广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用

广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用
吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴
【摘要】Based on the properties of the rank of the matrix polynomial, the necessary and sufficient conditions of generalized m involutory matrix and (m,l) idempotent matrix were obtained so as to generalize and improve the corresponding results of m involutory matrix and m-idempotent matrix.%由矩阵多项式的秩性质,给出广义m对合矩阵与(m,l)幂等矩阵的充要条件,推广并改进了m对合矩阵和m幂等矩阵的相应结论.
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2012(050)006
【总页数】6页(P1069-1074)
【关键词】广义m对合矩阵;(m,l)幂等矩阵;矩阵秩;充要条件
【作者】吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴
【作者单位】北华大学数学学院,吉林吉林 132033;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;漳州师范学院数学系,福建漳州 363000;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;福建师范大学数学与计算机科学学院,福州 350007;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
1 基本概念与引理
设Fn×n和F[x]分别为数域F上的n×n阶矩阵和一元多项式集合; C为复数域; r(A)表示矩阵A的秩; f(x),g(x)∈F[x]的首项系数为1的最大公因式, 最小公倍式分别记为(f(x),g(x)),[f(x),g(x)]; N表示所有非负整数的集合, Z+=N\{0}.
若存在m∈Z+, 使得Am=In, 则称A∈Fn×n为m对合矩阵. 对给定的幂等矩阵
P2=P, 若AP=PA=A∈Cn×n且A2=P, 则称A为广义对合矩阵[1]. 若m,l∈N满足m>l, 并使得Am=Al, 则称A∈Fn×n为(m,l)幂等矩阵[2-3], 记
(1)
如果m(≥2)∈N, 则当Am=A时, A∈Fn×n称为m幂等的, 记
(2)
若存在最小的m, 使得m>l(m,l∈N)且Am=Al成立, 则称A∈Fn×n为本质(m,l)幂等的[2], 且本质(m,0)和(m,1)幂等矩阵分别称为本质m对合的和本质m幂等的. 由文献[2-3]知, 矩阵的(m,l)幂等性与所在数域扩大无关.
矩阵A∈Cn×n的Jordan标准形中的幂零Jordan块的最大阶数称为A的秩指数[4], 记为l(A). 本文把A∈Fn×n的特征多项式在复数域上的根称为A的特征根, 数域F上n×n阶矩阵总有n个特征根；单位根λ的阶k是指使λk=1成立的最小正整数, 易知n次单位根的阶不一定相同.
引理1[3] 设A∈Fn×n, 则A为(m,l)幂等的⟺l≥l(A), 同时A的每个非零特征根都是m-l次单位根, 且由其确定的Jordan块都是1阶的.
引理2[2] 设A∈Fn×n不是幂零的, 则A为本质(m,l)幂等的⟺ l=l(A), 每个非零特
征根λj确定的Jordan块都是1阶的,且所有零特征根的阶的最小公倍数为m-l.
引理3 设A∈Fn×n. 1) 如果l≥2且A为本质(m,l)幂等矩阵, 则A不可对角化； 2) 如果A为m幂等矩阵, 则A可对角化.
证明: 1) 由式(1)、引理1和引理2知, 当l≥2时, 本质(m,l)幂等矩阵都不可对角化.
2) 由式(2)知xm-x为m幂等矩阵A的化零多项式, 表明A的最小多项式无重根, 应用文献[5]中问题3.4.25和文献[6]中推论3.3.8知A可对角化. 证毕.
引理4[7-9] 设A∈Fn×n, f(x),g(x)∈F[x], 则
r(f(A))+r(g(A))=r((f(A),g(A)))+r([f(A),g(A)]).
引理5[10] 设P为幂等阵, 若A∈Fn×n满足AP=PA=A, 则存在可逆阵W∈Fn×n, 使得
A=Wdiag(A1,0)W-1, P=Wdiag(Ir,0)W-1, r(P)=r, A1∈Fr×r.
引理6 设则r(Ak)=r(Al), k=l+1,l+2,…,m.
证明: 由矩阵方幂的秩性质知, r(Al)≥r(Ak)≥r(Am)=r(Al). 证毕.
2 广义m对合矩阵的充要条件及应用
定理1 设A,P(=P2)∈Fn×n,满足AP=PA=A, 给定m(≥2)∈N, 则
(3)
其中ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根.
证明: 由引理5知, 存在可逆阵W∈Fn×n, 使得
Am-P=Wdiag(-Ir,0)W-1, A-εiP=Wdiag(A1-εiIr,0)W-1;
(4)
r(Am-P)=r(-Ir), r(A-εiP)=r(A1-εiIr), i=0,1,…,m-1.
(5)
设多项式fi(x)=x-εi(i=0,1,…,m-1), 这里ε0,ε1,…,εm-1为所有m次单位根. 因此
(6)
于是, 由文献[7]中定理2.2、文献[11]中推论3和文献[12]中推论1及式(4)～(6), 有
即式(3)成立. 证毕.
由定理1, 可得:
定理2[3] 设A,P(=P2)∈Fn×n, 满足AP=PA=A, m(≥2)∈N. 如果ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根, 则A∈Fn×n为广义m对合的⟺
当P=In时, 由定理2可得文献[13]的定理2.
定理3 设A,P(=P2)∈Fn×n, 满足AP=PA=A, m(≥2)∈N. 如果l0,l1,…,lm-1∈Z+, 且ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根, 则
(7)
证明: 由引理5和定理1的证明知, 对i=0,1,…,m-1, l0,l1,…,lm-1∈Z+, 有
(A-εiP)li=Wdiag((A1-εiIr)li,0)W-1, r(A-εiP)li=r(A1-εiIr)li;
(8)
(9)
设fi(x)=x-εi(i=0,1,…,m-1), 则由式(6)知
(10)
于是由文献[7]中定理2.2、文献[11]中推论3、文献[12]中推论1及式(8)～(10), 有
即式(7)成立. 证毕.
当l0=l1=…=lm-1=1时, 由定理3可得定理1.
例1 设易见A3=I3, 且3是使Ak=I3(k∈Z+)成立的最小正整数(即A为本质3对合的), 但另一个3次单位根并不是A的特征根.
在文献[13]定理1和定理2及文献[14]定理1的证明中, 都使用了：“(A-
εiIn)x=0的解空间Vi是属于特征根εi的特征子空间”. 例1表明, 即使A∈Cn×n 是本质m对合矩阵, 但所有的m次单位根ε0,ε1,…,εm-1也未必都是A的特征根. 因此, 定理1～定理3不仅证明要简单得多, 而且与m次单位根εi是否为
A∈Cn×n的特征根无关.
定理4 给定P=P2, A∈Fn×n满足AP=PA=A, 则
r(A-P)+r(P+A+A2+…+Am-1)=r(P)+r(Am-P), m(≥2)∈N；
(11)
Am=P ⟺ r(A-P)+r(P+A+A2+…+Am-1)=r(P).
证明: 由引理5知, 存在可逆阵W∈Fn×n, 使得
Ak-P=Wdiag(-Ir,0)W-1, Ak=Wdiag(,0)W-1, k∈Z+.
(12)
于是由文献[13]中定理2和式(12), 有
即式(11)成立, 进而可得Am=P的充要条件. 证毕.
当P=In时, 由定理4可得文献[15]的定理2.1和定理3.3.
3 (m,l)幂等矩阵的充要条件及应用
定理5 设A∈Fn×n, m,l∈N满足m>l, 若ε0,ε1,…,εm-l-1为m-l次所有单位根, 则
(13)
证明: 设f(x)=xl, g(x)=xm-l-1∈F[x], 则
(f(x),g(x))=1, [f(x),g(x)]=xm-xl;
注意到(x-εi,x-εj)=1, i≠j和由引理4, 有
r(Al)+r(Am-l-In)=n+r(Am-Al).
(14)
又由定理1的证明可知,
于是由式(14)有
即式(13)成立. 证毕.
由r(A0)=r(In)=n和式(1)知: 当l=0时, 由定理5可得文献[13]中定理2, 且可得到不同于引理1和引理2的(m,l)幂等矩阵的判定条件.
定理6 设A∈Fn×n, m,l∈N满足m>l, 若ε0,ε1,…,εm-l-1为m-l次所有单位根, 则
⟺
(15)
式(15)与如下由文献[8]中定理7给出的(m,l)幂等矩阵充要条件的形式不同:
⟺r(Al)+r(A-Am-l+1)=r(A), m>l(≥2)∈N.
当l=1时, 由式(15)可得文献[16]中定理6.
定理7 设A∈Fn×n, 则下述结论等价：
2) r(Ak)+r(Am-l-In)=r(Ak)+r(A-In)+r(In+A+A2+…+Am-l-1)-n=n, l≤k≤m-1;
3) r(Al)+r(Am-l-In)=r(Al)+r(A-In)+r(In+A+A2+…+Am-l-1)-n=n.
证明: 1)⟺ 2). 当t,k∈N满足t>k时, 设
f(x)=xk, g(x)=x-1, h(x)=1+x+x2+…+xt-k-1∈F[x],
显然f(x),g(x),h(x)两两互素, 且s(x)=f(x)g(x)h(x)=xt-xk, 于是由秩恒等式(14)或引理4有
r(At-Ak)=r(Ak)+r(At-k-In)-n,
而由文献[15]中式(2.2)和定理3.3可得秩恒等式
r(At-k-In)=r(A-In)+r(In+A+A2+…+At-k-1)-n,
从而
其中t,k∈N满足t>k.
当时, 由其化零多项式xm-xl取m=t, l=k及式(16), 有
由式(17)和引理6可得2).
2)⟺ 3) 在2)中取k=l可得3).
3)⟺ 1) 由秩恒等式(14)知3)成立时, r(Am-Al)=0, 即证毕.
当l=1时, 由定理3可得文献[16]中定理7.
如果1为A的s重特征根, 则m-l+1(≥2)和1分别为In+A+A2+…+Am-l的s重和n-s重特征根.
证明: 设复数λ1,λ2,…,λn∈C为的全部特征根, 由引理1和引理2知
λi=0或λi=1或λi≠1且
(18)
易见为In+A+A2+…+Am-l的特征根, 由式(18), 有
(19)
因为当λi≠1且时,
所以于是由式(18)知
且
(20)
又由式(18)～(20)知, 当有s个满足λi=1的特征根时, m-l+1(≥2)和1分别为
In+A+A2+…+Am-l的s重和n-s重特征根. 证毕.
由定理8及式(18)～(20)知, 当时, In+A+A2+…+Am-l的所有可能不同特征根仅有m-l+1(≥2)和1, 即该矩阵所有的特征根都是非零的, 于是有:
推论1 设则r(In+A+A2+…+Am-l)=n.
推论1表明定理8改进了文献[16]中定理7. 作为定理8的应用, 还可得:
定理9 设如果1为A的s重特征根, 则m和1分别为In+A+A2+…+Am-1的s 重和n-s重特征根, 且
(21)
证明: 由式(1),(2)并在定理8中取l=1知, 此时m和1分别为In+A+A2+…+Am-1的s重和n-s重特征根, 于是由引理3知,在复数域上是可对角化的, 从而
In+A+A2+…+Am-1在复数域上也是可对角化的. 于是由引理3存在可逆阵
Q∈Fn×n, 使得
(22)
由及式(22), 有
即式(21)成立. 证毕.
参考文献
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