分式函数值域的求法(章节练习)

分式函数2
2221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域
函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。

今天我们主要讨论分式函数2
2221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。

一、若21a a ，同时为零，则函数2
2221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。

例１ 求函数3
12+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：37237)3(2+-=+-+=
x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ：
解法２：（求反函数法）
函数 312+-=x x y 的反函数为132
x y x -=- 所以 原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。

二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。

如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。

例２ 求函数2
312+--=x x x y 的值域 解：可先将函数变为)2)(1(1)(---=
=x x x x f y 。

约分后函数变为2
1)(-=
x x g 。

所以 0)(≠x g 约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2
312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。

例３求函数2
652-+-=x x x y 的值域
解：函数可变形为32
)3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。

三、若21a a ，不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数法、基本不等式法求函数的值域。

例４ 函数221
x x y x x -=-+的值域． 解法1：(判别式法) 将221
x x y x x -=-+转化为关于x 的一元二次方程（y 看作参数）： 2(1)(1)0y x y x y ---+=
(这是一个必有解的方程。

讨论使上方程有解的参数y 的范围，恰为函数221
x x y x x -=-+的值域）
①若1=y ，则10=矛盾
②由1≠y ，这时由0≥∆解得 1113y y -≤≤≠且； 13y =-时，12
x = 。

∴综上所述知原函数的值域为1[,1)3
-．
解法2：(分离常数法) 221x x y x x -=-+＝2111x x --+＝21113()24
x --+ 设213()()2
4g x x =-+，则()g x 的值域是3[,)4
+∞ 所以，原函数值域为1[,1)3-。

例5：函数222
1x x y x ++=+的值域
解：（基本不等式法）因为2221x x y x ++=
+＝111x x +++ 当1x >-时，10x +>，101
x >+，2y ≥当且仅当0x =时等号成立； 当1x <-时，10x +<，101
x <+，2y ≤-当且仅当2x =-时等号成立。

所以函数的值域为(,2][2,)-∞-+∞。

例6：求函数212
x y x x -=+-的值域 解：因为分子与分母有公因子，约分后可用上面二介绍的方法来求值域，如果不约分，也可直接用判别式法来求。

将212x y x x -=
+-转化为关于x 的一元二次方程； 2(1)120yx y x y +-+-=
当0y =时，1x =不在函数定义域内；
当0y ≠时，2(1)4(12)0y y y ∆=---≥
即 2(31)0y -≥，当2(31)0y -=时，13
y =，此时1x =不在函数定义域内。

所以函数值域内11(,0)(0,)(,)33
y ∈-∞+∞ 对于形如22ax bx c y dx ex f
++=++（220a d +≠）的二次分式函数的求值域问题，只要函数22ax bx c y dx ex f
++=++（220a d +≠）的定义域没有额外限制条件，就能够用判别式法求解，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域。

同时要注意：1、把分式函数转化为关于x 的一元二次方程后，要对二次项系数进行讨论。

2、要对0∆=时y 的值代回方程检验。