第14章-2 组合变形(斜弯)

中性轴
C
ϕ η
y
中性轴垂直于弯矩作用面的弯曲形式, 称为平面弯曲. 对称 弯曲属平面弯曲.
二、非对称弯曲正应力的一般公式 叠加原理
σ=
M yz Iy Mzy − Iz
以矢量沿坐标 轴正向的弯矩 分量为正
C
My
Mz
y z
y, z 形心主轴
z
y
σ=
M yz Iy
Mzy − Iz M yz Iy
弯曲正应力沿横截 面线性变化
α
σ =0
z
σ =0
σ
压应力区 y
− max
+ σ max ≤ [σ + ] 强度条件：
− σ max ≤ [σ − ]
圆截面轴 特别注意：圆形截面总是平 面弯曲，且无尖点 故危险点应力 σ max My
F
+ σ max
ϕ ϕ
− σ max
z
y
应按矢量合成后的 M总 计算
M总 Mz − σ max
y
σ
+ max
M总 = M + M
2 y
2 z
z
σ max
M总 = W中性轴
(4) 斜弯曲的挠度 分算出两个方向的挠度分量后，按矢量合成求总挠度 x− y 3 F ϕ F cosϕ F l3
Fl cos ϕ = wy = 3EI z 3EI z
y
x−z
Fz l 3 Fl 3 sin ϕ wz = = 3EI y 3EI y
F cosϕ
y
弯矩
x
M z ( x) = F cos ϕ ( L − x)
Mz y F cosϕ (L − x) y σ′ = − =− Iz Iz
FL cos ϕ
矩形截面梁的斜弯曲
z
A
F ϕ F cosϕ
B
Fϕ
x L y x L
z
Fsinϕ
（y,z）
z
2 分算
y
(2) F sinϕ 产生以 y 为中性轴的弯曲 F sinϕ 弯矩 x M y ( x) = F sinϕ (L − x)
D2
F
( z0 , y0 ) α
F
α
z
D1
中性轴
C
My
z
y
Mz
ϕ A
y
C
wz
z
中性轴
wy
β
ϕ
y
若载荷通过截面的弯曲中心，但载荷作用方向不与任一形心主 惯性平面平行，则产生的弯曲为斜弯曲. 斜弯曲：梁上横向载荷的作用方向过横截面的弯曲中心，但不 与横截面形心主轴平行。
一、斜弯曲： 杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力(横向力)不共面 二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个 正交的平面弯曲。
矩形截面梁的斜弯曲
σ max
M z ( x) M y ( x) = + Wz Wy
M y ( x) M z ( x) σ = σ ′′ + σ ′ = y+ z Iz Iy
σ min
M z ( x) M y ( x) =− − Wz Wy
斜弯曲的特点 斜弯曲的应力
cos ϕ y sin ϕ z σ = − F ( L − x )( + ) Iz Iy
(1) 斜弯曲的中性轴位置
中性轴——由截面上弯曲正应力为零的点组成
D2
F
( z0 , y0 ) α
令 σ =0
cosϕ sinϕ y+ z =0 Iz Iy
中性轴
中性轴应为一条过原点的直线
z
C
My
z
y
Mz
D1
ϕ A
y
中性轴的斜率：
y Iz tan α = − = tan ϕ z Iy
斜弯曲的特点 中性轴的斜率为：
y
h
q
z
α =26°34´
A L
q B
q y L2 358×32 M zmax = = =403Nm 8 8 q z L2 715×32 M zmax = = =804 Nm 8 8 Mz My σ max = + ≤[σ ] Wz W y
例 1 图 示 悬 臂 梁 由 25b 工 字 钢 制 成 ， 弹 性 模 量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求：
− max
=−
M z max Wz
−
平面弯曲：梁上的外力系仅为变形前轴线所在平面内的平面力 平面弯曲 系，且变形后的轴线也为该平面内的平面曲线 对称弯曲：梁具有一个纵向对称面，而外力则作用在该对称面 对称弯曲 内；梁的变形对称于纵向对称面，这种变形形式称为对称弯曲 形心主惯性平面：杆件的轴线与横截面的形心主惯性轴所确定 形心主惯性平面 的平面 梁的横截面可能没有对称轴，但只要载荷通过截面的弯曲 中心，且作用于与任一形心主惯性平面平行的平面内时，仍可 产生平面弯曲。 平面弯曲
F ϕ F cosϕ
Fsinϕ
h
危险截面在固支端：
σ
− max
z
Mz max = F cosϕL
M y max = F sin ϕ L
b y
若截面改为圆形，危险点应力为何？
F
σ σ
+ max
=
M z max Wz
+
M y max Wy M y max Wy
F cosϕL F sinϕL = + Wz Wy F cosϕL F sinϕL =− − Wz Wy
σ ′′ = −
FL sin ϕ
My z Iy
F sinϕ(L − x)z =− Iy
矩形截面梁的斜弯曲
z x L
y
F cosϕ Fsinϕ
σ ′ > 0,σ ′′ > 0
F ϕ F cosϕ
Fsinϕ
σ ′ > 0,σ ′′ < 0
z
（y,z）
x
σ ′ < 0,σ ′′ > 0 σ ′ < 0,σ ′′ < 0
(1) 求梁上C点的应力； (2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。
q q=5kN/m C C P=2kN y
3m
z o
α=30°
z
1m
P
30°
y
z 解：(1wk.baidu.com 外力分解
Py = P cos α = 2 × cos 30° = 1.732kN
Pz = P sin α = 2 × sin 30° = 1kN
F ϕ
α
y Iz tan α = − = tan ϕ z Iy
若 Iz = I y 则 α = ϕ 中性轴与载荷垂直 ——平面弯曲 若 Iz ≠ I y 则 α ≠ ϕ 中性轴与载荷不垂直 ——斜弯曲
z
y
斜弯曲的特点
圆形、正多边形截面均有 Iz = I y F
z
故总是平面弯曲！
F
ϕ ϕ
y z
y
F ϕ
tgβ =
wy wz
=
Iy Iz
tgϕ
例2 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的 均布力作用， [σ]=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，试 选择截面尺寸并校核刚度。 解：①外力分析—分解q
b
q y =qsinα =800×0.447=358 N/m
q z =qcosα =800×0 .894 =715 N/m
中性轴的方程 中性轴
Mzy − =0 Iz
z I yM z tan ϕ = = y IzM y
a
C
z
ϕ
b
y
y
z
a, b 两点代表横截面上的最大弯曲正应力
中性轴垂直于弯矩作用面的弯曲形式 , 称为 平 面弯曲. 对称弯曲属平面弯曲.
o
o
对称弯曲、平面弯曲——中性轴都与载荷平面垂直
非对称弯曲 斜弯曲 （双向弯曲）
(后拉，前压)
(3) 求σ c 查表：
I z = 5283.96 (cm) 4
I y = 309.297 (cm) 4
Wz = 422.72 (cm) 3
W y = 52.423 (cm) 3
b
h = 250 mm， = 13mm， = 118mm t b
h 250 yc = − t = − 13 = 112 mm 2 2 zc = b 118 = = 59 mm 2 2
η = z cos ϕ − y sin ϕ
σ=
E
σ = Eε =
Eη
ρ
ρ
(z cos ϕ − y sin ϕ )
1
∫
A
zσ dA = 0
ϕ=
π
2
∫
A
yσ dA = − M z
Mz = ρ EI z
Mz z
Mzy σ=− Iz
弯矩矢量平行于 截面的任一主形 心轴时, 中性轴 沿该主形心轴, 即中性轴垂直于 弯矩的作用面.
y
在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点 wz
σ Lmax =σ D1
σ ymax =σ D 2
2 z
⑤变形计算
w= w +w
2 y
tgβ =
wy wz
β
w wy
当ϕ = β 时，即为平面弯曲。
例1 结构如图，P 过形心且与 z 轴成 ϕ 角，求此梁的最大应力 与挠度 解：危险点分析如图 中性轴 b
z
A
Fϕ
F ϕ F cosϕ
B
x L
Fsinϕ
z
y y 1 沿两个主惯性轴分解
F cosϕ 产生以 z 为中性轴的弯曲 F sinϕ 产生以 y 为中性轴的弯曲
矩形截面梁的斜弯曲
F ϕ F cosϕ
B
z
A
Fϕ
L y x L
y
x 2 分算
Fsinϕ
z
（y,z）
（1） F cosϕ 产生以 z 为中性轴的弯曲
斜弯曲
z
P
ϕ
Pz Py
x z y
Pz P
Py
y
2.叠加： 对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来
x z z y
Pz P Py P
ϕ
Pz Py
y
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 2.研究两个平面弯曲 ① 内 力
Py =Psinϕ
Pz =Pcosϕ
M z = Py ( L− x ) = P ( L− x )sinϕ =M sinϕ
η
非对称弯曲: 平面假设、单向受力假设仍然成立 弯曲正应力
σ = Eε =
Eη
ρ
非对称弯曲
σ = Eε =
Eη
C
z
Mz y dA z
ρ
x
y
σ dA
∫ σ dA = 0
A A
A
∫
A
zσ dA = 0
∫
A
yσ dA = − M z
∫ σ dA = 0 ∫ η d A = 0
非对称弯曲, 中性轴仍通过形心
x
α
P q
y z
(2) 求C点所在截面弯矩
M zc = Py (3 − 1) +
1 3m P yα q (3 − 1) 2 2 1 = 1.732 × 2 + × 5 × 2 2 = 13.46kN ⋅ m (上拉，下压) 2
1m C
x
c M y = Pz (3 − 1) = 1× 2 = 2kN ⋅ m
工程力学
北京理工大学理学院 尚玫
§14.4 斜 弯 曲
对称弯曲
截面有一纵向对称轴 ( y 轴 )，载荷作用于纵向对 称面内。
例
坡屋顶上的横梁
斜弯曲
非对称弯曲 1. 梁不具有纵向对称面; 2. 仅具有一个纵向对称面, 而外力不作用在该面
一、平面弯曲正应力分析
中性轴 y, z 形心主轴
Mz
z
C
y
m x z z y L x m
Pz P Py P L
ϕ
Pz Py
y
③中性轴方程
σ =− M (
z0 y cos ϕ + 0 sin ϕ ) = 0 Iy Iz
中性轴
y0 I z tgα = = ctgϕ z0 I y
α P z ϕ z
D1
P Py
D2
可见：只有当 Iy = Iz 时，中性轴与外力才垂直 ④最大正应力
3 叠加 x 截面上任意点处 (y, z) 的总正应力
y
F cosϕ ( L − x) y F sin ϕ ( L − x) z σ = σ ′ + σ ′′ = − − Iz Iy cosϕy sin ϕz = − F ( L − x)( + ) Iz Iy
总应力是 y, z 的线性函数，在截面上分布为一斜平面
截面有纵向对称轴，但载荷不作用在纵向 对称面内 截面无纵向对称轴，载荷过弯曲中心， 但不平行于形心惯性主轴
α
F
αF o
斜弯曲可分解为截面两个相互垂直的形心主惯性平面内的弯曲
非对称弯曲
F F α α T o
αF αF cT
若载荷不过弯曲中心，且不平行于主惯性平面 将载荷平移至弯曲中心
斜弯曲+扭转
矩形截面梁的斜弯曲
h z L
最大正应力
Pz Py P
x
α P z ϕ z
D2
P 变形计算 Py y
D1
wz
β
w wy
Py L3
y
Mz My σ L max =σ D 1 = + = −σ D 2 Wz W y
Pz L3 2 2 w = wy + wz2 = ( )2 + ( ) 3EI z 3EI y
当Iy = Iz时，即发生平面弯曲
(2) 中性轴把截面划分为 拉应力区和压应力区 拉应力区
α
z
σ =0
压应力区
y
斜弯曲的特点
（3）斜弯曲梁的强度计算
正确找出危险截面，在危险截面上正确找出危险点 外凸尖角处 危险点——距中性轴最远的点 截面周边平行于中性轴 的切线与周边的切点
F ϕ
+ σ max
拉应力区
F
+ σ max − σ max
m
M y =M cosϕ
x z z y L x m
Pz P Py P
ϕ
Pz Py
y
② 应 力
My 引起的应力： M z 引起的应力：
合应力：
σ ′=−
M yz Iy
=−
M z cosϕ Iy
σ ′′=−
Mzy M y =− sinϕ Iz Iz
z y cosϕ + sinϕ ) Iy Iz
σ =σ ′+σ ′′=− M (
2 y 2 z
Fsinϕ
wz
β
w
α
z
wy
w= w +w
当 I y ≠ I z 时,
wz I z tan β = = tan ϕ wy I y
y
β ≠ ϕ 挠曲线不在载荷平面/ 斜弯曲
α = β ，斜弯曲时挠曲线所在的平面仍与中性层垂直
总挠度矢量方向总是垂直于中性轴；一般不在载荷作用面内
例如
F
+ σ max