浅谈几个微分中值定理的之间联系1

浅谈几个微分中值定理的之间联系

摘 要：了解几个微分中值定理，及他们之间的联系；掌握这几个中值定理的推导过程，能够熟练的辨别他们区别。

关键词：微分；中值定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；联系 Abstract: Find several differential mid-value theorem, and the contact between them; Master this several mean value theorem in the derivation process, can skilled distinguish their differences.

Key words: Differential; Mean value theorem in; Luol theorem; Lagrange's mean value theorem; Cauchy mid-value theorem; contact

一、几个微分中值定理

1、罗尔（Rolle ）中值定理

若函数f 满足如下条件：

（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；

（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；

（iii ）()()f a f b =，

则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得

()0f ξ'=

2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理

若函数†满足如下条件：

（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；

（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；

（iii ）()()f a f b =，

则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得

()()()f b f a f b a

ξ-'=

-. 3、柯西中值定理

设函数f 和g 满足 （i ）在闭区间[],a b 上都连续；

（ii ）在开区间(),a b 内都可导；

（iii ）()f x '和()g x '不同时为零；

（iv ）()()g a g b ≠，

则存在ξ∈(),a b ，使得

()()()()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-='-. 二、微分中值定理之间的联系

1.拉格朗日中值定理与罗尔定理

()()()f b f a f b a

ξ-'=- 显然，特别的当()()f a f b =时，拉格朗日定理结论即为罗尔定理结论。这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。

证：做辅助函数

()F x =()()()()()f b f a f x f a x a b a

-----. 显然，()()()0F a F b ==，且F 在[],a b 上满足罗尔定理的两个条件。故存在(),a b ξ∈，使

()()()()0f b f a F f b a

ξξ-''=-=-， 移项后即得到所要证明的式。

2.柯西中值定理与罗尔定理

作辅助函数

()()()()()()()

()()()f b f a F x f x f a g x g a g b g a -=---- 易见F 在[],a b 上满足罗尔定理条件，故存在(),a b ξ∈，使得

()()()()()()

()0f b f a F f g g b g a ξξξ-'''=-=-. 因为()0g ξ'≠（否则由上式()f ξ'也为零），所以可把上式写成

()()()()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-='- 所以即得柯西中值定理。

3.它们的几何意义

罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。

拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点P ()(),f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB 。

柯西中值定理的几何意义：类似前面两个定理，将f ，g 这两个函数看作以x 为参数的参数方程

()(),.g x f x μν=⎧⎪⎨=⎪⎩

在0μν平面上表示一段曲线。由于 式右边的

()()()()

f b f a

g b g a --表示连接该曲线两端的弦AB 的斜率，而 式左边的 ()()x f d g d ξξνξμ='='

则表示该曲线上与x ξ=相对应的一点()()(),C g f ξξ处的切线与弦AB 互相平行。

由上述可知：罗尔定理是拉格朗日中值定理、柯西中值定理的理论基础；拉格朗日中值定理、柯西中值定理是由罗尔定理衍生而来的。

参考文献

[1]华东师范大学数学系．数学分析(上册)[M]．北京：高等教育出版社．2001

[2]齐国政．微积分[M]．内蒙古人民出版社．1981

[3]陶耘．拉格朗日中值定理的巧用[j]．数学通报．1990(12)