有限元中四面体单元与六面体单元比较

汽车工程系湖北汽车工业学院
HUBEI UNIVERSITY OF AUTOMOTIVE TECHNOLOGY
毕业设计英文翻译
译文题目有限元中四面体单元与六面体单元比较
班号T743-4 学号28 姓名陈柯译文字数
专业车辆工程指导教师郝琪
正文
如今，有限元法已不仅仅被少数专业人士单纯的应用于机械行业，它已经成为一种面向虚拟产品开发的标准数值分析手段并能被没有很专业的有限元知识的初级产品设计着大量应用。

伴随着硬件平台及有限元软件的快速发展，有限元法已不局限于解决简单的问题。

如今的有限元模型通常都是很复杂的，使用六面体单元并不经济可行。

经验表明，大部分经济且行之有效的分析是通过二次四面体完成的。

正因如此，一复杂模型自由度会急剧增加至数以百万计。

通常情况下，迭代当成求解器用于线性方程组的的解算，图1展示了典型的四面体和六面体网状模型
借助于现代化的有限元工具，得到分析结果并不困难，，然而，正确的结果只是进行相关分析的基石，精确的数值分析结果非常依赖单元质量本身。

如今并不存在一个通用的准则去决定如何选取单元类型，但还是有一些基于经验的原则贡我们参考，这有助于我们避免分析错误并检查结果的有效性
这篇文章中我们比较了一些基于有限元四面体划分与六面体划分的分析及实验结果。

我们也同样对给基于四面体和六面体的复杂有限元模型的线性分析，非线性分析，动力分析结果做了比较
图1：典型四面体及六面体模型
1：四面体及六面体分析结果比较
让我们来看一个用弯曲理论分析的纯弯曲问题，我们将计算结果和用线性六面体单元进行有限员计算的结果比较（位移和应力）。

图2 梁弯曲问题：梁顶部端点理论分析与计算结果
图3 梁弯曲问题：梁应力分布的理论分析与数值分析结果如图2及图3所示：没有应变修正的线性六面体单元有限元模型求的得一个错误的应力分布，这种作物并不能通过改变单元数目来修正。

这种现象叫做剪切自锁。

图4 弯曲单元中使用应变修正函数与不使用应变修正函数单元示意
图4（a）展示了纯弯曲载荷下正确的，期望得到的变形配置。

这种变形配置只有在使用了应变修正函数后才能得到，反之就会得到如图4（b）所示错误变形配置。

现在我们来看看四面体单元中使用与不使用中间节点的情况。

图5 梁弯曲问题：线性四面体单元一般的网格划分求解得到错误结果弯曲问题分析中可以看出，线性四面体单元很僵硬
图6梁弯曲问题：线性四面体单元良好的网格划分求解得到错误结果通过增加单元数没能彻底改善单元僵硬情况。

图7梁弯曲问题：六面体单元一般的网格划分求解得到正确结果通过使用中间节点，我们即使在减少单元数目的情况下仍然得到了另人满意的结果。

图8 梁弯曲问题结果比较
图8展示的是用带应变修正函数的六面体单元和而次四面体单元，线性四面体单元解决梁弯曲问题总结。

很明显，基于线性四面体单元的解决方案是最不能让人接受的。

另外三种解决方案都是可行的。

为了说明正确的单元选择下映射出的结构刚度的不同，我门做了一个悬臂梁的摸态分析，前两阶频率被计算出来，我们以二次六面体单元模型的计算分析为基础将其与二次四面体，和线性四面体单元计算分析结果比较结果如图9 可以看出，只有采用了二次四面体单元的模型能求解除正确结果。

采用了四面体单元的模型即使网格网格划分做的很好依然求不出正确的结果。

图9 模态分析中的单元质量及刚度评估
下面我们讨论不同状态下集中载荷实例。

我们将二次四面体我网格求解结果与二次六面体网格求解结果作比较，并将之与实验计算结果作比较，图10为张应力比较。

图11为弯曲引力比较图12位扭矩作用下应力比较。

图10 张应力分析：集中应力数值分析结果
图11 弯应力分析：集中应力数值分析结果
图12 扭应力分析：集中应力数值分析结果
图13 集中应力测试：求解结果比较
三种集中应力测试结果反映在图13中，可以看出，二次四面体和二次六面体都能很好的求出真确结果
由于ANASYS开发的接触算法是基于点集的，有二次修形函数参与的结构单元也可以用于接触问题的计算。

图14（a）为用二次六面体计算的接触应力分布，图14 （b）为用二次六面体计算的接触应力分布。

图14 二次私卖难题与二次六面体计算结果比较
图15 带中间节点的二次四面体单元接触压力分析
2，实验结果与四面体分析结果比较
在这一部分，我们将把用四面体但愿做的有限元元数值分析结果与实验结果作比较。

三个静态问题机械实例将展示
实力一
实验中柴油机排气总成在不同静力工况下的结果与用二次中端点四面体单元有限元分析结果误差不超过5%。

图16 二次中间节点四面体总成与应力分布
实例二
刚性壳结构的分析结果如下所示。

可以看出，实验与理论分析结果吻合的很好
图17 刚性壳结构的有限元分析结果与实验结果的比较
实例三
在这个实例中，我们比较一结构的前十阶频率
图18 断路器的四面体单元分析结果与实验结果比较
可以看出看出，实验与理论分析结构误差在1%以内
3 四面体与六面体的非线性比较
下面我们要比较四面体与六面体在解决非线性问题中的区别，目的在于说明二次四面体与二次六面体都能得到合理的结果
实例一
这是一个关于非线性接触问题的分析，材料中的非线性行为被忽略
图19 基于二次四面体与二次六面体的系统仿真比较
图20 为求两种单元求装备应力的分布。

可以看到两种单元都能得到好的结果，区别在于二次六面体能在网格划分不好的情况下依然得到正确的结果。

图20 离散二次四面体与六面体的非线性装配应力求解结果比较实例二
在这个非线性接触仿真几何模型中，材料的非线性情况被考虑，我们比较这种
情况下四面体单元与六面体单元的求解结果。

图21 六面体单元有限元模型材料非线性情况下装配应力分布
图22
这张表显示的是四面体与六面体单元下下压与上拉情况下所需的力及静态线
性情况下上拉与下压力的极限值。

下面这张表显示的是四面体单元与六面体下，变形过程中的误差。

图23 离散的二次四面体与六面体数值分析结果
4 四面体单元求解薄壳结构质量分析
现在我们讨论二次四面体单元在求解薄壳结构机械行为时的质量。

我们通过板的一阶模态分析比较数值分析结果与解析法结果来研究板的刚度变化。

在壳单元问题中，由于一些原因，壳单元被广泛应用于有限元分析中，而不是经典的基于位移理论的固体单元。

由于集合模型使用壳单元首先的做出中面，然而，现在大多数的CAD模型都是3D模型，使用者必须通过3D模型先做出中面，对于一些很复杂的集合模型而言，做出中面几乎不可能，通常的解决之道是用二次四面体单元划分那些薄板形3D集合体。

由于有些薄壳结构刚度很大，求解时务必注意一些会出现的警告，，如果单元尺寸相较于结构厚度并不收敛，可能会出现病态矩阵导致求解失效。

本文中，我们通过使用四次四面体做模态分析比较简支型板的刚度，通过将求解的前四阶频率与解析法得到的结果比较，不同的长度/厚度比值情况都做了分析，目的是找到能将求解误差控制在2%以内的单元边长值。

根据结果，我们提取出了一个变量并在其基础上总结出了一个公式，
单元尺寸=变量因子*板结构厚度
图24
表1 变量因子表
结论
十年前，由于软硬件的限制，有限元模型只能解决100000个自由度一下的，工程师只能通过简化模型来降低自由度数。

但有以下几个问题。

（1）：简化过程耗时
（2）：如果分析后设计改变，简化过程就得重来
（3）：通常简化模型并不能准确反映应力分布情况，有些额外的模型是需要的。

（4）：只有有经验的有限元分析工程师能做分析
图25 复杂几何模型示例
如果使用六面体单元或者壳单元，做出如图25所示那样好的有限元模型至少需要数周。

但在现在，3D的实体集合模型可以得到很好的划分，一个模型动辄两三百万自由度是很常见的，如今求解这样的有限元模型都没有问题，模态分析已经能求
到六阶。

这些工作都可以在windows XP平台3G内存下得到很好的解决在这片文章中，我们看到二次四面体单元可以得到很好的应用，前提是单元边界和尺寸设定好，我们给出了如下几点建议
（1）：不要用线性四面体单元，它们刚性太强
（2）：二次四面体的那元要大量使用
（3）：二次六面体对拐角问题很敏感在弯曲问题中要考虑变形修正
（4）：二次六面体非常好用，但计算量太大
（5）：For thin-walled structure the limit element edge/thickness ratio to use tetrahedra is about 2000.
我们的所有结论与建议可以通过图26反映出来
图26 固体单元质量示意
参考文献
[1] ANSYS Theory Reference, Release 6.1, Swanson Analysis Systems, Inc., 2001
[2] Johnson, K.L., Contact mechanics, Cambridge university press
[3] A comparison of all-Hexahedra and all Tetrahedral Finite Element Meshes for elastic &
elastoplatic analysis. Proceedings 4th International Meshing Round table Sandia National
Labs, pp 179-181, Oct. 1995。