有限元基础教学课件

: P EνDET u （位移表示的应力边界条件）
由上解出
uεσ
2u
1
1 2
x
1 G
fx
0
显式：
2v
1
1 2
y
1 G
fy
0
2w 1
1 2
z
1 G
fz
0
式中
u v w
x y z
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
u
37
1. 对平面应力问题有
z 0
， z
E
x
y
，kk x y
无网格方法（Mesh-less method）是在数值计算中不需 要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函 数离散控制方程，问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值,也无须描述节点之 间的关系。节点的生成可完全由计算机自动完成,这大大节 省了分析人员的时间,也相对较容易在分析过程中对节点进 行重新划分。
， xy
ux y
u y x
应力应变关系： σ Dε
x y
xy
1
E
2
1
0
1 0
1
0
0
2
x y
xy
x y
xy
1 E
1 0
1 0
0 0
21
x y
xy
2. 对平面应变问题有
z 0, z x y
应力应变关系： σ Dε
有限元方法 边界元方法 加权残值方法 有限差分法 无网格法
5
有限差分法思想
有限差分法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法， 至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有 限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数 展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的 差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的 代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的 近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比 较成熟的数值方法。
RI Fu f 0
m
m
i1RB
(Gu
i1
g)
0
为了消除残差，通常引进内部权函数 WI 和边界权函 数WB ，将它们分别与 RI 和RB 相乘，列出消除内部残 值方程式及消除边界方程式分别如下：
RIWI dv 0
Vm m
C j ( j 1,2,, n)
S RBWBds 0
i1
9
无网格方法思想
14
应用领域：机械工程
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机插入工况有限元分析
WJD-1.5型电动铲运机
15
液压挖掘机
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析
16
驾驶室受侧向力 应力云图
接触问题结构件 应力云图
17
液压管路速度场分布云图
磨片热应力云图
支架自由振动云图
1
0
1
0
1 0
0
1 2
21
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1 2
21
0
0
1 2
21
称为弹性矩阵
34
σ Dε 或 ε D1σ
1 0
0
0
1
0
0
0
D 1
1 E
0
0
1 0
0
21
0 0
0
0
0 0 0
0 21 0
0
0
0
0
0 21
物理量： ——Lame常数 G——剪切模量 E——弹性模量 ——泊松比
边界元法优点是，使求解问题的空间维数降低一阶， 从而使计算工作量及所需计算机容量大大减小。边界元法 推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分方程 的格林函数基本解。
7
加权残值法思想
加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法，其 基本思想是先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似 函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残 差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程. 由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵. 选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。
弹性能=外力做功
V 1 k 2 2
A
A0 F外力dr
21
拼装最后4个节间钢桁梁
组合应力图（MPa）
22
成桥状态
组合应力图（MPa）
23
应用领域：航空航天工程
24
应用领域：电子工程
25
应用领域：生物工程
26
应用领域：毕业设计
有限元方法（计算机程序）
专业化小程序有
Truss Frame Plane Stress Heat Transfer
G
E
21
1
E
1
2
35
§0.4 弹性力学平衡问题的微分方程提法
弹性力学平衡问题 微分方程边值问题
（15个方程求解15个未知量，在 和 u上）
方程（15个） 边界条件
未知函数 （15个）
类型
P Eνσ
Eσ f 0
(应力型，
σ
自由边， ）
静力平衡
ε ET u
uu
（位移型，u ）
ε ，u
ε ET u （几何线性）
i j k ( )T x y z x y z
为梯度矢
在单连通域中：ε u 一一对应,多连通域中未必一一对应.
31
§0.2 应力分析
取P点处一微平行六面体与xyz平行， 决定P点应力状态的6个分量记为
σ x y z yz zx xy T
A1
r1
k 2
r1 l0 2 r2 l0 2
k 2
12
2 2
弹性（簧）力性质：
k
0
1 2 3
1 弹力做功：w12 仅与弹簧初、末变形量 1、2有关，
与路径无关；
F（弹性力）
2 w12 可正、源自文库负；
A2
3
特别 1 0 时，w12
注：外力做功 w
1 2
w12
k
2 2
1
2
k
2 2
力大小 F k ,（0-5-1）
1 A1 r1
A
r
A2
2 r2
l0 （原长）
k —弹簧刚度系数
N / m 或 N / mm
方向：er
r r
,
F
k
r
l0 er
k
r
l0
r r
39
变形过程是静平衡状态,
弹簧从A1运动到A2位置， 弹性力做功：
F w12
A2
r2
w12 F dr kr l0 dr
连续性
σ Dε
或
ε D1σ
物理性
解法：（1）位移法；（2）应力法；（3）混合法
36
弹性力学位移法定解问题：
：E σ f 0, σ Dε,
ε ET u,
u :u u
: P Eνσ
物体表面 u , 取未知函数u ，经代换
: EDET u f 0
p
•
Px, y, z
: u : u u
1 A1 r1
A
r
2 r2
l0 （原长）
40
2. 弹性力场中的势能：弹簧力做功的负值
以变形量为0 处为势能零点，则在 处，弹簧力做功为
w0
1k 2
2 0
2
弹簧力的势能
V
k 2
2
2 0
（外力功） (0-5-3)
特别：以弹簧的自然位置为零势点，则弹性能 V 1 k 2
2
（弹簧力做功的负值，因为外力与弹簧力反向，故弹性能相 当于外力的功）
3
3、弹性力学三维问题
x
x
yx
y
zx
z
Fbx
0
xy
x
y
y
zy
z
Fby
0
xz
x
yz
y
z
z
Fbz
0
4
微分方程的数值解法
在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼 近等方法得到解的近似表达式外，通常还有一类近 似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点 上的近似值，这类方法通常包括：
如有某一应用科学问题中的控制微分方程及边界条件分 别为：
Fu f 0
域内 V
（1）
m
(Gu g) 0
i1
边界面 S
（2）
求解这个微分方程，u 假设待定函数的一个近似解，
为试函数
8
加权残值法思想（续）
n
u
C
j1
j
N
j
（3）
将（3）式代入（1）和（2）式之后，一般不会满足，
于是分别出现了内部和边界残差：
一个面上应力可分解为一个正应力，二个剪应力分量
σ x y z yz zx xy T
2 Pz
Py
Px
1
2
1
物体表面上面力矢 P Px Py Pz T
其中矩阵
此表面处外法线方向 ν l, m, n
应力与外力在表面 Γσ 上平衡，则 P x xl xym xzn
P y yxl ym yzn P E
体力（外力）： f fx f y fz T
一、平衡方程：（由微六面体平衡所致）
x
x
xy
y
xz
z
fx
0
yy
xy
x
yz
z
fy
0
z
z
xz
x
yz
y
fz
0
（要求 ij 可导）
x
E 0
0
0 0
0
z 0
y
y
z
x
0
0
z y x
0
Eσ f 0
32
二、应力边界条件
有限元方法 Finite Element Method
1
弹性力学的任务
q
•
Px, y, z
外力 变形(位移)、内力(应力) 寻求弹性体在外力作用下，
物体的变形、内力分布规律。
2
§0.0 固体力学中的控制微分方程
1、梁弯曲问题
EJ
d4w( x) dx 4
q
0
2、薄板弯曲问题
D4w(x, y) q(x, y) D Eh3 /12(1 2 )
30
二、应变
P点处在oxyz 轴的三个微段的变化，得到变状态的6个分量
ε x
y
z
yz
zx
T xy
几何方程（6个）：位移应变之关系
引入算子
x
u x
yz
w y
v z
y
v y
xz
u z
w x
z
w z
x
E 0
0
0 0
0
z 0
y
xy
u y
v x
y
z
x
0
0
z y x
0
1
x y
xy
1
E
1 2 1
0
1 2 1 1 2
0
0 0 1
x y
xy
2
ε D1σ
x y
xy
1
E
1
0
1
0
0 0
x y
2
xy
38
§0.5 弹性力学变分原理
一、弹性体的形变势能
F（弹性力）
引例 1. 弹性力的功 弹性（簧）力：
12
有限元法的应用领域
机械/航空航天/土木工程/自动化工程 结构分析（静/动力分析，线性/非线性分析） 热分析/流体力学分析 电磁场分析 地质力学分析 生物医学分析
13
一个典型的实例是波音777的研发设计，利用计算机建模 和数值仿真模拟代替大量的物理样机试验（每次样机试 验大约需花费8亿元），最终一次试飞成功。 CAE 在汽车工业中的应用，使研发设计一种新车型的时 间由原来的5-6年减少到1-2年。
大型通用商业化程序有
ANSYS ADINA ABAQUS MSC/NASTRAN MSC/Marc SAP
28
有限元方法（学习目标）
理解有限元方法的基本思想 认识不同类型单元的行为和应用范围 根据实际问题，建立合适的有限元模型 如何应用有限元法解题 能够解释并正确评估结果的合理性
29
§0.1 应变分析
一、位移矢量
方向取用笛矢卡量尔坐表标示轴，o其xyz单，位对方空向间矢上量任为一ν点处li 的 m任j 一 nk。
l cosν, x ， m cosν, y ， n cosν, z
q
•
Px, y, z
y Px u, y v, z w
•
• Px, y, z
x
z
在外力下，
P点 P 点，P点的位移矢 u u v wT x, y, z
18
应用领域：土木工程
19
连续钢桁梁桥力学分析，2010年
《沪汉蓉快速铁路合肥枢纽南环线连续钢桁梁柔性拱桥》 (114.75+229.5+114.75)m施工过程进行力学分析。桥梁由主 桁、拱肋和桥面系组成。采用结构分析软件MIDAS计算。
全桥空间模型
20
钢桥最危险工况的有限元分析
组合应力图（MPa）
ν
E
σ
ν
l 0 0
0 m 0
0 0 n
0 n m
n 0 l
m
l
0
Pz
zxl
zym zn
33
§0.3 本构方程(应力－应变关系)
对均质各向同性线弹性体，有广义Hooke定律 σ Dε 或 ε D1σ （物理线性）
1
1 1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
D
1
E1 1 2
10
有限元法思想
基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单 元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的位移和 应力都是简单的低级多项式函数。小区域内节点位移 和应力通过弹性力学理论离散转化为代数方程，然后 由计算机求解出来，进而获得整个结构的变形和应力。
11
有限元方法（优点）
有限元可以运用于任何场问题 没有几何形状的限制 边界条件和载荷没有限制 材料性质并不限于各向同性 具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合 有限元结构和被分析的物体或区域很类似 通过网格细分可以容易地改善解的逼近度
6
边界元法思想
边界元法(Boundary element method)是在有限元法之后 发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 , 通常又 称边界积分方程。该方法应用格林函数公式，通过选择适 当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换成为其边界 上的积分方程，它把求解区中任一点的求解变量与边界条 件联系了起来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节 点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以利 用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。