高等数学C13.1.2函数的连续性(改)

如果函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续， 且在 a 点右连续、在 b 点左连续，则称函 数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续．
函数f(x)在它的定义域内的每一点都 连续, 则称f(x)为连续函数．
从几何直观上看，区间上的连续函数 的图象是一条不间断的曲线．
基本初等函数在其定义域 内都连续。
limf
xx0
(x)f
(x0)
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三
(1)f(x)在x点 0处有;定义
(2)limf(x)存在 ; xx0
(3)x l ix0m f(x)f(x0).
如果上述三个要条有件一中个只 ,不 则满 称足 函数 f(x)在点 x0处不连 (或续 间),断 并称x0点 为 f(x)的不连(或 续间 点断 ). 点
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义,如果当自
变量的增量x 趋向于零时,对应的函数的增
量y也趋向于零,即 lim y 0 或 x 0
lim[
x 0
f
( x0

x)
f
( x0 )]
0,那末就称函数
f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.
设 xx x, 0
yf(x )f(x), 0
x 0 就 x 是 x 0 , y 0 就 f ( x ) 是 f ( x 0 ).
定义1 函数 f(x) 在x0的某一邻域内有定义, 当自变量x在此邻域内的增量Δx (= x- x0) 趋于零时, 函数的相应增量Δy无限逼近
t0
常用的等价无穷小，当
x 0
s i n xx ,t a n xx , a r c s i n xx , a r c t a n xx .
e x 1x ,ln ( 1 x )x ,1 c o s x1 x 2 ,n 1 x 11 x
2
n
第三节 函数的连续性
一、函数的连续性 二、初等函数的连续性 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质
定理1 若函数 f(x)、g(x) 都在 x0 处连续, 则 函数 f(x)±g(x)、f(x)·g(x) 也在 x0 处连续． 定理2 若函数 f(x)、g(x) 都在 x0 处连续， g(x0)≠0, 则在 x0 处函数 f(x)/g(x) 也连续．
例5 证明三角函数是连续函数． 证 我们只证cot x的连续性:
任意x0∈R, x0≠kπ(k∈Z), 由cos x、sin x 都在x0连续，且sin x0≠0，据定理2,
例1函数f（x）=x+1在x=2处的连续性
解 f（2）=3
lim f(x) lim (x 1 ) 3f(2 )
x 2
x 2
f(x ) x 1 在 x 2 处 连 续 。
例2
讨论函数
f (x)

xsin
1 x
,
0,
在 x=0 处的连续性．
x 0, x0
解 因为 limf(x)lim xsin10f(0)
x 0
x 0
x
所以 f(x) 在x=0处连续．
例3 讨论函数
g(x)

1
cos
x,

sin x,
在 x= 处的连续性． 2
x ,
2
x
2
例4
讨论f函 (x)数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的 x0,
连续 . 性
解 lifm (x ) li(x m 2 )2f(0),
x 0
x 0
lifm (x ) li(x m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
二、初等函数的连续性
1.连续函数的和差积商的运算
一. 函数的连续性
定义 函数 f(x) 满足：xl ixm 0 f(x)f(x0) ， 则称函数 f(x) 在 x0 处连续，并称 x0为函数 f(x) 的连续点．
增量 变量 u 从初值 u1 变化到终值 u2, 则 差值 u2-u1称为变量 u 在u1 处的增量, 记成 Δu, 即Δu=u2-u1． 变量 u 的增量可以是正数、负数或零．
求极限方法： 用极限运算法则；OM；无穷大与无穷
小要互条倒件；等消。去零因00,子；,分母,有0 理;化；充
求极限类型：
两个重要极限
一、第一个重要极限 lim sin x 1 x0 x
二、第二个重要极限 lim(11)x e x x
1
lim(1 t)t e
单侧连续
若 函 数 f(x)在 (a,x0]内 有 定 义 ,且 f(x0)f(x0), 则 称 f(x)在 点 x0处 左 连 续 ;
若 函 数 f(xFra Baidu bibliotek在 [x0,b )内 有 定 义 ,且 f(x0)f(x0), 则 称 f(x)在 点 x0 处 右 连 续 .
函数 f(x)在x0处连 续 是函f(数 x)在x0 处既左连续 . 又右连续
函数的增量
设函 f(x)数 在 U(x0)内有, 定 xU 义 (x0), xxx0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数
y
y
yf(x)
yf(x)
y y
x
x
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
零即, lim y 0, x0
则称函数
f(x)
在点
x0 处连续.
定义 2 设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x 时的极限存在,且等于它在 0
点 x0处的函数值 f ( x0 ),即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点 x0连续.
定义 若函数 f(x) 在 x0 处, 有 f(x0+)=f(x0) (或 f(x0-)=f(x0) )，则称函数 f(x)在x0处右(左) 连续．
函数f(x)在x0处连续的充要条件是 f(x) 在 x0 处左连续且右连续．
定义 如果函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内的每
一点都连续, 则称函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续．