高中数学课件：古典概型与几何概型

所以 a 和 b 的组合有 36 种．
若方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解，
则 Δ＝b2－4a≥0，所以 b2≥4a.
当 b＝1 时，没有 a 符合条件；当 b＝2 时，a 可取 1；当 b＝3 时，
a 可取 1,2；当 b＝4 时，a 可取 1,2,3,4；当 b＝5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6；
客必然在(t－5，t]内来到车站，故 Ω＝{x|t－5<x≤t}，
欲使乘客候车时间不超过 3 min，必有 t－3≤x≤t，
所以 A＝{x|t－3≤x≤t}，所以 P(A)＝ΩA的的度度量量＝35.
所以乘客候车时间不超过 3 min 的概率为35.
答案：35
2．某人午觉醒来，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的
[答案] D
[解题方略] 与长度有关的几何概型的求法
解答关于长度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件 A 包含的基本事件转化为相应长度，即可利用几何概型的概率计 算公式求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．
考法(二) 与面积有关的几何概型 [例 2] (1)图 1 是某宾馆地毯上的图案，它是一个轴对称图 形．可从中抽象出一个正八边形，且在该正八边形中有一个边长 和该正八边形的边长相等的正方形，如图 2 所示．若向图 2 的正 八边形中任意地投掷一个点，则该点落在正方形内的概率是
B.14
1
1
C.15
D.18
解析：不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 C210＝45 种情况，而和为 30 的有 7＋23,11＋19,13＋17 这 3 种情况，所以所求概率 P＝435＝115. 答案：C
2．(2020·益阳、湘潭调研)已知 a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函
数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是
()
3
3
A.10
B.5
2
1
C.5
D.5
解析：若函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2<0，又 a
∈{－2,0,1,2,3}，故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}，
所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是25××22＝25. 答案：C
(突破微点：与时间段有关的长度型几何概型)
1．公共汽车站每隔 5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一
时刻是等可能的，则乘客候车不超过 3 min 的概率为________．
解析：设事件 A 为“候车时间不超过 3 min”，x 表示乘客来到 车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为 x. 假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为 t，据题意，乘
b2≥4c，当 b＝2 时，c 没有合适的数；当 b＝4 时，c＝2；当 b
＝6 时，c＝2,4,8；当 b＝8 时，c＝2,4,6，一共有 1＋3＋3＝7 种，
故所求概率为 P＝172.故选 C.
答案：C
2．袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红 球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色 不同的概率为________． 解析：P＝1－CC2224＝1－16＝56. 答案：56
[解析] (1)如图所示，设 AB＝a，连接 CF，根
据题意可知∠CEF＝90°，∠CFE＝45°，EF＝a2，则
CF＝ 22a，正八边形的面积为 a2＋4×12·a·a2＋ 22a2
＝2a2＋2
2a2.故所求的概率是2a2＋a22
2a2＝2＋12
＝ 2
2－1 2.
(2)因为勾股比为 1∶ 3，不妨设勾为 1，则股为 3，大正方
考法(三) 与体积有关的几何概型
[例 3] 一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在
该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行
的概率是________． [解析] 设正方体的棱长为 2a，其体积 V1＝(2a)3＝8a3， 所以正方体内切球的直径为 2a，该内切球的体积 V2＝43πa3，
()
3－ 2 A. 7
2－1 B. 2
2－1 C. 3
4－ 2 D. 14
(2)我国古代数学家赵爽所著的《周髀算经注》
中给出了勾股定理的绝妙证明，如图所示是赵爽
的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，
其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，
分别涂成红(朱)色、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2×勾
反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，
故 P＝24＝12.
答案：D
2．已知四边形 ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的
中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离
大于 1 的概率为
()
A.π4
B.1－π4
π C.8
D．1－π8
解析：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方
考点二 几何概型(综合之翼巧贯通)
考法(一) 与长度有关的几何概型
[例 1] (2020·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数 m，设 f(x)
＝－x2＋mx＋m，则函数 f(x)的图象与 x 轴有公共点的概率等于
()
A.125
B.175
3
11
C.5
D.15
[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx＋m 的图象与 x 轴有公共点，∴Δ ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4 或 m≥0，∴在[－6,9]内取一个实数 m， 函数 f(x)的图象与 x 轴有公共点的概率 P＝[－4－9－－6－]＋69－0 ＝1115，故选 D.
四、“基本活动体验”不可少 如图，射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的分环， 从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色， 靶心为金色，金色靶心叫“黄心”．射箭比 赛靶面直径 122 cm，靶心直径 12.2 cm，运动员在 70 m 外射 箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可 能的，那么射中“黄心”的概率是多少？ 解：记 A＝{射中“黄心”}． 因为 S＝πR2＝π×12222，SA＝πr2＝π·122.22， 所以 P(A)＝SSA＝ππ··112222.2222＝1100.
形的面积比，即所求概率 P＝S长方S形阴A影BCD＝2－2 π2＝1－π4. 答案：B
三、“基本思想”很重要 1．利用分类讨论思想解决古典概型问题． 2．利用转化思想与数形结合思想解决几何概型问题．
1．若 b，c 是从 2,4,6,8 中任取的两个不同的数，则方程 x2＋bx
＋c＝0 有实数根的概率为源自3．将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A
与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的概率是 ( )
A.12
B.14
1
1
C.6
D.8
解析： A，B，C，D 4 名同学排成一排有 A44＝24 种排法．当 A， C 之间是 B 时，有 2×2＝4 种排法；当 A，C 之间是 D 时，有
×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾 2＋股 2＝弦
2，设其中勾股比为 1∶ 3，若向弦图内随机抛掷 1 000 颗图钉(大
小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为
()
A．866
B.500
C．300
D．134
[抓特征] 本例 1 以宾馆地毯上的图案为实际背景，看似无
突破点，实际抓住该题的“图形特征”，便能迎刃而解.
3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区 域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针 扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________． 解析：设正三角形的边长为 a，圆的半径为 R，则正三角形的面 积为 43a2.由正弦定理得 2R＝sina60°，即 R＝ 33a.所以圆的面积 S ＝πR2＝13πa2.由几何概型的概率计算公式得概率 P＝134π3aa22＝34π3. 答案：34π3
2 种排法，所以所求概率 P＝4＋242＝14. 答案：B
4．(2020·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点
数依次记为 a 和 b，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率是
()
7
1
A.36
B.2
19
5
C.36
D.18
解析：投掷骰子两次，所得的点数 a 和 b 满足的关系为
1≤a≤6，a∈N*， 1≤b≤6，b∈N*，
二、“基本技能”运用好 1．通过对古典概型的概率求解的复习，提高学生的运算求解能力． 2．通过对几何概型的概率求解的复习，提高学生的空间想象和运
算求解能力．
1．一枚硬币连掷 2 次，只有一次出现正面的概率为 ( )
2
1
A.3
B.4
C.13
D.12
解析：一枚硬币连掷 2 次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，
高中数学课件： 古典概型与几何概型
一、“基础知识”掌握牢 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和．
2．古典概型 (1)古典概型的特征： ①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是 有限的 ，即只有
有限个不同的基本事件； ②等可能性：每个基本事件出现的 可能性 是相等的． (2)古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是 等可能的 ，设出所求的事件为 A； ②分别计算基本事件的总数 n 和所求的事件 A 所包含的基本事件
利用几何概型的概率公式可得，这只蚊子安全飞行的概率是
P＝VV21＝438πaa33＝π6.
[答案]
π 6
[解题方略] 与体积有关的几何概型的解题策略
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 (总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也 可利用其对立事件求解．
一、姊妹比比看
考点一 古典概型(基础之翼练牢固)
[题组练通]
1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中
取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶
数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的
素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )
1
1
A.12
当 b＝6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.
满足条件的组合有 19 种，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概
率 P＝1396. 答案：C
[一“点”就过] 古典概型的概率求解步骤 (1)求出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件 A 包含的所有基本事件的个数 m. (3)代入公式 P(A)＝mn 求解．
个数 m； m
③利用古典概型的概率公式 P(A)＝___n___，求出事件 A 的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称
不同点
相同点
频率计算中的 m，n 均随随机试验的 频率计算公式 变化而变化，但随着试验次数的增 都计算
多，它们的比值逐渐趋近于概率值 了一个
古典概型的概 mn 是一个定值，对同一个随机事件而 比值mn 率计算公式 言，m，n 都不会变化
形的边长为 2，小正方形的边长为 3－1.设落在黄色图形内的图
钉数为 n，则有1 0n00＝ 3－4 12，解得 n≈134，故选 D. [答案] (1)B (2)D
[解题方略] 与面积有关的几何概型的解题策略
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面 积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找 到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
()
5
1
A.12
B.2
C.172
D.56
解析：从 2,4,6,8 中任取不同的两个数，记作(b，c)，则(b，c)可
取(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,2)，(4,6)，(4,8)，(6,2)，(6,4)，(6,8)，(8,2)，
(8,4)，(8,6)，共 12 种，使方程 x2＋bx＋c＝0 有实根的条件是
时间不多于 15 分钟的概率为________．
解析：他在 0 到 60 分钟之间的任何一个时刻打开收音机是等可
能的，但 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的
3．几何概型 (1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度
(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模 型，简称为几何概型． (2)几何概型的基本特点： ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等． (3)计算公式：构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 .