近世代数中关于集合的划分及其应用研究

近世代数中关于集合的划分及其应用研究

摘要 我们对集合并不陌生，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他方面中有着极其重要的应用.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各方面的应用.

第一章 等价关系与等价类 定义1.1：设S 是一个非空集合，R 是关于S 的元素的一个条件.如果对S 中任意一个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满足条件R ，就称R 是S 的一个关系（relation ）.如果a 与b 满足条件R ，则称a 与b 满足条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b 无关系R.关系R 也成为二元关系.

定义1.2：设~是集合A 上的一个二元关系，若满足下列性质：

（1）自反性：∀a ∈A ,a~a;

（2）对称性：∀a,b ∈A,a~b,则b~a;

（3）传递性：∀a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.

则称~A 上的一个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.

定义1.3：设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体成为A 的一个分类。每个子集称为一个类.类里任何一个元素称为这个类的一个代表.

由定义可知，A 的非空子集族S={i A |i ∈I } 是A 的一个分类当且仅当其满足下列性质：

（1） I

i i

A ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A Ø，即不同的类互不相交.

定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的一个分类，规定~为： a~b ⇔a 与b 同属于同一个类，

则~是A 上的一个等价关系.

证明：首先由分类的定义，~是A 的一个关系.而且，显然∀a ∈A ，a~a ；又∀a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同一个类，从而b~a ；∀a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同一个类，b 与c 属于同一个类，于是a 与c 属于同一个类，从而a~c.因此~是A 上的一个等价关系.

定理1.2 设~是A 上的一个等价关系，对于a ∈A ，令

[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的子集族

是A 的一个分类.

证明（1）∀a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从而[a]是一个非空子集，并且

[]=∈ A a a A.

（2）若[a] [b]≠Ø,则∃c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从而a~b.

∀x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]⊆[b].同理[b]⊆[a].这里就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.

该定理中所构成的子集[a]称为A 的一个包含a 的~等价类.

定义4：设~是A 上的一个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.

第二章 商群 我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义一种什么样的运算才是商群，最后为了把一些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.

一、什么样的等价关系

我们知道由一个正整数m ，确定了整数间的一个等价关系m R ，即

a m R

b ⇔m|a —b ，∀a ，b ∈Z .

其中Z 是一个由1生成的循环加群，（m ）是Z 的一个子加群，且从而m R 也可以认为是由Z 的一个子群（m ）所确定的.现在将这个思想推广到一般的群中，

设H 是群G 的一个子群，在G 中定义一个关系R ：

G b a H ab H a b aRb 1

-1-∈∀∈∈⇔，，且

容易验证R 是一个等价关系.利用这个等价关系可以决定群G 的一个分类.

二、什么样的等价类

定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.

定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.

证明 将包含元素a 的陪集记作[a].∀b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ⊆=Ha .反之，∀b ∈Ha aH =，∃21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从而b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =⊆=因此.

三、商群

定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},

规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈∀=

∙，，）（ 则（G/N,∙）是一个群.

证明 首先证明∙是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取无关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1

∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，

这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从而（ab ）N=（11b a ）N ，所以∙是G/N 的代数运算，

又∀,/G cN bN aN N ∈，，有

=

∙===∙=∙∙N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ∙∙从而∙满足结合律，且

,/G aN eN aN aN eN N ∈∀∙=∙，从而N=eN 是G/N 的单位元.∀,/G aN N ∈存在

,/G N a 1-N ∈使，

eN aN N a N a aN -11-=∙=∙从而.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是一个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.

四、有限阶群的阶和子群阶的关系

定理2.3（Lagrange （拉格朗日））设G 是有限群，H 是G 的子群，则

|G|=[G ：H]|H|

证明 因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则

G=U U H a H a 21…H a k U .

又因为在H 和H a i 之间存在一个双射，

所以|H a i |=|H|，因此

|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理 定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则

（1）Kerf G ；

（2）G/ Kerf ≅Imf.

证明 （1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠Ø.又∀a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即

f （a ）=f （b ）=e '，

则

f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',

f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，

从而a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.

（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定一个法则：

Φ：aKerf f （a ）.

a) ∀ aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有

aKerf=bKerf ⇒1a -∈Kerf ⇒f(1a -b)= e '

⇒ 1a f -）（f （b ）= e ' ⇒ f （a ）=f （b ），

从而Φ是一个G/ Kerf 到Imf 的映射.

b ）∀a ' ∈ Imf ，∃a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从而Φ是满射.

c) ∀ aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有