样本，当样本容量充分大时，样本均值差的抽样分 布近似服从正态分布. 参考答案: 正确 7.假设总体服从泊松分布，从该总体抽取容量为200的样本，则样本均值近 似服从正态分布. 参考答案: 正确 8.假设检验中，α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本 容量给定时，下列说法正确的是( ). 参考答案: α和β不能同时减小 9.在假设检验中，当我们做出拒绝原假设时，表示原假设一定是错误的 参考答案: 错误 10.在正态总体的假设检验中，能用“≥”代替拒绝域的表达式中的“>”. 参考答案: 正确 11.在假设检验中，检验两个正态总体方差是否相等利用（）进行检验.
参考答案: F 分布 12.下列哪一个（）不成立 参考答案: 均匀分布族是指数族 13.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水 平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】越小，区间长度L越小. 参考答案: 正确 14.相互独立正态随机变量的线性组合服从（）分布. 参考答案: 正态 15.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，则样本二阶中 心矩【图片】是总体方差【图片】的矩估计. 参考答案: 正确 16.大样本性质和小样本性质的差别在于样本个数的多少. 参考答案: 错误
数理统计期末考试试题答案
1. Let be a random sample from the distribution (a) ( 8 %) Find the method of moment estimates of and. (b) ( 7 %) Find the MLE of, assuming is known. (c) ( 7 %) Giving, find the Cramer-Rao lower bound of estimates of. 2. ( 8 %) Giving, find the UMVUE of. 3. Suppose that are iid ~,. Let. (a) ( 5 %) Show that is a sufficient statistic for. (b) ( 5 %) Let. Show that is an unbiased estimate of. 4. (10%) Find the UMVUE of. 5. Let be a random sample from a, , distribution. Consider testing vs. (a) (10%) Find a UMP level test,. (b) ( 7 %) For, the test rejects, if. Find the power function of the test. (c) ( 8 %) For, the test rejects, if. 6. Evaluate the size and the power of the test. 7. (10%) Let be iid distribution, and let the prior distribution of be a distribution, ,. Find the posterior distribution of. 8. Let be a random sample from an exponential distribution with mean,. (a) ( 5 %) Show that is a sufficient statistic n for. (b) ( 5 %) Show that the Poisson family has a monotone likelihood ratio, MLR. ( 5 %) Find a UMP level test of vs by the Karlin-Rubin Theorem shown below. [Definition] A family of pdfs or pmfs has a monotone likelihood ratio, MLR, if for every, is a monotone function of. [Karlin-Rubin Theorem] Suppose that is a sufficient statistic for and the pdfs or pmfs has anon-decreasing monotone likelihood ratio. Consider testing vs. A UMP level test rejects if and only if, where. 1. 數理統計期末考試試題答案 2. (a) Since and J Let and J・ Furthermore, , , The MME of.and are, (b) Let. Furthermore, J So, is the MLE of. (c) CRLB = (c) Since, is an unbiased estimate of, and CRLB, is the UMVUE of. [Or] Given, is an exponential family in. is a sufficient statistic for. 3. Since is an unbiased estimate of and a function of sufficient statistics, by Rao- Blackwell Theorem, is the UMVUE of. 4. (a) Let and. By factorization theorem, is a sufficient statistic for. [Or]
2021年大学必修课概率论与数理统计期末考试题及答案(精选版)
2021年大学必修课概率论与数理统计期末考试题及答案（精选版） 一、单选题 1、在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有 （A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立 【答案】D 2、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ） )(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 2 1 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D 3、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ 且Y X ,相互独立，则 A ） 9/1,9/2==βα B ） 9/2,9/1==βα C ） 6/1,6/1==βα D ） 18/1,15/8==βα 【答案】A 4、设()(P Poission λX 分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= A ）1， B ）2， C ）3， D ）0 【答案】A 5、设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是 A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|} C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是 【答案】C 6、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为 的样本，则下列说法正确的是___ __ (A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异 i m 2 11.()i m r e ij i i j S y y ===-∑∑
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题一（一） 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率； 4、已知随机变量X 的密度函数为： ,0()1/4, 020,2 x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩ , 则常数A=, 分布函 数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<=； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y ，则Z=max(X,Y)的分布律：； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互，则D(2X-3Y)=, COV(2X-3Y, X)=； 7、设 125 ,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k =时， ~(3) Y t = ； 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12 ,, ,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。 9、设样本 129 ,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参 数a 的置信度为95%的置信区间：； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1,02()2 0,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4,||,02,(,)0, y x x x y ϕ<<<⎧=⎨ ⎩其他 1） 求边缘密度函数 (),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数 ()Z z ϕ； 3、（11分）设总体X 的概率密度函数为： 1,0(),0 00 x e x x x θϕθθ -⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩ X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1）求参数θ的极大似然估计量ˆ θ； 2）验证估计量ˆ θ是否是参数θ的无偏估计量。 2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 附表： 0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015 ,()()(5)()t t t t u u ====== 答 案（模拟试题一） 三、 填空题（每空3分，共45分） 1、0.8286 ， 0.988 ； 2、 2/3 ； 3、14212661112C C ⨯，6126 6! 12C ；
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为 1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： 2/3 ； ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： 142 1266 1112C C ⨯ ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 6126 6! 12 C ； 4、已知随机变量X 的密度函数为： ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩ , 则常数A= , 分布函数F (x )= 1, 021,0224 1, 2x e x x x x ⎧≤⎪⎪ ⎪+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩ , 概率{0.51}P X -<<= 0.5 3142 e -- ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ； 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时， ~(3)Y t = ；
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,, ,n X X X 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为 样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参 数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ϕ<<<⎧=⎨ ⎩其他 1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题（每空2分，共20分） 1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）. 5、已知随机变量X ～N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题（每题12分，共48分） 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =⨯+⨯+⨯== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1). ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ