人教版 九年级数学 与圆有关的位置关系讲义 (含解析)

第11讲与圆有关的位置关系
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。

本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。

知识梳理
讲解用时：25分钟
与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
则有：
⊙点P在圆外⊙d＞r
⊙点P在圆上⊙d=r
⊙点P在圆内⊙d＜r
注意：
点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆
心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

课堂精讲精练
【例题1】
到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ）。

A ．圆的外部
B ．圆的内部
C ．圆
D ．圆的内部和圆
【答案】D
【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系，
根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合； 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．
所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）． 故选：D ．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决。

教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：盱眙县校级月考 年份：2016秋 【练习1】
已知Rt⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=7，CD⊙AB ，垂足为点D ，以点D 为圆心作⊙D ，使得点A 在⊙D 外，且点B 在⊙D 内，设⊙D 的半径为r ，那么r 的取值范围是 。

【答案】 4
947<<r 【解析】本题考查的是点与圆的位置关系，
⊙Rt⊙ABC 中，⊙ACB=90，AC=3，BC=7， ⊙AB=4)7(322=+，
⊙CD⊙AB ，⊙CD=4
73，
⊙AD•BD=CD 2，
设AD=x ，BD=4﹣x ．解得4
9=
x ， ⊙点A 在圆外，点B 在圆内，
r 的范围是4947<<r . 讲解用时：5分钟
解题思路：先根据勾股定理求出AB 的长，进而得出CD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论。

教学建议：熟知点与圆的三种位置关系。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：普陀区一模 年份：2018
【例题2】
已知l 1//l 2，l 1、l 2之间的距离是3cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1cm ，如果圆O 与直线l 1、l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为 cm 。

【答案】2或4
【解析】本题考查直线和圆的位置关系，
如下图所示，
设圆的半径为r
如图一所示，r ﹣1=3，得r=4，
如图所示，r+1=3，得r=2，
故答案为：2或4．
讲解用时：4分钟
解题思路：根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题。

教学建议：利用数形结合的思想解答。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：浦东新区二模 年份：2018
【练习2】
在△ABC 中，∠C=90°，AC = 5，BC = 12，若以C 为圆心，R 为半径，所作的
圆与斜边AB 没有公共点，则R 的取值范围是___________。

【答案】13
600<<R 或R>12 【解析】本题考查直线和圆的位置关系以及勾股定理，
圆心C 到斜边AB 的距离13
60=
d ， ⊙当圆C 与AB 相离时，13600<<R ， 当边AB 所有点都在圆内部时，R>12， 综上，13
600<<R 或R>12． 讲解用时：4分钟 解题思路：先求出圆心C 到斜边AB 的距离1360=
d ，则当圆C 与AB 相离时，13
600<<R ，当边AB 所有点都在圆内部时，R>12。

教学建议：注意分类讨论。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【例题3】
如果两圆的半径之比为3：2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d 的取值范围是 。

【答案】3＜d ＜15
【解析】本题考查了圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系， 设两圆半径分别为3x ，2x ，
由题意，得3x ﹣2x=3，解得x=3，
则两圆半径分别为9，6，
所以当这两圆相交时，圆心距d 的取值范围是9﹣6＜d ＜9+6，
即3＜d ＜15．
讲解用时：3分钟
解题思路：先根据比例式设两圆半径分别为3x 、2x ，根据内切时圆心距列出等式求出半径，然后利用相交时圆心距与半径的关系求解。

教学建议：熟知圆与圆的五种位置关系。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：金山区二模年份：2018
【练习3】
如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（）。

A．4 B．5C．6D．7
【答案】D
【解析】本题考查了圆与圆的位置关系以及勾股定理，
⊙Rt⊙ABC中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，⊙由勾股定理得AB=5，
⊙⊙A、⊙B没有公共点，⊙⊙A与⊙B外离或内含，
⊙⊙B的半径为1，⊙若外离，则⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜5﹣1=4，
若内含，则⊙A半径r的取值范围为r＞1+5=6，
⊙⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜4或r＞6，故选：D．
讲解用时：5分钟
解题思路：由Rt⊙ABC中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，利用勾股定理即可求得AB 的长，又由⊙A、⊙B没有公共点，可得⊙A与⊙B外离或内含，然后利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系求得答案。

教学建议：熟练掌握两圆的位置关系。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区二模年份：2018
【例题4】
如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，⊙APB=60°，点E在上，且CD切⊙O
于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是。

8
【答案】
3
【解析】本题主要考查了切线长定理及等边三角形的性质与判断，
当CD//AB时，切线CD的长最小，
由切线长定理，得PA=PB=4，AC=CE，ED=DB，
⊙L ⊙CDP =PC+PD+CD
=PC+CE+PD+DE
=PC+CA+PD+DB
=PA+PB=8，
⊙⊙APB=60°，PA=PB ，⊙⊙PAB 是等边三角形，⊙⊙PAB=60°，
因为CD//AB ，⊙⊙PCD=⊙PAB=60°，
⊙⊙PCD 是等边三角形，⊙CD=3
8 讲解用时：7分钟
解题思路：首先判断在什么情况下CD 最短．利用切线长定理，说明⊙PCD 是等边三角形，求⊙PCD 的周长并得结论。

教学建议：熟练利用切线长定理解答。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：资中县一模 年份：2018
【练习4】
如图⊙BAC=60°，半径长1的⊙O 与⊙BAC 的两边相切，P 为⊙O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为 。

【答案】33
【解析】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理， 连接AO 并延长，与ED 交于F 点，与圆O 交于P 点，此时线段ED 最大， 连接OM ，PD ，可得F 为ED 的中点，
⊙⊙BAC=60°，AE=AD ，⊙⊙AED 为等边三角形，
⊙AF 为角平分线，即⊙FAD=30°，
在Rt⊙AOM 中，OM=1，⊙OAM=30°，⊙OA=2，
⊙PD=PA=AO+OP=3，
在Rt⊙PDF 中，⊙FDP=30°，PD=3，⊙PF=
2
3， 根据勾股定理得：FD=233，
则DE=2FD=33．
讲解用时：8分钟
解题思路：连接AO 并延长，与圆O 交于P 点，当AF 垂直于ED 时，线段DE 长最大，设圆O 与AB 相切于点M ，连接OM ，PD ，由对称性得到AF 为角平分线，得到⊙FAD 为30度，根据切线的性质得到OM 垂直于AD ，在直角三角形AOM 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO 的长，由AO+OP 求出AP 的长，即为圆P 的半径，由三角形AED 为等边三角形，得到DP 为角平分线，在直角三角形PFD 中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF 的长，再利用勾股定理求出FD 的长，由DE=2FD 求出DE 的长，即为DE 的最大值。

教学建议：熟练掌握切线的性质是解本题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：鄂州一模 年份：2018
【例题5】
如图，⊙O 的半径为6，⊙ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若⊙BAC+⊙BOC=180°，则弦BC 的长为 。

【答案】63
【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，
作OH⊙BC 于H ，如图，则BH=CH ，
⊙⊙BAC+⊙BOC=180°，而⊙BAC=
21⊙BOC ， ⊙2
1⊙BOC+⊙BOC=180°，解得⊙BOC=120°， ⊙OB=OC ，⊙⊙OBC=30°， ⊙OH=
21OB=3，⊙BH=3OH=33， ⊙BC=2BH=63．
讲解用时：8分钟
解题思路：作OH⊙BC 于H ，如图，利用垂径定理得到BH=CH ，再根据圆周角定理可计算出⊙BOC=120°，则⊙B=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的
关系求解。

教学建议：熟记三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：花都区一模年份：2018
【练习5】
如图，Rt⊙ABC中，⊙C=90°，若AC=4，BC=3，则⊙ABC的内切圆半
径r=。

【答案】1
【解析】本题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，
如图，设⊙ABC的内切圆与各边相切于D、E、F，连接OD，OE，OF，
则OE⊙BC，OF⊙AB，OD⊙AC，
设半径为r，CD=r，
⊙⊙C=90°，AC=4，BC=3，⊙AB=5，
⊙BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
⊙4﹣r+3﹣r=5，⊙r=1．
⊙⊙ABC的内切圆的半径为1．
讲解用时：8分钟
解题思路：首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出。

教学建议：熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：大庆模拟年份：2018
【例题6】
如图，在平面直角坐标系中，A（0，23），动点B、C从原点O
同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x
轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一
边，在x轴上方作等边⊙BCD，设运动的时间为t秒，当⊙A与⊙BCD
的边BD所在直线相切时，求t的值。

【答案】43+6
【解析】本题考查了切线的性质以及等边三角形的性质，
作AH⊙BD于H，延长DB交y轴于E，如图，
⊙⊙A与⊙BCD的边BD所在直线相切，⊙AH=OB=t，
⊙⊙BCD为等边三角形，⊙⊙DBC=60°，
⊙⊙OBE=60°，⊙⊙OEB=30°，
在Rt⊙OBE中，OE=3OB=3t，
在Rt⊙AHE中，AE=2AH=2t，
⊙A（0，23），⊙OA=23，
⊙23+3t=2t，⊙t=43+6．
讲解用时：10分钟
解题思路：作AH⊙BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH=OB=t，再利用等边三角形的性质得⊙DBC=60°，则⊙OBE=60°，所以OE=3 OB=3t，AE=2AH=2t，从而得到23+3t=2t，然后解关于t的方程即可。

教学建议：若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：滨湖区一模年份：2018
【练习6】
如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半
径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时
间秒时，直线MN恰好与圆相切。

【答案】4﹣22或4+22
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，
作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．
设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，
⊙EF 与⊙O 相切，且⊙O 的半径为2， ⊙21b 2=2
1×2×2|b|，解得：b=22或b=﹣22， ⊙直线EF 的解析式为y=x+22或y=x ﹣22，
⊙点E 的坐标为（22，0）或（﹣22，0）．
令y=x ﹣4中y=0，则x=4，⊙点M （4，0）．
⊙根据运动的相对性，且⊙O 以每秒1个单位的速度向右作平移运动， ⊙移动的时间为4﹣22秒或4+22秒．
讲解用时：10分钟
解题思路：作EF 平行于MN ，且与⊙O 切，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ，设直线EF 的解析式为y=x+b ，由⊙O 与直线EF 相切结合三角形的面积即可得出关于b 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b 值，从而得出点E 的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论。

教学建议：解题的关键是求出点E 、M 的坐标利用运动的相对性变移圆为移直线。

难度：5 适应场景：当堂练习 例题来源：绥化模拟 年份：2018
【例题7】
已知⊙O 中，AC 为直径，MA 、MB 分别切⊙O 于点A 、B 。

（1）如图⊙，若⊙BAC=23°，求⊙AMB 的大小；
（2）如图⊙，过点B 作BD//MA ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，若BD=MA ，求⊙AMB 的大小。

【答案】
（1）46°；（2）60°
【解析】本题考查了等边三角形性质和判定、切线性质、线段垂直平分线性质、垂径定理以及平行四边形的性质和判定的应用，
（1）连接OB ，
⊙MA 、MB 分别切⊙O 于A 、B ，⊙⊙OBM=⊙OAM=90°，
⊙弧BC对的圆周角是⊙BAC，圆心角是⊙BOC，⊙BAC=23°，
⊙⊙BOC=2⊙BAC=46°，
⊙⊙BOA=180°﹣46°=134°，
⊙⊙AMB=360°﹣90°﹣90°﹣134°=46°．
（2）连接AD，AB，
⊙BD//AM，DB=AM，
⊙四边形BMAD是平行四边形，⊙BM=AD，
⊙MA切⊙O于A，⊙AC⊙AM，
⊙BD//AM，⊙BD⊙AC，
⊙AC过O，⊙BE=DE，⊙AB=AD=BM，
⊙MA、MB分别切⊙O于A、B，
⊙MA=MB，⊙BM=MA=AB，
⊙⊙BMA是等边三角形，⊙⊙AMB=60°．
讲解用时：15分钟
解题思路：（1）根据切线性质求出⊙OBM=⊙OAM=90°，根据圆周角定理求出⊙COB，求出⊙BOA，即可求出答案；
（2）连接AB、AD，得出平行四边形，推出MB=AD，求出等边三角形AMB，即可得出答案。

教学建议：（2）关键证出三角形AMB是等边三角形。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：安徽模拟年份：2018
【练习7】
在直角坐标系中，⊙A与⊙B只有一个公共点，⊙A与⊙B的半径分别为2和6，点A的坐标为（2，1），点B为x轴上一点，求点B的坐标。

【答案】()
+、()
2370
2370
-
2150
+、()
2150
-、()
【解析】本题考查了圆与圆的位置关系，
设B(x,0)，则圆心距1
AB
=x
d，
)2
(2+
-
=
⊙⊙A与⊙B只有一个公共点，⊙⊙A与⊙B相切，
当⊙A 与⊙B 内切时，r B -r A =d ，即1)2(42+-=x ， 解得：1521+=x ，1522-=x ；
当⊙A 与⊙B 外切时，r B +r A =d ，即1)2(82+-=x ， 解得：7321+=x ，7322-=x ．
综上，点B 的坐标为()2150+、()2150-、()2370+、()2370-． 讲解用时：10分钟
解题思路：当两圆内切时r B -r A =d ，当两圆外切时r B +r A =d ，然后再代入相关长度计算即可。

教学建议：注意分类讨论。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：广东模拟 年份：2018
课后作业
【作业1】
已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点，那么d 的值可以取（ ）。

A ．11
B ．6
C ．3
D ．2
【答案】D
【解析】本题考查了圆与圆的位置关系，
若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足d ＞11；
内含时的数量关系应满足0≤d ＜3．
观察选项，只有D 符合题意．
讲解用时：3分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：长宁区二模 年份：2018
【作业2】
如图，⊙O 过正方形ABCD 的顶点A 、B ，且与CD 相切，若正方形ABCD 的边长为2，则⊙O 的半径为 。

【答案】4
5
【解析】此题主要考查了正方形、圆及直角三角形的性质，
连接OE 、OB ，延长EO 交AB 于F ；
⊙E 是切点，⊙OE⊙CD ，
⊙OF⊙AB ，OE=OB ；
设OB=R ，则OF=2﹣R ， 在Rt⊙OBF 中，BF=
21AB=2
1×2=1，OB=R ，OF=2﹣R ， ⊙R 2=（2﹣R ）2+12，解得R=45． 讲解用时：5分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：寿光市模拟 年份：2018
【作业3】
如图，点P 是⊙O 外任意一点，PM 、PN 分别是⊙O 的切线，M 、N 是切点．设OP 与⊙O 交于点K ．则点K 是⊙PMN 的（ ）。

A ．三条高线的交点
B ．三条中线的交点
C ．三个角的角平分线的交点
D ．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C
【解析】本题考查了切线的性质、全等三角形的性质与判定、圆周角定理的应用等，
连接OM 、ON 、MK 、NK ，
⊙PM 、PN 分别是⊙O 的切线，
⊙PM=PN ，
⊙⊙PMN=⊙PNM ，
⊙OM=ON 易证⊙POM⊙⊙PON ，
⊙OP 是⊙MPN 的平分线，
由圆周角定理可得⊙PMK=
21⊙MOK ，⊙PNK=21⊙NOK ，⊙NMK=21⊙NOK ，⊙MNK=2
1⊙MOK ， ⊙⊙PMK=⊙NMK=⊙PNK=⊙MNK ，
⊙点K 是⊙PMN 的三个角的角平分线的交点，故选：C ．
讲解用时：8分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：鼓楼区一模 年份：2018
【作业4】
在Rt⊙ABC 中，⊙ACB=90°，BE 平分⊙ABC ，D 是边AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 经过点E ，且交BC 于点F ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若BF=6，⊙O 的半径为5，求CE 的长．
【答案】
（1）证明：连接OE．
⊙OE=OB，⊙⊙OBE=⊙OEB，
⊙BE平分⊙ABC，⊙⊙OBE=⊙EBC，⊙⊙EBC=⊙OEB，
⊙OE⊙BC，⊙⊙OEA=⊙C，
⊙⊙ACB=90°，⊙⊙OEA=90°，
⊙AC是⊙O的切线；
（2）CE=4
【解析】本题考查了切线的判定定理、垂径定理以及勾股定理的运用，（1）证明：连接OE．
⊙OE=OB，⊙⊙OBE=⊙OEB，
⊙BE平分⊙ABC，⊙⊙OBE=⊙EBC，⊙⊙EBC=⊙OEB，
⊙OE⊙BC，⊙⊙OEA=⊙C，
⊙⊙ACB=90°，⊙⊙OEA=90°，
⊙AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊙BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，⊙OH=CE，
⊙BF=6，⊙BH=3，
在Rt⊙BHO中，OB=5，
⊙由勾股定理得OH=4，⊙CE=4．
讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：聊城二模年份：2018。