对偶和灵敏度分析解析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 对应于B的变量xB1, xB2,… , xBm 是基变量，用向量 XB=(xB1, xB2,… , xBm )T 表示
• 其它为非基变量，则
X
X X
B N
5
运筹学
• 同时将 C 也分为两块(CB, CN)，则
(
B,
N
)
X X
B N
b
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB
X
B
CN
X
N
6
运筹学
• 这时可将(3.1), (3.2), (3.3)式改写为
xn
bm
x1, x2 ,, xn 0
原问题 Primal
原问题与 对偶问题的关系
对偶问题 Dual
Minw y1b1 y2b2 ymbm
a11 a12 a1n
( y1, y2 ,, ym )
(c1, c2 ,, cn
)
am1 am2 amn
3
运筹学
• 设线性规划问题：
Max z =CX AX= b X 0
• 化为标准型：
Max z =CX+0Xs (3.1) AX + IXs= b (3.2) X 0, Xs 0 (3.3)
其中
松驰变量
Xs=(xn+1, xn+2,… , xn+m)T I 是mm 阶单位矩阵
4
运筹学
• 设B是一个可行基，则可将系数矩阵(A, I)分为两块 (B, N)， N 是非基变量的系数矩阵。
• 把工厂所有设备台时和资源都出租或出让，其收入为
w=8y1+16y2+12y3
15
运筹学
• 从工厂的决策者来看，当然 w 越大越好，但从接受者 来看他的支付越少越好。因此决策者只能在满足所有 产品利润的条件下，使其总收入尽可能地小。
• 即解如下线性规划问题
Min w=8y1+16y2+12y3 y1+4y2 ≥2 2y1 +4y3≥3 y1, y2 , y3 ≥0
• 在单纯形表中表示如下：
右端项RHS
基变量
非基变量
XB
B-1b
I
-CBB-1b
0
XN1 B-1N1 CN1-CBB-1N1
Xs B-1 -CBB-1
10
运筹学
3.2 对偶问题的提出
• 在第1章例1中讨论了工厂生产计划模型及其解法，现从另 一个角度来讨论这个问题。
• 假设该工厂的决策者决定不生产产品I，II，而将其所有资源 出租或外售，
第3章 对偶理论与灵敏度分析
第三章 内容提要
• 3.1 单纯形法的矩阵描述 • 3.2 对偶问题的提出 • 3.3 线性规划的对偶理论 • 3.4 影子价格 • 3.5 对偶单纯形法 • 3.6 灵敏度分析
2
运筹学
3.1 单纯形法的矩阵描述
• 介绍用矩阵来描述单纯形法的计算过程， • 有助于加深对单纯形法的理解， • 和学习对偶理论。
• 这个问题即为原问题的对偶问题。
16
运筹学
矩阵形式的对偶问题
• 从前面知检验数C-CBB-1A和-CBB-1均非正时，线性规划 问题达到最优解，即 C-YA≤0和-Y ≤0
• 则Y ≥0，YA ≥C • 对单纯形因子Y=CBB-1两边同乘b得Yb=CBB-1b=z • 因Y 的上界为无限大，所以只存在最小值。由此得另
• 从上式中可以看到：
(3.8) (3.9)
– 非基变量 XN 的系数CN-CBB-1 N 就是检验数，即N=CN-
CBB-1 N
– 因为 XB 在式(2.9)中的系数是0，即CB-CBB-1 B=0
– 故包括基变量在内的所有检验数可用 C-CBB-1A≤0表示。
– 松驰变量检验数为-CBB-1，故所有检验数可用 C-CBB-1A 和-CBB-1，即 C-YA和-Y 表示。
9
运筹学
• 将式(3.8)和 (3.9)综合写成矩阵式如下：
XB = B-1 b - B-1 NXN z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN
(3.8) (3.9)
z
0 1
I 0
B 1 N1 CN1 CB B1N1
B 1 CB B1
XB X N1 Xs
B 1b CB B1b
• 若用一个单位设备台时和4个单位原材料A可以生产 一件产品I可获得2元，那么生产每件产品I的设备台 时和原材料出租和出让的所有收入不应低于生产一 件产品I的利润，即
y1+4y2≥2
14
运筹学
• 同理，将每生产每件产品II的设备台时和材料出租和出让的 所有收入不应低于生产一件产品II的利润，即
2y1+4y3≥3
• 这时工厂的决策者就要考虑给每种资源如何定价的问题。
11
运筹学
• 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗如下表所示：
I
II
合计
设备
1
2
8 台时
原材料A
4
0
16 千克
原材料B
0
4
12 千克
该工厂每生产一件 I 可获得2元，每生产一件产 品II可获得3元。
z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN (3.9)
7
运筹学
XB = B-1 b - B-1 NXN
(3.8)
z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN (3.9)
• 令非基变量XN=0，得到一个基可行解
X
(1)
B 1b 0
• 则，目标函数值
z =CB B-1 b
8
运筹学
XB = B-1 b - B-1 NXN z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN
一个线性规划问题： Min w=Yb YA ≥C Y ≥0
• 此即原问题{Max z = CX | AX≤b, X≥0}的对偶问题
17
运筹学
3.3 线性规划的对偶理论
Maxz c1x1 c2 x2 cn xn
a11
am1
a12
am2
a1n
x1 x2
b1
amn
问应如何安排计划使该工厂获得最多？
12
运筹学
• 其数学模型归结为：
目标函数 Max z= 2 x1+3 x2 约束条件 x1+2 x28
4 x1 16
s.t.
4 x2 12
x1, x20
13
运筹学
换一种思维的角度
• 设用 y1, y2, y3 分别表示出租单位设备台时的租金和 出让单位原材料A, B的利润。
Max z =CBXB+CNXN (3.4)
BXB + NXN= b
(3.5)
XB 0, XN 0
(3.6)
• 将(3.5)式移项后，得到
BXB = b - NXN
(3.7)
• 给(3.7)式左乘B-1后，得到XB的表达式
XB = B-1 b - B-1 NXN
(3.8)
• 将(3.8)式代入目标函数，得
• 其它为非基变量，则
X
X X
B N
5
运筹学
• 同时将 C 也分为两块(CB, CN)，则
(
B,
N
)
X X
B N
b
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB
X
B
CN
X
N
6
运筹学
• 这时可将(3.1), (3.2), (3.3)式改写为
xn
bm
x1, x2 ,, xn 0
原问题 Primal
原问题与 对偶问题的关系
对偶问题 Dual
Minw y1b1 y2b2 ymbm
a11 a12 a1n
( y1, y2 ,, ym )
(c1, c2 ,, cn
)
am1 am2 amn
3
运筹学
• 设线性规划问题：
Max z =CX AX= b X 0
• 化为标准型：
Max z =CX+0Xs (3.1) AX + IXs= b (3.2) X 0, Xs 0 (3.3)
其中
松驰变量
Xs=(xn+1, xn+2,… , xn+m)T I 是mm 阶单位矩阵
4
运筹学
• 设B是一个可行基，则可将系数矩阵(A, I)分为两块 (B, N)， N 是非基变量的系数矩阵。
• 把工厂所有设备台时和资源都出租或出让，其收入为
w=8y1+16y2+12y3
15
运筹学
• 从工厂的决策者来看，当然 w 越大越好，但从接受者 来看他的支付越少越好。因此决策者只能在满足所有 产品利润的条件下，使其总收入尽可能地小。
• 即解如下线性规划问题
Min w=8y1+16y2+12y3 y1+4y2 ≥2 2y1 +4y3≥3 y1, y2 , y3 ≥0
• 在单纯形表中表示如下：
右端项RHS
基变量
非基变量
XB
B-1b
I
-CBB-1b
0
XN1 B-1N1 CN1-CBB-1N1
Xs B-1 -CBB-1
10
运筹学
3.2 对偶问题的提出
• 在第1章例1中讨论了工厂生产计划模型及其解法，现从另 一个角度来讨论这个问题。
• 假设该工厂的决策者决定不生产产品I，II，而将其所有资源 出租或外售，
第3章 对偶理论与灵敏度分析
第三章 内容提要
• 3.1 单纯形法的矩阵描述 • 3.2 对偶问题的提出 • 3.3 线性规划的对偶理论 • 3.4 影子价格 • 3.5 对偶单纯形法 • 3.6 灵敏度分析
2
运筹学
3.1 单纯形法的矩阵描述
• 介绍用矩阵来描述单纯形法的计算过程， • 有助于加深对单纯形法的理解， • 和学习对偶理论。
• 这个问题即为原问题的对偶问题。
16
运筹学
矩阵形式的对偶问题
• 从前面知检验数C-CBB-1A和-CBB-1均非正时，线性规划 问题达到最优解，即 C-YA≤0和-Y ≤0
• 则Y ≥0，YA ≥C • 对单纯形因子Y=CBB-1两边同乘b得Yb=CBB-1b=z • 因Y 的上界为无限大，所以只存在最小值。由此得另
• 从上式中可以看到：
(3.8) (3.9)
– 非基变量 XN 的系数CN-CBB-1 N 就是检验数，即N=CN-
CBB-1 N
– 因为 XB 在式(2.9)中的系数是0，即CB-CBB-1 B=0
– 故包括基变量在内的所有检验数可用 C-CBB-1A≤0表示。
– 松驰变量检验数为-CBB-1，故所有检验数可用 C-CBB-1A 和-CBB-1，即 C-YA和-Y 表示。
9
运筹学
• 将式(3.8)和 (3.9)综合写成矩阵式如下：
XB = B-1 b - B-1 NXN z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN
(3.8) (3.9)
z
0 1
I 0
B 1 N1 CN1 CB B1N1
B 1 CB B1
XB X N1 Xs
B 1b CB B1b
• 若用一个单位设备台时和4个单位原材料A可以生产 一件产品I可获得2元，那么生产每件产品I的设备台 时和原材料出租和出让的所有收入不应低于生产一 件产品I的利润，即
y1+4y2≥2
14
运筹学
• 同理，将每生产每件产品II的设备台时和材料出租和出让的 所有收入不应低于生产一件产品II的利润，即
2y1+4y3≥3
• 这时工厂的决策者就要考虑给每种资源如何定价的问题。
11
运筹学
• 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗如下表所示：
I
II
合计
设备
1
2
8 台时
原材料A
4
0
16 千克
原材料B
0
4
12 千克
该工厂每生产一件 I 可获得2元，每生产一件产 品II可获得3元。
z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN (3.9)
7
运筹学
XB = B-1 b - B-1 NXN
(3.8)
z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN (3.9)
• 令非基变量XN=0，得到一个基可行解
X
(1)
B 1b 0
• 则，目标函数值
z =CB B-1 b
8
运筹学
XB = B-1 b - B-1 NXN z =CB B-1 b+(CN-CBB-1 N)XN
一个线性规划问题： Min w=Yb YA ≥C Y ≥0
• 此即原问题{Max z = CX | AX≤b, X≥0}的对偶问题
17
运筹学
3.3 线性规划的对偶理论
Maxz c1x1 c2 x2 cn xn
a11
am1
a12
am2
a1n
x1 x2
b1
amn
问应如何安排计划使该工厂获得最多？
12
运筹学
• 其数学模型归结为：
目标函数 Max z= 2 x1+3 x2 约束条件 x1+2 x28
4 x1 16
s.t.
4 x2 12
x1, x20
13
运筹学
换一种思维的角度
• 设用 y1, y2, y3 分别表示出租单位设备台时的租金和 出让单位原材料A, B的利润。
Max z =CBXB+CNXN (3.4)
BXB + NXN= b
(3.5)
XB 0, XN 0
(3.6)
• 将(3.5)式移项后，得到
BXB = b - NXN
(3.7)
• 给(3.7)式左乘B-1后，得到XB的表达式
XB = B-1 b - B-1 NXN
(3.8)
• 将(3.8)式代入目标函数，得