循环结构的三要素及其他

循环结构的三要素及其他

摘要：循环结构是结构化程序设计中最为复杂的一种结构，本文提出构成循环结构的三个要素，论述运用循环结构三要素进行程序设计的方法，以及循环与递归的关系。

关键词：算法；程序结构；循环；递归

1问题的提出

结构化程序设计中，只有三种基本的结构：顺序、选择和循环。

顺序结构是程序设计过程中自然形成的，也是三种结构中最简单的一种。选择结构与我们日常中使用的自然语言“如果...则...否则...”十分相近，只是其嵌套时的二义性在形式上必须有一个明确的规定。

而循环结构是三者中最为复杂的，也是使用最多的。一个算法往往要用循环结构来描述，一个程序能否正确编写又往往取决于对循环结构的正确理解和使用。因此，有必要深入对循环结构做一个分析。本文从循环结构的三个要素、循环结构与程序的阅读、循环与递归的联系等三个方面进行分析与论述，而这些在目前的教学中往往很少提到，甚至是被忽略的。

2循环结构的三要素

初学程序设计的人，对于如何在程序中使用循环结构实现算法，总觉得不知从何入手，有时即使编出程序，也不尽人意。下面我们从一个简单的典型实例说起。为了说明问题，本文对有关编程的问题都以C语言函数的方式列出解答。

2.1一个典型实例及其两种解答

例2.1鸡兔同笼，有h个头，f只脚，求鸡兔各多少。这是我国古代一个典型的算术问题。现在要设计一个函数，求出兔子的数目(求出兔子的数目，自然就可以得到鸡的数目)。不妨设这个函数为：

int hab(int h, int f);

函数的定义如下：

int rabbit (int h, int f)// h为头数, f为脚数

{

int i;

i=h;

while (i＞=0 )

{

if (i*4+(h-i)*2==f) break;

i--;

}

return i; //-1表示该该问题无解。

}

这个程序的运行结果是正确的，但是很遗憾，这并不是一个完美的程序，尽管很多教科书也是这样写的。我们再来看看下面的另一种解法：

int rabbit (int h, int f)// h为头数, f为脚数

{

int i;

i=h

while((i＞=0)&& (i*4+(h-i)*2!=f ))

i--;

return i;//-1表示该问题无解。

}

以上两个程序都用到循环结构，第一个程序在循环结构中嵌套了一个选择结

构，并且使用了break语句。而在第二个程序中，无需这样做。无论从程序的结构，还是从程序的可读性来说，后者显得比前者要好得多。那么问题出在哪里呢？

2.2深入分析

比较两个程序可以发现，关键是对条件表达式(i*4+(h-i)*2!=l)的运用。前者把条件表达式放在循环体中，后者把它作为循环条件。看来，有必要对循环结构做深入的分析。

不管一个循环结构有多复杂，都可以从以下三个方面来分析：

1) 初始状态：所有参与循环的变量在循环之前都必须有一个确定的值。

2) 循环条件：当条件满足时，循环继续，否则循环终止。循环条件应是一个逻辑表达式。

3) 循环体：每次循环要执行的语句。

这就是我们所讲的循环结构三要素。从这个角度再来分析上面的例子，就很容易找到问题的结症：(i*4+(h-i)*2!=l)是循环条件之一，因此不应放在循环体内使用。第一种方法虽然也能得到正确的结果，但并不是好的方法，甚至是不正确的方法。

2.3一个应用实例

例2.2 裴波那契序列数的递归表示如下：

f0=0

f1=1

fn=fn-2+fn-1(n＞=2)

对于任意给定的正整数x，判别其是否在裴波那契序列中。

现在要求判别一个给定的正整数x是否在裴波那契序列中，一个直观的判别方法是从f0和f1出发，不停地求后面的裴波那契序列数。每得到一个裴波那契序列数，就同这个待判别数进行比较，直到相等时输出“真”。或当得到一个裴波那契序列数大于这个待判别数时，输出“假”。

要实现这个算法，需用到循环结构。我们来分析一下这个循环结构的三个要素：

(1) 初始状态：f0=0; f1=1，x=?；

(2) 循环条件：当前求得的裴波那契序列数0时，计算的是n和m%n的最小公倍数。显然，这时的两个正整数要比原来的两个正整数(m, n)要小，计算也变得容易一些。

通过以上的例子，我们可以这样来理解递归的意义：把一个复杂的、规模较大的问题转化为简单的、规模较小的同一个问题，直至可以直接得到问题的解。

4.2用递归函数取代循环结构

一个程序如果可以用循环结构来实现，那么也可以用一个递归函数来实现。我们先来看一个简单的例子。

例4.3求一个有n个元素的数组中的最大元素。

用循环结构的方法如下：

int max(int a[])

{

int i, m;

m=a[0]

for (i=1; i＜10,i++)

if(max＜a[i])m=a[i];

return m;

}

用递归函数。设一递归函数max(a,k)是求a数组中第ｋ个元素及其后所有元素的最大者：

a[k]k=n-1;

max(a,k)= {

a[k]＞max(a,k+1)?a[k]：max(a,k+1) k＜n-1

用C语言编写的函数如下：

int max(int a[], int k, int n)

{ int m;

if (k==n-1)return ( a[k] )

else {m=max(a,k+1);

return ( a[k]＞m?a[k]：m ); }

}

这是一个简单的例子，下面再看一个较为复杂性的例子。

例4.4用递归函数求解例2.1。

用递归函数来求解例2.1，应如何考虑呢？正如以上所说，递归的意义是把一个复杂的、规模较大的问题转化为简单的、规模较小的同一个问题，直至可以直接得到问题的解。因此我们可以这样来考虑：把笼中的一只鸡抓走，笼中的兔子的数目是不变的，显然这仍然是鸡兔同笼的问题，但少了一只鸡，问题就变得简单了一点。当所有的鸡都被抓走时，剩下的都是兔，这时就可以直接得到答案——腿数除以头数就是兔子的数目。

我们用robb(h,g)这样一个函数表示求兔子的数目，参数h、g分别表示头数和腿数，因此有：

robb(x,y)=robb(x-1,y-2)

但在什么情况下能直接得到结果呢？显然，当鸡全部抓走只留下兔子时，就可以直接得到答案，这时腿数应是头的4倍：

roob(x,y)=x当4*x=y

另外还要考虑在什么情况下问题没有解。显然，当4*h＜g时，这个问题无解。

x4*x=y

robb(x,y)={ robb(x-1,y-2)4*x＞y

-1 4*x＜y(-1表示问题无解)

在求得兔子的数目之后，只要用总数减去兔子的数目，就能求出鸡的数目。