区间数线性规划问题的最优解

min Z2 = - 2 x1 - 3 x2
( P6) s. t.
- 3 x1 - 6 x2 ≥- 10 x1 ≥0 , x2 ≥0
用图解法分别求线性规划问题 ( P5) 和问题 ( P6) 的最优
解为
x1 ′=
0
,
x2′= 1 0 ;
x1 ″=
10 3
,
x2 ″=
0
,最优值分别为
z1′= -
j =1
xj ≥0
i = 1 ,2 , …, m j = 1 ,2 , …, n
文献[1 ]把区间数线性规划问题 (P1) 分解成如下两个线
性规划问题
n
∑ min Z1 =
cj xj
j =1
( P2) s. t.
n
∑bijxj ≥ ei
j =1
xj ≥0
i = 1 ,2 , …, m j = 1 ,2 , …, n
j =1
i = 1 ,2 , …, m
xj ≥0
j = 1 ,2 , …, n
其中 [ ci , ci ] , [ aij , aij ] , [ bi , bi ] ∈R = { [ a , b ] | a , b ∈R ,
且 a ≤ b} 。
2 区间数线性规划问题的解的定义
定义 1 设 aij ∈ [ aij , aij ] ( i = 1 ,2 , …, m , j = 1 ,2 , …,
Abstract : The paper pointed out a few problems to the optimal solution defined by the predecessors with practical cases and gave the new definition of solution of interval number linear programming problem. It gave respectively the definition of pessimistic possibly solution , pessimistic necessarily solution , optimistic possibly solution and optimistic necessarily solution. These optimal solutions are fit for the pessimistic makers , moderates optimistic makers respectively.
第 23 卷 第 9 期
系统工程与电子技术 Systems Engineering and Electronics
文章编号 :1001Ο506X(2001) 09Ο0053Ο03
区间数线性规划问题的最优解
Vol123 ,No19 2001
张吉军
(西南石油学院 , 南充 637001)
n
∑ max Z = cixi i =1
(LP1) s. t.
n
∑aijxj ≤ bi
j =1
xj ≥0
i = 1 ,2 , …, m j = 1 ,2 , …, n
n
和
∑ max Z = cixi
i =1
(LP2) s. t.
n
∑aijxj ≤ bi
n
∑ min Z2 =
dj xj
j =1
( P3) s. t.
n
∑aijxj ≥ fi
j =1
xj ≥0
i = 1 ,2 , …, m j = 1 ,2 , …, n
若问题 ( P2) 的最优解为 x1′, x2′, …, xn′, z1′; 问题 ( P3) 的最优解为 x1″, x2″, …xn″, z2″,则区间数线性规划线性问题 (P1) 的最优解为
(2) 按文献[1 ]定义的最优解所求出的最优解可能不满 足问题 (P1) 的约束条件 。
例 已知某一区间数线性规划问题为
min Z = [ - 4 , - 2 ] x1 + [ - 5 , - 3 ] x2
( P4) s. t.
[ - 3 , - 2 ] x1 + [ - 6 , - 2 ] x2 ≥[ - 20 , - 10 ] x1 ≥0 , x2 ≥0
按照文献[1 ]将问题 (P4) 分解为如下两个线性规划问题
min Z1 = - 4 x1 - 5 x2
收稿日期 :2000 - 07 - 04 修订日期 :2000 - 10 - 26 作者简介 :张吉军 (1963 - ) ,男 ,副教授 ,博士 ,主要研究方向为决策理论和方法 ,现代管理理论和方法 。
n
∑ n) , bi ∈[ bi , bi ] ( i = 1 ,2 , …, m) ,称不等式 aijxj ≤ bi 为 j =1
n
∑ 区间数不等式 [ aij , aij ] xj ≤ [ bi , bi ] 的特征不等式 。记 j =1
Ti = { t | t = ( ai1 , ai2 , …, ain , bi) , aij ∈[ aij , aij ] , bi ∈[ bi ,
分别称 ( ILP1) 和 ( ILP2) 为 ( ILP) 的最大范围约束问题和最小范
围约束问题 。称 ( ILP1) 的解是 ( ILP) 的最大范围约束解 ; 称
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主题词 : 线性规划 ; 决策分析 ; 最优方案 中图分类号 :O221. 1 文献标识码 :A
The Optimal Solution of Interval Number Linear Programming Problem
ZHAN G J i2jun
( Southwest Petroleum Institute , Nanchong 637001)
摘 要 : 通过例子指出了前人定义的区间数线性规划问题最解存在的问题 ,引进了区间数线性规划问题的新 的最优解 ,分别定义了区间数线性规划问题的保守可能解 、保守必然解 、冒进可能解和冒进必然解 。定义的区间数 线性规划问题的最优解可分别适合于保守型决策者 、稳中求稳决策者和冒险型决策者的决策 。
50 , z2′= -
20 3
,从文献 [ 1 ]的定义知 ,区间数线性规
划问题 (P4) 的最优解为
x1
=
[0
,
10 3
]
x2
[10 ,0 ]
区间数[10 ,0 ]出现了左端点比右端点大的情况 ,这与区间的
通常定义相矛盾 。另外 ,10/ 3 ,10 显然分别在最优解 x1 , x2
的变化范围内 ,但把它们代入问题 (P4) 的约束条件有
n
∑ max Z = [ ci , ci ] xi i =1 Ax ≤ b s. t. x ≥0
其中 x = ( x1 , x2 , …, xn ) T ; b = ( b1 , b2 , …, bm ) T ; A ———
m ×n 的实矩阵 ,并引进区间数线性规划问题新的解的定
义 。值得指出的是 :利用文献[2 ]讨论的结果 ,可能比较方便
x1
[ x1′, x2″]
x2
[ x1′, x2″]
=
⁝
⁝
xn
[ xn′, xn″]
其最优值为 z = [ z1′, z2″] 。 本文将通过例子说明文献[1 ]这样定义的区间数线性规
划问题的最优解存在的问题 。
(1) 在实际求解过程中 ,可能会出现某个变量的区间解 [ xi′, xi″] 的左端点 xi′比右端点 xi″大的情况 ,这与区间的通 常定义相矛盾 ;
aijxj ≤ bi ,
j =1
j =1
n
∑aijxj ≤ bi 分别是该区间数不等式的最大范围不等式和最
j =1
小范围不等式 。
定理 2 最小范围不等式的解一定是最大范围不等式 的解 。
区间数线性规划问题可构造如下两个目标函数的系数
是区间数的线性规划问题
n
∑ max Z = [ ci , ci ] xi i =1
j =1
n
∑ 不等式 aijxj ≤ bi 的解集 。 j =1
定义 3 记
Si
= ∪S ( t) t ∈Ti
, Si
= ∩S ( t) t ∈Ti
,称 Si 为区间数不
n
∑ 等式 [ aij , aij ] xj ≤[ bi , bi ] 的最大范围解集 ;称 Si 为区间 j =1
n
∑ 数不等式 [ aij , aij ] xj ≤[ bi , bi ] 的最小范围解集 。 j =1
[-
3,
-
2]
×10 3
+ [-
6,
-
2]
×10
≥[ -
20 ,
-
10 ]
即
[ - 70 , - 26. 666 7 ] ≥[ - 20 , - 10 ]
这显然是一个矛盾不等式 。
以上事实说明 ,有必要探讨区间数线性规划问题的新的 解的定义 。本文将把区间数线性规划问题化成文献[ 2 ]讨论 的目标函数是区间目标函数的线性规划的形式
地给出本文给出的区间数线性规划问题新定义解的最优性
条件 。限于篇幅 ,本文不再给出新定义的最优解的最优性条 件 ,其最优性条件作者将在另文中给出 。
本文讨论的区间数线性规划问题 ( ILP) 采用如下形式
n
∑ max Z = [ ci , ci ] xi i =1
n
∑ ( ILP) s. t.
[ aij , aij ] xj ≤[ bi , bi ]
j =1
n
∑ 征不等式
a
3 ij
xj
≤
b
3 i
,
, 使得该特征不等式的解集等于
j =1
n
∑ Si ,则称该特征不等式为区间数不等式 [ aij , aij ] xj ≤[ bi , j =1
bi ] 的最小范围不等式 。
n
n
∑ ∑ 定理 1 若
[ aij , aij ] xj ≤ [ bi , bi ] , 则
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·54 ·
系统工程与电子技术
2001 年
( P5) s. t.
- 2 x1 - 2 x2 ≥- 20 x1 ≥0 , x2 ≥0
bi ] ( i = 1 ,2 , …, m , j = 1 ,2 , …, n) } ,θ = { c | c = ( c1 , c2 , …,
cn) , ci ≤ ci ≤ ci , i = 1 ,2 , …, n}
n
∑ 定义 2 记 S ( t) = { x |
aijxj ≤ bi} ,称 S ( t) 为特征
Keywords : Linear programming ; Decision analysis ; Optimal plan
1 问题的提出
在文献[1 ]中讨论了如下的区间数线性规划问题
n
∑ min Z = [ cj , dj ] xj j =1
( P1) s. t.
n
∑[ aij , bij ] xj ≥[ ei , fi ]
( ILP1) s. t.
n
∑aijxj ≤ bi
j =1
xj ≥0
i = 1 ,2 , …, m j = 1 ,2 , …, n
n
和
∑ max Z = [ ci , ci ] xi
i =1
n
∑ ( ILP2) s. t.
aijxj ≤ bi
j =1
i = 1 ,2 , …, m
xj ≥0
j = 1 ,2 , …, n
第9期
区间数线性规划问题的最优解
·55 ·
( ILP2) 的解是 ( ILP) 的最小范围约束解 。 定义 5 若 x 是 ( ILP1) 的最优解 ,则称 x 是 ( ILP) 的冒进
最优解 ,若 x 是 ( ILP2) 的最优解 ,则称 x 是 ( ILP) 的保守最优 解。
对任意固定的 c ∈θ = { c | c = ( c1 , c2 , …, cn) , ci ≤ ci ≤ci , i = 1 ,2 , …, n} ,分别记下述两个普通线性规划问题的 最优解集为 S ( c) 和 S ( c) 。
n
∑ 定义 4 对于区间数不等式 [ aij , aij ] xj ≤[ bi , bi ] ,若 j =1
n
∑ 存在它的一个特征不等式
a
3 ij
xj
≤wenku.baidu.com
b
3 i
, 使得该特征不等
j =1
式的 解 集 等 于 Si , 则 称 该 特 征 不 等 式 为 区 间 数 不 等 式
n
∑[ aij , aij ] xj ≤[ bi , bi ] 的最大范围不等式 ; 若存在一个特