动力系统简介[开题报告]

毕业论文开题报告

数学与应用数学

动力系统简介

一、选题的背景、意义

动力系统的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体的流动。在常微分方程发展早期，牛顿、莱不尼兹、欧拉、伯努里(家族)等发现了许多通过初等函数或他们的积分表达式等方法来求常微分方程的通解。但是，Liouville 在1841年证明了大多数微分方程都不能求得显式解。因而动力系统的历史一般可以追溯到19世纪末法国大数学家Henri Poincar é[]1创立的微分方程定性论，或者可以称为微分方程的几何理论。其精神是不通过微分方程的显式解而直接研究解得几何和拓扑性质。这是由于已经知道的大多数微分方程都不可能求出显式解。20世纪早期Birkhoff[]2关于拓扑动力系统的公理化式的工作为这一学科建立了大范围的理论框架。这使得动力系统的含义更为广泛，可以不一定由微分方程产生。经过了几十年相对寂静的时期，从20世纪60年代开始，动力系统，尤其是与计算机迭代直接相关的离散时间的动力系统，迅速活跃起来。新的研究方向相继产生，形成了各具实力的美国学派、前苏联学派、欧洲学派、巴西学派以及廖山涛先生独树一帜的理论为代表的中国学派。经过40多年的迅速发展，动力系统前进的势头，越来越生机勃勃。

今天的动力系统大致有微分动力系统、Hamilton动力系统、拓扑动力系统、复动力系统、遍历论、随机动力系统等若干方向。其界限并不严格，相互交叉很多。微分动力系统研究一般的可微系统。它的发端是60年代初兴起的结构稳定性研究。所谓的结构稳定性是说系统的整体拓扑在可微扰动下保持不变，这显然是一恢弘的概念。其研究产生了很大的影响，成为现代动力系统诞生的一个标志。结构稳定性系统比较理想而少见。大量存在的，是不那么结构稳定的系统，和很不结构稳定的瞬息万变的系统。目前微分动力系统的研究对非结构稳定系统正在取得大量激动人心的成果。与一般的微分动力系统相比，比较特殊的是自成体系的Hamilton动力系统理论。这一理论有天体力学的背景，更加地传统，也更贴近现实的物理世界。其结构精巧微妙，拥有很多深刻的发现，比如，著名的KAM理论。拓扑动力系统则研究一般的连续系统，在纯粹的意义下研究动力系统最基本的概念，最广泛的共性。其理论清晰透彻，高度凝练。有和动力系统紧密相关的分型理论。分形理论以其奇异的几何图形和

氛围概念倾倒着无数研究它的学者，也为动力系统的复杂研究对象提供了鲜明的几何直观。动力系统的复杂不变集常常是分形，比如奇异吸引子，以及更加一般的奇异不变集。80年代突起的复动力系统，以其强大的现代计算机在复平面上向世人展示了变幻无穷的下按时的分形世界。挟实复分析身后的根基，分形和复动力系统犹如交织在一起的两股旋风，十几年来风靡一时。遍历论和新起的随机动力系统则在分析、拓扑的基础上进一步从统计的角度开展深入的研究，其理论宽广厚重。这些愤分支有一些共同的数值不变量，比如拓扑熵、Lyapunov 指数，对动力系统的一些基本数量随时间增长的规律做了扼要的提炼，对整个系统起着宏观标志的作用，有时甚至是火龙点睛。它们之间的关系尤其引人入胜。几十年来动力系统的各个分支互相呼应，互相交织地向前发展。目前富于挑战性的重要问题仍然不断出现。这也如真是的宇宙，我们所尚未了解的，相对于已经了解的，是一个浩瀚无边而激动人心的世界。这就赋予动力系统不竭的生命力。

动力系统的生命力也许特别来自它与实际应用的联系。微分方程本来就有联系实际的特点。现代计算机武装起来的离散动力系统的划时代发展，使这一联系更为现实有力。比如著名的Lorcnz系统和Henon系统，就是气象学家和天文学家分别发现的。计算机屏幕上的演示说明，这两个系统的核心部分象是有复杂的吸引子[]3。几十年的研究逐步揭开了其中极为丰富优美的数学内涵，确定它们的确是非结构稳定的奇异吸引子。说这样的成果是理论的还是应用的都不足以表达人俐的欢愉，因为理论和应用在这里同时达到了极致。

动力系统的一些观念产生了远远越出本学科的影响。突出的是近年来深受注意的混沌与复杂性的科学观念。所谓混沌是指高度复杂的、对误差极其敏感的性态。60年代初在结构稳定性研究中发现的Smalc马蹄揭示，复杂性可以与结构稳定性共存。这一重要发现催生了现代的混沌概念。对混沌概念是否有统一的数学定义并不重要。已有的许多不同的数学描述，恰恰表现了这一概念不寻常的魅力。重要的是它的认识论意义。它发现，复杂的并曾经被认为是不可认识的现象，其实是我们这个世界基本的存存方式，是不可能回避也无须回避的现实。高度复杂而又可认识——这或许是思辩的命题正在成为人们习以为常的生活内容。可以说，混沌与复杂性的观念，是动力系统能够引以自豪地献给整个科学的礼物。

以廖山涛教授为代表，我国老一辈数学家在动力系统领域作出了重要的贡献。廖山涛先生从上世纪60年代初即投身于当时初现端倪的微分动力系统领域，是这一领域在世界范围内最早的几位开拓者之一。在随后十几年与世界相对隔绝乃至动乱的年代，廖先生在他小小的书斋里，顽强地进行着少见地系统而深刻的数学研究。他的典范方程组和阻碍集两大理论就

是在这一期间完成的，为我国数学界一段佳话。这些理论因其独到之处成为今天动力系统中国学派的标志[]4。在廖先生和其他老一辈数学家的长期辛勤耕耘栽培下，几十年来我国动

力系统的各个分支都有了很大的发展，有了一支相当整齐的研究队伍，尤为可喜的是有才华的年轻人纷纷脱颖而出。我国动力系统学者的研究工作已经走向世界，在国际上有了不可忽视的地位。

系统稳定性有非常重要的意义，小到一个具体的控制系统，大至一个社会系统、金融系统、生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下运行的，承受这种干扰之后，能否保持预定的运行或工作状态，而不至于失控，摇摆不定，至关重要。所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。

二、相关研究的最新成果及动态

随着现代科学技术的飞速发展，数学正日益广泛地应用于各种科技和生产领域，并建立了许多数学模型来描述各种现实客体。这其中的一个中心问题便是研究系统的性质，以及研究系统能够稳定地起作用的条件，这就需要我们去学习和研究两种最常见的稳定性：即Lyapunov稳定性和实用稳定性。在近十几年来人工神经网络的理论和应用的研究，形成了世界性的热潮，其中稳定性就扮演了重要的角色。在控制系统的设计中，系统的鲁棒性一直倍受国内外学者的重视。控制系统是否具有良好的鲁棒性，成为衡量系统性能优劣的重要标志。近年来，许多学者研究了线性区间动力系统的鲁棒稳定性，给出了判断此类系统的鲁棒稳定性的充分条件。1978年V．L．Khoritonnov给出了区间多项式的Hurwitz稳定等价于四个顶点多项式的Hurwitz稳定的结果[]5，开辟了研究区间矩阵与区间动力系统鲁棒稳定性的先河。1983年，S．Bialas首先断言：区间矩阵的Hurwitz稳定性等价于2矿个顶点矩阵的Hurwtiz 稳定性[]6。然而，Barmish与Hollot于1984年给出反例说明Bialas的结论是不正确的[]7。此后众多学者都致力于区间矩阵与区间动力系统稳定性的充要条件的研究，期间一些学者给出

-。由于大量的工程系统都含有时滞，时滞的存在是系统不稳定的一了很多优秀的判据[]8[]11

个重要因素，因而时滞系统的研究已成为控制理论研究的热门课[]12。到目前为止，具有时滞的线性区间动力系统的鲁棒稳定性的讨论多数借助于正定矩阵、M矩阵的性质或微分不等式做工具。自二十世纪五十年代以来，离散控制系统的理论研究与实际应用工作，逐渐受到控制理论界的广泛重视，取得了很大成就，使离散控制系统的分析与设计成为控制理论的