利用旋转变换化二次曲线的一般方程为标准方程

题 过程 、解题 思 路 、解 题 方 法．还 需 对 涉 及 的 强学 生解决 问题 的能力 ，培养 学 生思 维能 力 ，
思想方法、有联系的问题进行反思等．具体可 特别是创新思维能力 ，提高数学教学质量都
反思 ：
起到重要作用 ，而且可以促进学生 良好 的数
（１）解题时运用 了哪些 思维方法？解法 学观念 的形成 ，提高学生的数学反思性学习
现 了多种 角度 的转 化 ，联 系 了多 个 知识 点 ，有 败 的教训 ？学 生 通 过 对 解题 思 维 的 反思 ，重
助于提高发散思维能力．各种方法的运用，分 新审查题意 ，更 正确、完整、深刻地理解 了题
别将代数 问题转化为了其它 问题 ，属于问题 目的条件 和结论 ，激 活 了学 生 的思 维 ，开 阔了
图 １
例 ２ 化简二次曲线方程 Ｘ －４ｘｙ－２ｙ
￣－２（４，８）ｆ １—１６：０， ＼ ／
＋ ｌＯｘ＋４ｙ＝Ｏ，并 画 出图形 ．
Ｉ１— ８＋ ５— １３， Ｉ ８ ２ Ｉ
一 ｌ ２ ５ Ｉ ６，
所 以曲线 的特征 方程 是
０— １３Ａ＋ ３６＝０，
解 得 １—９， ２－４． 将它们分别代人
转 换题 型．
思路 ，使学生思维的灵 活性在变换和化归的
３ 在 问题解 决后 进行 反思
训练 中得 到培养 和发 展．
这 里主 要指 解 题 后 的 反 思 ，这 是 一 项 很
总之 ，习题 课 是 数 学 教 学 的一 种 重 要 课
重要 的反思 ．主要包 括 检验 解题 结 果 、回顾 解 型 ，是新授课 的重要补充．它不仅能有效地增
ａ １１一 ａ １２
口 １２ ａ２２一
— Ｏ．
。一 （ａ１１＋ｎ２２） ＋口１１口２２一ｎ｝２一Ｏ．
所以只需将原来坐标轴旋转至与主方向
收稿 日期 ：２０１３－０４—２６ 作者简介 ：邓桂梅（１９６２一），女 ，河南人 ，副教授
Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｅｎｇｇｍ（￣ｍａｉｌ．１ｚｊｔｕ．ｃｎ
ｆ Ｐ ， 一１，２，…．
ｆａｌ１ｘ．＋－ａｌｚｙ＝Ａｘ，
， ＼ ｎ１２： ＋ｎ２２ｙ＝Ａｙ ．
即 （ ；－＝ ）（ ）， 即｛ ｚｙ＝０。．，
ｙ一（ ｃ＝Ⅷｃｏｎｓ － ｓｉｎ ０／
该变换可以写为：Ｘ＝ＣＹ，代入 （＊）式得
Ｆ（ｘ， ）＝ Ｘ＋ ２（ｎ１３，ｎ２３）Ｘ＋ 口３３
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数学教学研 究
第 ３２卷第 ６期 ２０１３年 ６月
利用旋转变换化二次 曲线的一般方程为标准方程
邓桂 梅 ，张再 玲
（１．兰州 交通大学 数理学 院，甘肃 兰州 ７３００７０； ２．兰州商学院 信息工程学院 ，甘肃 兰州 ７３００００）
摘 要 ：本 文利 用坐标 变换及 矩阵将二 次曲线 的一般方程化为标准方程 ，以便二次 曲线的作 图ｔ了解 曲线所具有的几何特征． 关键词 ：二 次曲线 ；坐标旋转 变换 ；矩阵 ；一般方程 ；标准方程 中图分类号 ：０１８２
Ｊｌ （、 ０ 令 ＝ ａｌｌ ［ａｌｚ ａ２ ２ Ｆ（ｘ， ）＝Ｘｒ￣ＰＸ －ｔ－２（ａ１３，ａ２３）Ｘ＋口３３．
（＊ ）
在平 面上作 绕 坐标 原点 的旋转 变换 Ｉ ｘ＝ｘ ｃｏｓ Ｏ－ｙ ｓｉｎ ０。 ｌ ｙ＝ｘ ｓｉｎ ｔ？ｑ－－ｙ ＣＯＳ ，
所 以
Ｐ：＝ 】Ｐ ．ｉ＝ 】．２．… ． Ｐ
ｆ（ａｕ— ） ＋ ａｌ￣ｙ＝Ｏ，
Ｉａｌ２ｚ＋ ２２－Ａ）ｙ＝Ｏ，
所 以பைடு நூலகம்
１
Ｃ＝＝ ２
得
Ｉｚ２ ０ Ｙｚ ＝＝＝２ ：一 １．
所 以取
２
所 以原方 程化 为
Ｃ：＝ １
ｃｚ （： ）
ｆ 一
４，
，（ｙ个 Ｙ、） １６
０， －
－
化 简得 ９ｘ －４ｘ 。－８，ｆ５ｙ 一１６—０，
Ｆ（ｘ， ）＝ｎｎｚ ＋ ２ａｌ２ｚ ＋口２２ 。 ＋ ２ａ１３ｚ＋ ２ｎ２３ｙ－ｑ－ａ３３
令 一
ｎ 一ｃ
＝ ｃｚ， Ｌａ ａｌ１ｌ２ 兰口 ２ 】Ｊ（＼ ）
ａ１３￣ａ２３ （、 ） ， ＋口３ｓ，
设 Ｃ＝（Ｐ１，Ｐ２），则
［ ］， ｃＰ，，Ｐｚ ＝ ｃＰ ，Ｐｚ
＿ ）Ｐ１一 １Ｐ１， ２＝ １２Ｐ２，
ｆ（口ｌ１－Ａ）ｘ＋ａｌｅｙ＝Ｏ， 【ｎ１２ｚ＋（ａ２２一 ） ＝Ｏ，
得｛ ，２７。１ ．１１．’２．
解 ， （ ２二 ）
＋２（ｓ，ｚ）（ ）－ｏ，
Ｉ１— １－ ２＝ 一 １， Ｉ２一 － ２－ ４＝ 一 ６，
所 以 曲线 的特征 方程是
－ － ｛－Ａ－ ６＝Ｏ，
解得 一－３， ２—２．将它们分别代入
所 以原 方 程化 为
ｃｚ 叫 ３
＋２（５，２） （ ）＿ｏ， 。 ＋ ， ）（ 。，
９ｘ 。＋ （ 一 ）。一 ３６＝ ０．
＋（ ：二 一１
４
９
。’
吨 均 ｚ ＿ｏ，
Ｖ
ａ
（下转 第 ６２页）
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数学教学研究
第 ３２卷第 ６期 ２０１３年 ６月
（柯 西不 等式 ）
（４）结论正确吗？有无增 、漏情况？符合
［Ｉｚ。＋ （２ ）。３（１ ＋ ｌ。）≥ （Ｌｚ＋２３，） ≤ ８， 开 方得解 ．
题意 吗？ （５）解 题 过 程 中起 初 遇 到 哪 些 困难 ？后
反 思 本 题 运 用 多 种 方 法进 行 解 答 ，实 来又是如何解决的？有哪些成功的经验和失
定义 在平面上 ，由二元二次方程 ａｌｌＸ
＝ ０．
＋２ａ１２ ＋口２２ 。＋２ａｌ３ ＋ ２ｎ２３ ＋口３３＝０所
Ｆ（ｘ，３，）一ＹＴ（ｃｒ ）ｙ
表 示 的曲线 叫做二 次 曲线．
＋ ２（ａ１３，ａ２３）Ｃｙ＋ａ３３＝ Ｏ．
利用 矩 阵的运 算
因为 Ｃ为旋转变换的系数矩阵 Ｃｒ＝Ｃ－ ，
第 ３２卷第 ６期 ２０１３年 ６月
数学教学研究
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平行 的时候 就 可将 一般 二 次 曲线 化 为标 准二 作平移
次 曲线．
例 ｌ 化简二次 曲线 方程 ８ ＋４ｘｙ＋ ．
５ 。＋８ｚ一１６ 一 １６一Ｏ，并 画 出它 的 图形 ．
所以原方程化为
７’
解
（ ）
Ｔ ＋ ”９：＝１．